安徽省合肥市第九中学2023-2024学年高二下学期5月教学质量检测数学试题

合肥九中2023-2024学年第二学期教学质量检测 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分150分） 命题教师：陈盼 审题教师：王兴 1、 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知，，若，则m的值为（    ）． A． B． C．3 D．4 2．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设数列的前项和为，若，则（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 4．现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（    ）. A． B． C． D． 5．如图，在三棱柱中，G是与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的左支上，，的周长为，则C的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 8．若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．函数在x1处有极小值 B．函数在x2处有极小值 C．函数在区间内有4个极值点 D．导函数在处有极大值 10．在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256 C．常数项为84 D．有理项有2项 11．如图，在正四棱柱中，，为四边形对角线的交点，下列结论正确的是（    ） A.点到侧棱的距离相等 B．正四棱柱外接球的体积为 C．若，则平面 D．点到平面的距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．直线：被圆截得的弦长是 ． 13．期中安排考试科目9门，语文，数学，英语三门课的前后顺序已经确定，则期中考试不同的安排顺序有 种．（用数字结果表示） 14．已知数列中，，，则通项公式 . 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．在等差数列中，已知公差，且 成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 16．如图，平面，四边形为直角梯形，，，. （1）证明：. （2）若，点E在线段上，且，求二面角的余弦值. 17．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，， (2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望． 18．已知椭圆的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线与以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)设是椭圆的上顶点，过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线过定点. 19．已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，讨论的零点个数. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $合肥九中2023-2024学年第二学期教学质量检测 高二年级数学答案 参考答案： 1.C 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解 【详解】因为a1b,所以ā.b=0,即6-2l-(m-3)=0,解得m=3. 故选：C 2.D 【分析】求得导函数，根据函数单调性与导数的关系得到a≥$nx,对于 2'2 上恒成立， 利用正弦函数的性质得到α的取值范围. 兀π 【详解】解：由已知得y'=-six+a之0，即a≥sinx,对于 -22 上恒成立， a≥1， 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数的单调性的关系，涉及三角函数的性质，不等式恒成立问题， 属基础题. 3.B 【分析】根据a=Sn-Sm1得到a,=2an1,利用等比数列的通项公式可求得结果. 【详解】当n≥2时，a.=S.-Sa1=2a-1-2a-1+1,所以an=2a-1, 又S1=2a-1,得a4=1, 所以数列{4}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a=a×2=16 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据an=Sn-Sn得到an=2an是解题关键 4.D 【分析】设第1次抽到理科题的事件为A,第2次抽到理科题的事件为B,分别求得 答案第1页，共13页 DA),pAB),代入公式D(B|A)=DB 求解 D(A) 【详解】设第1次抽到理科题的事件为A,第2次抽到理科题的事件为B, 所以(A) 3C2 3 10 3 所以第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为DB|A)=0= 3 2, 5 故选：D 【点睛】本题主要考查条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题 5.A 【分析】 由空间向量线性运算即可求解. 【详解】 因为ABC-AB,C为三棱柱，所以AB=AB,AC=AC, 4G=46+BG=4码+B+BG) =亚*号4+5aC-4 2 2 a+b- -2221 故选：A. 6.A 【分析】根据奇偶函数的定义，判断函数奇偶性，利用导数研究该函数的单调性，可得答案 【详解】由f(x) e 2x,则其定义域为(-0,0U(0to). 因为f(-x)= 22x=f(0),故函数为偶函数， e" e(x-2) e 2r2t>0 ,x>0 f(x)= f'(x)= 2x3 e* 2r2t<0 ex(-x-2 2x3 2,x<0 答案第2页，共13页 令f”(x)=0,解得x=±2，可得下表： (-0,-2) -2 (-2,0) (0,2) (2,+0) f'(x) 0 0 f() 极小值 极小值 故选：A 7.C 【分析】根据综合条件，结合双曲线定义，利用余弦定理计算即得。 PRPR=2a 【详解】令双曲线C的焦距为2c,依题意， PEPR到=6a-2c' 解得P=2a-e P℉2=4a-c1 在△PFB中，∠P耳=60°，由余弦定理得(4a-c2=4c2+(2a-c)3-2x2cx(2a-c)×1 整理得c=√2a,所以双曲线C的离心率为√2 故选：C 8.D 【分析】不等式2e*+x2-2ax≥3-a2恒成立等价于不等式2e+x2-2m+a2-3≥0恒成立，设 f(x)=2e*+x2-2ac+a2-3,xeR,原不等式等价于[(x)]≥0恒成立，再利用导数对 f(x)进行讨论，得到a=e+x。(x。∈R)时，f(x)取得最小值f(x),即可求解 【详解】不等式2e'+x2-2ax≥3-a2恒成立等价于不等式2e+x2-2ax+a2-3≥0恒成立， f(x)=2e*+x2-2ax+a2-3,xER,f'(x)=2e*+2x-2a, 令h(x)=2e+2x-2a,xeR,则h(x)=2e+2>0, 所以h(x)在R上单调递增，令h(x)=0,得a=e+x, 设p(x)=e+x,可知p(x)在R上单调递增，且p(x)的值域为R, 答案第3页，共13页 则存在x。∈R,使得直线y=a和函数p(x)的图象有一个交点， 即存在x。∈R,使得h(x)=0成立，即a=e+x。, 所以x<x时，h(x)<0,即f'(x)<0,所以f(x)在(-o,x)上单调递减： x>时，h(x)>0,即f(x)>0,所以f(x)在(x,+0)上单调递增， 所以当x=x。时，f(x)取得唯一极小值，即最小值f(x。), 不等式2e*+x2-2x+a2-3≥0恒成立等价于f(x。)≥0恒成立， 即2e0+x7-2ax。+a2-320, 代入a=e+x,得2e0+x-2(e+x)x+(e+x)-3≥0， 化简得：e2+2e-3≥0，即(e+3)(e-1)≥0，解得：x。≥0， 所以a=e+x。≥1，则a的取值范围是[1，+o), 故选：D 9.BD 【分析】 根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案 【详解】A选项，f(x)在x=x左右两侧的"(x)<0,所以x不是∫(x)的极值点，A选项 错误 B选项，f(x)在x=x,左右两侧，左侧f'(x)<0,右侧f(x)>0, 所以函数f(x)在x处有极小值，B选项正确. C选项，根据图象可知，f(x)有3个极值点，x=0左右两侧的(x)>0, 所以x=0不是f(x)的极值点，C选项错误， D选项，∫'(x)的图象在x=x左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减， 所以∫'(x)在x处有极大值，D选项正确， 故选：BD 10.BC 答案第4页，共13页 【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解 【详解】 x+ 的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第 x 6项的二项式系数相等，故A错误： 由己知可得二项式系数之和为2，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系 数和相等， 所以奇数项的二项式系数和为2=256，故B正确： 3 展开式的通项为T+1=Cx9 =Cgx2,0≤r≤9，reN,令9- r=0,解得r=6. 2 故常数项为C=C=84,故C正确： 有理项中x的指数为整数，故r=0,2,4,6,8,故有理项有5项，故D错误. 故选：BC 11.BD 【分析】利用正四棱柱的体对角线等于外接球直径，以及空间位置关系的向量方法证明和空 间距离的向量方法计算方法即可求解」 【详解】对于A,O到侧棱CC,DD的距离等于cD=】 2 O到侧棱A4,BB,的距离相等且等于 CD BC 5 故A错误； 2 2 对于B,设正四棱柱外接球的直径为d,则有d2=AB2+AD2+A4=6, 即d=V6,所以外接球的体积等于4x 302 =V6π，故B正确： 对于C,建立空间直角坐标系，如图， 则400,0.40,0.2)，00,2，D00,2). 因为D亚=1DD,所以E0,0 所以4级=(10为，而=(1，丽=1 所以4亚40=1-0，所以4g与平面400不垂直，故C错误： 对于D,由以上知，设平面AOD的法向量为=(x,y,z), 答案第5页，共13页 则有40=(121)，A西=(-10,2) A0.i=0 1 -x+二y+z=0 即 21 令x=2则z=1,y=2, AD=0 -x+2z=0 所以m=(2,2,1), AB.m 2 因为AB=(0,1,0),所以点B到平面AOD的距离为 园 3,故D正确 Z D A D C x 故选BD 12.2W2 【分析】确定圆心和半径，计算得到直线过圆心，得到弦长 【详解】圆x2+y2+4x-4y+6=0,即圆(x+2)+(y-2)2=2, 圆心为(-2,2)，半径为R=√2，直线x-y+4=0过圆心(-2,2)，故弦长为2√ 故答案为：2√2 13.60480 【分析】解法一：先排除了语文，数学，英语之外的6科，剩下三个位置给语文，数学，英 语：解法二：插空法.语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只 有一种排法，然后再让剩下6科逐个插空：解法三：除法.9门课程任意排，语文，数学， 英语有A种排法，再相除即可. 【详解】解法一：空位法.语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排除了语文，数学， 英语之外 的6科，总共有A=60480种排法，剩下三个位置给语文，数学，英语，因为它们的顺序 答案第6页，共13页 确定，只有一种方法，故共有60480种排法. 解法二：插空法.语文，数学，英语的前后顺序已经确定，先排语文，数学，英语，只有 一种排法，然后再让剩下6科逐个插空，总共有4×5×6×7×8×9=60480种排法. 解法三：除法.9门课程任意排，总共有A种排法.语文，数学，英语有A种排法.因 为语文，数学，英语的前后顺序己经确定，所以总共有￡=60480种排法。 A 故答案为：60480 14. 2n-1 【分析】对已知条件变形，可得 为等差数列。 a 【详解】由已知2a+1a。=(n+1)a,-na1,显然a.≠0， 两端同时除以a+1a,得 +1_”=2,又a a+1a。 a 所以，数列 是以1为首项，2为公差的等差数列 a 所以， =1+2(n-1)=2n-1. a 所以，a.=2n-1 故答案为： n 2n-1 15.(1)an=n @T.=n+1 2n 【分析】(1)利用基本元的思想，将已知条件转化为4和d的关系，解方程可求得a的通 项公式： (2)根据题意利用裂项相消法求得其前项和 【详解】(1)：a,a,4成等比数列，则G=4a, .(1+d)=1+3d,解得d=1或d=0(舍去)， 答案第7页，共13页 故数列{an}的通项公式a。=1+n-1=n. (2)由题意可得：4=？=2 211 aa+1n+1)气nn+1 =2f1-+t…+11）=21-1）-2 223 nn+1 (n+1n+1 故数列b,}的前n项和T=2儿 n+1 16.(1)证明见解析；(2)V26 13 【分析】(I)首先根据题意易证AC⊥CD,AP⊥CD,从而得到CD⊥平面APC,再利用线 面垂直的性质即可证明PC⊥CD (2)首先以A为原点，分别以AB,AD,AP的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直 角坐标系A-z,再利用空间向量法求解二面角即可. 【详解】(1)如图所示： D B 由题意易知AC=√32+32=3√2 作CH⊥AD,垂足为H,则CH=DH=3,故CD=V32+32=3√2. 因为AD2=AC2+CD2,所以AC⊥CD 因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以AP⊥CD 因为ACC平面APC,APC平面APC,且AC∩AP=A,所以CD⊥平面APC. 因为PCc平面APC,所以CD⊥PC. (2)因为PC=AD=6,AC=3W2,且PA⊥AC, 所以AP=VPC2-AC2=3√2 以A为原点，分别以AB,AD,AP的方向为x,y,z轴的正方向， 答案第8页，共13页 建立如图所示的空间直角坐标系A-z. 则A(0,0,0),C(33,0),D(0,6,0),E(1,5,0),P(0,0,3W2), 从而A正=1,5,0)，AP=(0,0,3W②，Cz=(-2,2,0),CP=（-3,-3,32) 设平面APE的法向量为n=(x,,), 则n护-32=0 nA丽=+5y=0令=5，得n=(5-1,0) 设平面PCE的法向量为m=(x2,y2,22), m.C2=-3x,-3y,+35=0,令，=1，得m=1,2) 则 mCE=-2x2+2y2=0 设二面角A-PE-C为0，由图可知0为锐角， 则cos6=i:m=15-1业√26 1ml√26×213 1.(到-房P叫到=号 (②分布列见解析；期望为2 【分析】(1)法一：根据古典概型结合条件概率运算求解：法二：根据独立事件概率乘法公 式结合条件概率运算求解： (2)根据题意结合超几何分布求分布列和期望 【详解】(1)方法一： 由题意可得：P(4-号， “第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB:“第一次抽到男生且第二次抽到男生就 答案第9页，共13页 是事件AB,从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间2包含 n(2)=A号=7×6=42个等可能的样本点， 因为n(AB)=A1×A3=4x3=12,nAB)=A3×A,=6, 所以P(B)= 6)+川AB_12+6=3,HAAB）122 n(2) (g427 2 故P(BA)= P(AB)_7-1 P(A)42 > 方法®-号号后号 “在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生的概率就是事件A发生的条件下，事件B 发生的率，则P(0-号P手月 4 故P(BA)= P(AB)71 P(A)42 个 (2)被抽取的3人中女生人数X的取值为0,1,2,3， P(X=0)= 35,P(X=1)= C_12 C335 P(x=2)-cC-18 X的分布列： X 0 1 12 18 P 35 35 35 35 352 12 +1 183× 412 X的数学期望E(X)=0x 35 35 357 18.①0 2 +y2=1 (2)答案见解析 【分析】(1)由等轴双曲线的离心率可得椭圆的离心率，再由直线1与圆相切，可得b的值， 答案第10页，共13页