期末复习12一次函数讲义(知识梳理+题型精析+备考通关)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学一次函数期末复习讲义通过表格梳理与分层解析构建知识体系，涵盖正比例函数概念、一次函数与方程不等式关系等13个核心知识点，以“定义-判定-应用”逻辑呈现知识脉络，突出参数求解、图象法解方程组等重难点的内在联系。 讲义亮点在于“题型-方法-素养”三维设计，典例结合跟踪训练覆盖13类基础与综合题型，如通过汽车耗油问题引导用待定系数法列解析式，培养模型意识。解题步骤与易错点提醒帮助分层提升，教师可据此实施精准复习，助力学生深化推理能力与应用意识。

期末复习12 一次函数讲义 1.正比例函数的概念 2.一次函数的判定 3.由一次函数的定义确定参数 4.一次函数自变量或函数值的求解 5.一次函数解析式的列写与求值 6.直线的交点与二元一次方程组的关系 7.用图象法解二元一次方程组 8.直线围成图形的面积计算 9.由直线与坐标轴交点求方程的解 10.由一元一次方程的解确定直线与x轴的交点 11.用图象法解一元一次方程 12.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 13.由两条直线的交点求不等式的解集 【知识点01】正比例函数的定义 1.核心概念 形如 y=kx（其中k是不为 0 的常数）的函数，叫做正比例函数。 2.关键要点 (1)表达式结构：只有 “一次项”，没有常数项（即 y=kx+0）； (2)系数要求：比例系数 k≠0（若 k=0，函数会变成 y=0，是常数函数，不是正比例函数）； (3)自变量次数：自变量x的次数必须是 1。 【知识点02】根据一次函数定义求参数(常考计算) 核心依据（解题的 “规则”） 无论是一次函数还是正比例函数，求参数都要紧扣定义的两个关键条件： 1.自变量x的次数为1； 2.一次项系数k≠0（正比例函数对应y=kx中的k，一次函数对应y=kx+b中的k）。 解题注意事项 1.必须同时满足两个条件：只看 “x 次数为 1” 会漏解，只看 “k≠0” 会错解； 2.正比例函数额外限制：常数项必须为 0（即一次函数中 b=0）； 3.参数的取值范围：若结果是多个值，要逐一验证是否符合 “k≠0”。 【知识点03】一次函数中求自变量或函数值 一.核心原理 已知一次函数解析式 y=kx+b（k≠0），本质是代入求值或解一元一次方程： 1.已知x的值，求y → 直接代入计算； 2.已知y的值，求x → 代入后解方程。 二、题型 1：已知自变量 x，求函数值 y 解题步骤 1.明确一次函数的解析式y=kx+b； 2.将已知的x值代入解析式； 3.按照运算顺序计算，得到对应的y值 三、题型 2：已知函数值 y，求自变量 x 解题步骤 1.明确一次函数的解析式y=kx+b； 2.将已知的y值代入解析式，得到关于x的一元一次方程； 3.解一元一次方程，求出x的值； 4.（可选）检验：将解代入原解析式，验证等式是否成立。 四.题型 3：结合实际情境的求值问题 解题步骤 1.根据题意列写出一次函数解析式； 2.按照题型 1 或题型 2 的方法代入求值。 易错点提醒 1.代入时符号易错：遇到系数或常数项为负数的情况，注意符号运算（如y=−2x+5代入x=3时，y=−2×3+5=−1）； 2.解方程时移项要变号：如5=2x−1，移项后应为2x=5+1而非2x=5−1。 【知识点04】列一次函数解析式并求值 一、核心思路 列一次函数解析式的本质是待定系数法，即先设出含未知参数的解析式，再利用已知条件求出参数，最终确定解析式并代入求值。 适用条件：已知两组 x、y 的对应值（或函数图象经过的两个点的坐标）。 二、通用解题步骤 1.设解析式：设一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0，k、b 为待定系数）；若题目明确是正比例函数，直接设 y=kx（k≠0）。 2.代值列方程（组）：将已知的两组 x、y 对应值代入解析式，得到关于k 、b 的一元一次方程或二元一次方程组。 3.求参数：解方程（组），求出 k 和 b 的值。 4.写解析式：将 k、b 的值代入所设解析式，得到完整的一次函数解析式。 5.代入求值：根据题目要求，将已知的 x（或 y）代入解析式，计算对应的 y（或 x）。 易错点提醒 1.设解析式时遗漏限制条件：一次函数必须标注 k≠0，正比例函数同理。 2.代入点坐标时混淆 x、y顺序：需将点 (x0,y0) 的x0代x，y0代y。 3实际情境中忽略自变量取值范围 【知识点05】一次函数与二元一次方程(组)的关系 一.一次函数与二一元一次方程的关系 1.任何一个二元一次方程 ax+by=c (a,b≠0) 都可以变形为一次函数的形式 y=−x+​。 2.以二元一次方程的解为坐标的点，都在对应的一次函数的图象上；反过来，一次函数图象上任意一点的坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 二.一次函数与二元一次方程组的关系 *二元一次方程组 对应两个一次函数 y=k1x+b1和y=k2x+b2​。 *从 “数” 的角度：二元一次方程组的解，就是两个一次函数表达式联立成方程时，x、y 的取值。 *从 “形” 的角度：二元一次方程组的解，就是两个一次函数图象的交点坐标。 *方程组解的情况与函数图象位置的关系： *当k1≠k2时，两个一次函数图象相交，方程组有唯一一组解。 *当k1=k2且b1≠b2时，两个一次函数图象平行，方程组无解。 *当k1=k2且b1=b2时，两个一次函数图象重合，方程组有无数组解。 【知识点06】用一次函数图象法解二元一次方程组的步骤 (1)把二元一次方程组中的两个方程分别变形为一次函数的形式 y=kx+b。 (2)在同一平面直角坐标系中，画出这两个一次函数的图象。 (3)确定两个函数图象的交点坐标，这个交点坐标就是二元一次方程组的解。 (4)检验：将求得的解代入原方程组，验证是否满足两个方程。 【知识点07】一次函数与二元一次不等式(组)的关系 一次函数 y=kx+b 的图象将平面直角坐标系分成三部分： *图象上的点：满足y=kx+b。 *图象上方的区域：满足y>kx+b。 *图象下方的区域：满足y<kx+b。 【知识点08】一次函数.一元一次方程和一元一次不等式的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系 *从数的角度：求一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求当一次函数y=kx+b的函数值y=0时，自变量x的取值。 *从形的角度：一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标。 *拓展：方程kx+b=m(k≠0)的解，对应一次函数y=kx+b图象上纵坐标为m的点的横坐标。 2.一次函数与一元一次不等式的关系 对于一元一次不等式kx+b>0(k≠0) 数的角度：求不等式的解集，就是求一次函数y=kx+b的函数值y>0时，自变量x的取值范围。 形的角度：解集对应一次函数y=kx+b图象在x轴上方部分所有点的横坐标的集合。 对于一元一次不等式kx+b<0(k≠0) 数的角度：求不等式的解集，就是求一次函数y=kx+b的函数值y<0时，自变量x的取值范围。 形的角度：解集对应一次函数y=kx+b图象在x轴下方部分所有点的横坐标的集合。 拓展：不等式kx+b>m(k≠0)的解集，对应一次函数y=kx+b图象在直线y=m上方部分点的横坐标范围；不等式kx+b<m则对应图象在直线y=m下方部分点的横坐标范围。 3.三者之间的核心联系 *一元一次方程kx+b=0的解，是一次函数y=kx+b图象与x轴的交点横坐标，也是划分一元一次不等式kx+b>0和kx+b<0解集的分界点。 *当k>0时，一次函数y=kx+b随x增大而增大，此时： *若kx+b=0的解为x=x0，则kx+b>0的解集是x>x0， kx+b<0的解集是x<x0​。 *当k<0时，一次函数y=kx+b随x增大而减小，此时： *若kx+b=0的解为x=x0，则kx+b>0的解集是x<x0， kx+b<0的解集是x>x0​。 4.利用一次函数图象解决一元一次方程和不等式问题的步骤 (1)画出一次函数y=kx+b的图象。 (2)找到图象与x轴（或直线 y=m）的交点坐标，确定方程的解。 (3)根据图象的上下位置，确定不等式的解集。 (4)检验结果的正确性。 题型1.正比例函数的概念 【典例】已知函数，当 时，是的正比例函数． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且），即常数项为零且一次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：3． 【跟踪训练1】我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据是某正比例函数的“相关数对”，设这个正比例函数为，根据正比例函数的定义可知，正比例函数的比例系数不为，正比例函数的常数项为，可得：，，从而可以求出的值． 【详解】解：是某正比例函数的“相关数对”， 设这个正比例函数为， 则有，， 由，可得：， 由，可得：， ． 故答案为：． 【跟踪训练2】若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握． 根据正比例函数的定义条件：k为常数且，自变量次数为1，即可列出有关a的方程，求出a值． 【详解】解：根据正比例函数的定义：， 解得：， 又， 故． 故选：B． 题型2.一次函数的判定 【典例】下列关系中，是的一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题关键． 根据一次函数的定义，形式为（，k、b为常数）的函数是一次函数．判断每个选项是否符合定义． 【详解】∵ 一次函数的标准形式为，其中，k、b为常数． 对于①，k和b为字母，未指定具体值，k可能为0，因此不一定是一次函数； 对于②，x在分母上，是反比例函数，不是一次函数； 对于③，可化为，，是一次函数； 对于④，可化为，，是一次函数． ∴ y是x的一次函数的是③和④． 故选C． 【跟踪训练1】下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是一次函数关系的是（   ） A．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行，一般地，其中x表示刹车前汽车的速度（单位：） B．周长为的长方形，其面积与该长方形的一边长之间的关系 C．计划修建铁路1200千米，铺轨天数y（天）与每日铺轨量x（千米）之间的关系 D．声音在空气中的传播速度约为，声音在空气中的传播距离与传播时间之间的关系 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握形如的函数是一次函数，是解题的关键．根据一次函数包括一般地的一次函数和正比例函数，计算判断即可． 【详解】解：A.，不是一次函数，不符合题意； B. 根据题意得，长方形的另一边长为， 故，不是一次函数，不符合题意； C. 根据题意得，，不是一次函数，不符合题意； D. 根据题意得，，是一次函数，符合题意． 故选：D． 【跟踪训练2】下列函数:①y=7x;②;③y=-x2;④;⑤y=7-x;其中是一次函数的是: ; (填序号) 【答案】①②⑤ 【分析】根据一次函数定义：形如y=kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数可得答案； 【详解】①y=7x满足定义，是一次函数； ②满足定义，是一次函数； ③y=不满足定义，是二次函数； ④不满足定义； ⑤y=7-x满足定义，是一次函数； 故①②⑤是一次函数； 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键. 题型3.由一次函数的定义确定参数 【典例】若函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查根据一次函数的定义，求参数的值，根据一次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，且， 解得； 故选C． 【跟踪训练1】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，理解一次函数的增减性是解决本题的关键．根据一次函数表达式及已知条件，结合点坐标代入得到，结合即可推导参数关系，进而判断选项． 【详解】解：点在函数图象上，代入得： ∵， ∴，即， ∵，即， ∴ ∴，． 故选：A ． 【跟踪训练2】已知函数是关于的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】利用一次函数的定义，即函数形式应为，其中和为常数，且，通过比较给定函数形式与一次函数的标准形式，列出关于的方程，然后求解．本题主要考查了一次函数的定义及其性质，熟练掌握一次函数的定义，即函数形式为（其中和为常数，且），是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 由，可得或， 考虑，可得， ∴． 故答案为： 题型4.一次函数自变量或函数值的求解 【典例】点在的函数图象上，则代数式 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由点代入函数解析式可得b与a的关系，进而求出的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵点在的函数图象上， ∴， 即， ∴； 故答案为3． 【跟踪训练1】按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数值，直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值，解题的关键是正确运算． 【详解】解：把，代入，得， 解得：， 则当时， 把，代入， 得． 故答案为：. 【跟踪训练2】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的性质解答是解题的关键．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为11． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是12， 故选：C． 题型5.一次函数解析式的列写与求值 【典例】一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出的值． 【详解】解：一次函数图象经过点， 解得： 故选：C 【跟踪训练1】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：D． 【跟踪训练2】已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ； 【答案】Q=50-0.10s． 【分析】根据题意，每千米需耗油=0.10升，根据题意可得，汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q （L）与行驶路程s（km）之间的函数表达式是Q=50-0.10s即可． 【详解】解：∵每行驶耗油， ∴每千米需耗油=0.10升， ∴s（km）耗油=0.10s升， ∴油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是Q=50-0.10s． 故答案为：Q=50-0.10s． 【点睛】本题考查一次函数在生活中应用，掌握列一次函数的方法是解题关键． 题型6.直线的交点与二元一次方程组的关系 【典例】如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 【跟踪训练1】已知一次函数和的图象相交于点P，则点P的横坐标与纵坐标的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 联立方程和，求出交点P的坐标，然后计算横坐标与纵坐标的乘积即可． 【详解】联立方程和，得， 解得． 代入， 得， 点的坐标为． 横坐标与纵坐标的积为． 故答案为：． 【跟踪训练2】若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数b的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元二次方程的关系；将二元一次方程变形为y关于x的形式，与给定直线方程比较常数项，建立方程求解b即可． 【详解】解：∵二元一次方程可变形为， 又以该方程的解为坐标的点都在直线上， ∴两条直线重合，则常数项相等，即， ∴，即 ， ∴， 即 ． 题型7.用图象法解二元一次方程组 【典例】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【跟踪训练1】对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据图像可知，这个最大值在两函数的交点处取得． 【详解】解：分别画出函数、的图像如下：    则函数y的图像如图中粗线所示， 由图可知，交点处取得y的最大值， 联立方程组得：， 解得：， ∴当时，函数有最大值． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【跟踪训练2】已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】把代入一次函数的解析式可判断①，根据一次函数的增减性可判断②，根据不等式的性质可判断③，画出函数，的简易图象可判断④，从而可得答案． 【详解】解：当时，， ∴直线必经过点；故①符合题意； ∵点，在直线上，且， ∴；故②符合题意； ∵， ∴， ∵，则， ∴，故③不符合题意； ∵（其中），经过点； ∴函数图象如图示，    画的简易图象如图示， 结合图象可得：直线与函数的图象最少有1个交点．故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，画函数图象，不等式的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 题型8.直线围成图形的面积计算 【典例】如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 【跟踪训练1】在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数和几何的综合题．根据一次函数的图像和性质依次求出7块阴影部分面积，求和即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴直线，之间的阴影部分面积为， 同理可得，其余阴影部分面积分别为， ∴图中所有7块阴影部分面积和为， 故选：D 【跟踪训练2】一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解：对于一次函数， 令，得，解得，即与轴交点为； 令，得，即与轴交点为． 所以，与坐标轴围成的三角形的底边长为，高为， 所以，一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为． 故答案为：． 题型9.由直线与坐标轴交点求方程的解 【典例】如图，已知直线，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 【跟踪训练1】若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的知识，重点是掌握直线与坐标轴交点求方程的解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据一元一次方程 的解和一次函数与轴交点的关系，即可求解； 【详解】解：已知一次函数 的图像经过点 和点 ， 点表示当时，函数值， ∴方程， 即求函数值时对应的值， ∴方程的解为； 故答案为：； 【跟踪训练2】下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数的图象与x轴交点横坐标的值即为方程的解． 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解是， 故选：C． 题型10.由一元一次方程的解确定直线与x轴的交点 【典例】已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程：已知一次函数的函数值求对应的自变量的值的问题就是一元一次方程的问题． 由于方程的解是，即时，，所以直线经过点，然后对各选项进行判断． 【详解】解：方程的解是， 经过点． 故选：C． 【跟踪训练1】已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 【跟踪训练2】如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 题型11.用图象法解一元一次方程 【典例】一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据题意可知一次函数的图像经过点，即当时可有，即可获得答案． 【详解】解：由图像可知，一次函数的图像经过点， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 【跟踪训练1】已知关于的方程：只有一个解，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，令，进而得到两个函数图象只有一个交点，根据题意，画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：令， ∵只有一个解， ∴两个函数图象只有一个交点， 画出函数图象如下： 由图可知，当直线过图象的最低点时，满足题意， ∵， ∴当时，， 把代入，得：， 故答案为：1． 【跟踪训练2】如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 【详解】解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 题型12.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例】若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据一次函数的性质，结合函数图象，可以写出不等式的解集． 【详解】解：由图象可得，函数与x轴的交点为， ∴不等式的解集是． 故选D． 【跟踪训练1】已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，不等式转化为，结合，求得解集即可． 本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一次函数的图象与x轴的交点为，且， 故， 解得 故变形为， 故， 解得． 故选：B． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，直线经过点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 先求出函数解析式，再写出函数图象在轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：将代入得， ， 当时，． 所以关于的不等式的解集是． 故答案为：． 题型13.由两条直线的交点求不等式的解集 【典例】一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：一次函数与的交点坐标为， 在交点P的左边，一次函数的图象在一次函数的上方， ∴关于x的不等式的解集为； 故选A． 【跟踪训练1】如图，函数和的图象相交于点． （1）不等式的解集为 ． （2）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与不等式的关系，正确确定与的交点是关键． （1）观察图象可得结论； （2）首先确定和的交点作出的大体图象，然后根据图象判断即可． 【详解】解：（1）当时，， 由题图可知，当时，； （2）的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上 又∵在的图象上 ∴与相交于点 则函数图象如图， 则不等式的解集为． 故答案为：；． 【跟踪训练2】如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了利用图象法解不等式，数形结合是解题的关键． 根据过点，即可求出，根据图象进而即可求解． 【详解】解：∵过点， ∴， 解得， ∴， 由图可得，当时，， 故选A． 1．若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断即可． 【详解】是关于的正比例函数， 且， 解得， 故选C． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 【答案】C 【分析】本题考查一次函数定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的定义（形如，），逐一判断即可． 【详解】解：①可化为，符合一次函数定义； ②不符合一次函数定义； ③可化为，符合一次函数定义； ④化简为（），定义域不全为实数，不符合一次函数定义； ⑤展开化简为，符合一次函数定义； ⑥不符合一次函数定义． 综上，①、③、⑤符合条件，共3个，选C． 故选：C． 3．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 4．已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系；根据表格中的数据可知：当时，，然后根据方程，从而可以求得的值． 【详解】解：∵当时，， ∴ ∵ ∴ 解得：， 故答案为：． 5．已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由条件可得，根据一次函数图象的性质，若点在图象上，则，将选项中的点代入函数，验证是否满足即可确定答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， A、点，代入函数得，与条件完全一致，故必经过该点，符合题意； B、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，（满足），此时，故不必然经过该点，不符合题意； C、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，，此时，故不必然经过该点，不符合题意； D、点代入得，显然矛盾，故不可能经过该点， 故选：A． 6．若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则与的交点坐标为 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，掌握轴对称的点的坐标特点是解题的关键．首先根据对称的性质得出直线经过，经过点，然后利用待定系数法可求出直线的函数解析式为，由于与关于轴对称，得出两直线相交于轴上，将代入，求出相应的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：∵直线经过点，经过点， 故直线经过，经过点， 设直线的解析式为， 把和代入，得， 解得：， 故直线经过的解析式为． ∵与关于轴对称， ∴两直线相交于轴上， 故将代入，得， 所以与的交点坐标为． 故答案为：． 7．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 8．已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线经过得到，则，由可化为，得到，由得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线经过， ∴， ∴， ∴可化为， 整理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是得到关于x的不等式． 9．以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组及判断点所在象限，熟记二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 通过解方程组得到点的坐标，分析坐标的符号与参数的关系，判断点可能出现的象限，发现点的横纵坐标不可能同时为负，因此一定不在第三象限，即可得到答案． 【详解】解：联立， 解得， ， A、当在第一象限，则，解得，存在这样的使在第一象限，不符合题意； B、当在第二象限，则，解得，存在这样的使在第二象限，不符合题意； C、当在第三象限，则，不等式组无解，不存在这样的使在第三象限，符合题意； D、当在第四象限，则，解得，存在这样的使在第四象限，不符合题意； 故选：C． 10．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】二元一次方程组中的两个方程的解的个数可能有一个，或两个方程有无数个解，或无解，因而以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线有一个交点或有无数个交点或没有交点． 【详解】解：由于方程组的解即为两个函数的交点坐标，而方程组的解有三种可能： ①方程组无解； ②有一个解； ③有无数个解（此时两直线重合）； 所以，，的情况都有可能． 故选． 【点睛】一次函数的解析式就是二元一次方程，因而把方程组的解中的x的值作为横坐标，以y的值为纵坐标得到的点，就是一次函数的图象的交点坐标．方程组解的个数就是直线交点的个数． 11．直线过点且与直线相交于点，则两直线与x轴所围成的面积为（） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 【答案】B 【分析】本题考查了两直线相交或平行问题．两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么它们的自变量系数相同，即k值相同． 先把代入可求出，再利用待定系数法求出另一条直线的解析式为，与x轴相交于点，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴． ∴． ∵直线过点， ∴． 解得． ∴直线为． 令，则． 解得． 所以,与x轴的交点坐标为． ∵直线经过坐标原点, 两直线与x轴所围成的面积． 故选：B． 12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)求点，的坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1)见解析； (2)的坐标为，点的坐标为； (3)． 【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的性质． （1）找出特殊点，画出一次函数即可； （2）分别将、代入计算即可； （3）分别将、代入计算，进而根据函数图象可知的取值范围． 【详解】（1）解：当时，当时 画出一次函数的图象如图： （2）解：将代入中，得， 将代入中，得， 所以点的坐标为，点的坐标为； （3）解：令，则，解得， 令，则，解得， 所以当时，的取值范围为． 13．已知函数，画出函数的图象，并根据图象，直接写出方程的解． 【答案】见解析， 【分析】本题考查画一次函数的图象，一次函数与一元一次方程，列表，描点，连线，画出一次函数的图象，利用图象法直接写出一元一次方程的解即可． 【详解】解：列表如下： 0 1 1 5 描点，连线如图： 由图可知：的解为：． 14．如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______； (2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式、一次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）找到函数的图象在函数的图象的上方，自变量x的取值范围即可； （2）先求得，再利用待定系数法即可求得；设点C的坐标为，得到点D的坐标为，根据题意列得求解即可． 【详解】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． （2）解：∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得∶， ∴一次函数的表达式为； 设点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴，解得或， ∴点C的坐标为或． 15．如图，在等腰三角形中，，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，且点在该函数图象上． (1)求该一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、点的坐标确定及四边形面积计算，解题的关键是结合一次函数性质与等腰三角形性质分析线段和面积关系． （1）将、代入，列方程求出、，得一次函数表达式； （2）在一次函数中令，计算得点坐标； （3）作轴，用等腰三角形性质求，再将四边形面积拆分为与的面积和，计算得结果． 【详解】（1）解：点在该函数图象上， ，， 解得， 该一次函数的表达式为； （2）当时，，解得， 点； （3）如图，过点作于点， 则点的坐标为． ， ，即， ． 四边形的面积． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)，B(m，n)分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点(点A对应点C)． （1）写出C，D两点的坐标；(用含相关字母的代数式表示) （2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1． ①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴； ②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(x，y)都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k(pq≠0)的图象经过点B，D及点(s，t)，判断s+t与m+n是否相等，并说明理由． 【答案】（1）C(a+h，b﹣1)，D(m+h，n﹣1)；（2）①证明见解析；②m+n＝t+s，理由见解析 【分析】（1）根据平移规律解决问题即可．． （2）①证明A，D的纵坐标相等即可解决问题 ②如图，设AD交直线l于J，首先证明BJ＝DJ＝1，推出D(m+1，n﹣1)，再证明p＝q，即可解决问题． 【详解】解：（1）由题意，C(a+h，b﹣1)，D(m+h，n﹣1)． （2）①∵b＝n﹣1， ∴A(a，b)，D(m+h，n﹣1)， ∴点A，D的纵坐标相等， ∴AD⊥x轴， ∵直线l⊥AD， ∴直线l⊥x轴． ②如图，设AD交直线l于J， ∵DE的最小值为1， ∴DJ＝1， ∵BJ＝1， ∴D(m+1，n﹣1) ∴二元一次方程px+qy＝k(pq≠0)的图象经过点B，D， ∴mp+nq＝k，(m+1)p+(n﹣1)q＝k， ∴p﹣q＝0， ∴p＝q， ∴m+n， ∵tp+sp＝k， t+s， ∴m+n＝t+s． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化——平移，二元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习12 一次函数讲义 1.正比例函数的概念 2.一次函数的判定 3.由一次函数的定义确定参数 4.一次函数自变量或函数值的求解 5.一次函数解析式的列写与求值 6.直线的交点与二元一次方程组的关系 7.用图象法解二元一次方程组 8.直线围成图形的面积计算 9.由直线与坐标轴交点求方程的解 10.由一元一次方程的解确定直线与x轴的交点 11.用图象法解一元一次方程 12.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 13.由两条直线的交点求不等式的解集 【知识点01】正比例函数的定义 1.核心概念 形如 y=kx（其中k是不为 0 的常数）的函数，叫做正比例函数。 2.关键要点 (1)表达式结构：只有 “一次项”，没有常数项（即 y=kx+0）； (2)系数要求：比例系数 k≠0（若 k=0，函数会变成 y=0，是常数函数，不是正比例函数）； (3)自变量次数：自变量x的次数必须是 1。 【知识点02】根据一次函数定义求参数(常考计算) 核心依据（解题的 “规则”） 无论是一次函数还是正比例函数，求参数都要紧扣定义的两个关键条件： 1.自变量x的次数为1； 2.一次项系数k≠0（正比例函数对应y=kx中的k，一次函数对应y=kx+b中的k）。 解题注意事项 1.必须同时满足两个条件：只看 “x 次数为 1” 会漏解，只看 “k≠0” 会错解； 2.正比例函数额外限制：常数项必须为 0（即一次函数中 b=0）； 3.参数的取值范围：若结果是多个值，要逐一验证是否符合 “k≠0”。 【知识点03】一次函数中求自变量或函数值 一.核心原理 已知一次函数解析式 y=kx+b（k≠0），本质是代入求值或解一元一次方程： 1.已知x的值，求y → 直接代入计算； 2.已知y的值，求x → 代入后解方程。 二、题型 1：已知自变量 x，求函数值 y 解题步骤 1.明确一次函数的解析式y=kx+b； 2.将已知的x值代入解析式； 3.按照运算顺序计算，得到对应的y值 三、题型 2：已知函数值 y，求自变量 x 解题步骤 1.明确一次函数的解析式y=kx+b； 2.将已知的y值代入解析式，得到关于x的一元一次方程； 3.解一元一次方程，求出x的值； 4.（可选）检验：将解代入原解析式，验证等式是否成立。 四.题型 3：结合实际情境的求值问题 解题步骤 1.根据题意列写出一次函数解析式； 2.按照题型 1 或题型 2 的方法代入求值。 易错点提醒 1.代入时符号易错：遇到系数或常数项为负数的情况，注意符号运算（如y=−2x+5代入x=3时，y=−2×3+5=−1）； 2.解方程时移项要变号：如5=2x−1，移项后应为2x=5+1而非2x=5−1。 【知识点04】列一次函数解析式并求值 一、核心思路 列一次函数解析式的本质是待定系数法，即先设出含未知参数的解析式，再利用已知条件求出参数，最终确定解析式并代入求值。 适用条件：已知两组 x、y 的对应值（或函数图象经过的两个点的坐标）。 二、通用解题步骤 1.设解析式：设一次函数的解析式为 y=kx+b（k≠0，k、b 为待定系数）；若题目明确是正比例函数，直接设 y=kx（k≠0）。 2.代值列方程（组）：将已知的两组 x、y 对应值代入解析式，得到关于k 、b 的一元一次方程或二元一次方程组。 3.求参数：解方程（组），求出 k 和 b 的值。 4.写解析式：将 k、b 的值代入所设解析式，得到完整的一次函数解析式。 5.代入求值：根据题目要求，将已知的 x（或 y）代入解析式，计算对应的 y（或 x）。 易错点提醒 1.设解析式时遗漏限制条件：一次函数必须标注 k≠0，正比例函数同理。 2.代入点坐标时混淆 x、y顺序：需将点 (x0,y0) 的x0代x，y0代y。 3实际情境中忽略自变量取值范围 【知识点05】一次函数与二元一次方程(组)的关系 一.一次函数与二一元一次方程的关系 1.任何一个二元一次方程 ax+by=c (a,b≠0) 都可以变形为一次函数的形式 y=−x+​。 2.以二元一次方程的解为坐标的点，都在对应的一次函数的图象上；反过来，一次函数图象上任意一点的坐标，都是这个二元一次方程的一组解。 二.一次函数与二元一次方程组的关系 *二元一次方程组 对应两个一次函数 y=k1x+b1和y=k2x+b2​。 *从 “数” 的角度：二元一次方程组的解，就是两个一次函数表达式联立成方程时，x、y 的取值。 *从 “形” 的角度：二元一次方程组的解，就是两个一次函数图象的交点坐标。 *方程组解的情况与函数图象位置的关系： *当k1≠k2时，两个一次函数图象相交，方程组有唯一一组解。 *当k1=k2且b1≠b2时，两个一次函数图象平行，方程组无解。 *当k1=k2且b1=b2时，两个一次函数图象重合，方程组有无数组解。 【知识点06】用一次函数图象法解二元一次方程组的步骤 (1)把二元一次方程组中的两个方程分别变形为一次函数的形式 y=kx+b。 (2)在同一平面直角坐标系中，画出这两个一次函数的图象。 (3)确定两个函数图象的交点坐标，这个交点坐标就是二元一次方程组的解。 (4)检验：将求得的解代入原方程组，验证是否满足两个方程。 【知识点07】一次函数与二元一次不等式(组)的关系 一次函数 y=kx+b 的图象将平面直角坐标系分成三部分： *图象上的点：满足y=kx+b。 *图象上方的区域：满足y>kx+b。 *图象下方的区域：满足y<kx+b。 【知识点08】一次函数.一元一次方程和一元一次不等式的关系 1.一次函数与一元一次方程的关系 *从数的角度：求一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求当一次函数y=kx+b的函数值y=0时，自变量x的取值。 *从形的角度：一元一次方程kx+b=0的解，就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标。 *拓展：方程kx+b=m(k≠0)的解，对应一次函数y=kx+b图象上纵坐标为m的点的横坐标。 2.一次函数与一元一次不等式的关系 对于一元一次不等式kx+b>0(k≠0) 数的角度：求不等式的解集，就是求一次函数y=kx+b的函数值y>0时，自变量x的取值范围。 形的角度：解集对应一次函数y=kx+b图象在x轴上方部分所有点的横坐标的集合。 对于一元一次不等式kx+b<0(k≠0) 数的角度：求不等式的解集，就是求一次函数y=kx+b的函数值y<0时，自变量x的取值范围。 形的角度：解集对应一次函数y=kx+b图象在x轴下方部分所有点的横坐标的集合。 拓展：不等式kx+b>m(k≠0)的解集，对应一次函数y=kx+b图象在直线y=m上方部分点的横坐标范围；不等式kx+b<m则对应图象在直线y=m下方部分点的横坐标范围。 3.三者之间的核心联系 *一元一次方程kx+b=0的解，是一次函数y=kx+b图象与x轴的交点横坐标，也是划分一元一次不等式kx+b>0和kx+b<0解集的分界点。 *当k>0时，一次函数y=kx+b随x增大而增大，此时： *若kx+b=0的解为x=x0，则kx+b>0的解集是x>x0， kx+b<0的解集是x<x0​。 *当k<0时，一次函数y=kx+b随x增大而减小，此时： *若kx+b=0的解为x=x0，则kx+b>0的解集是x<x0， kx+b<0的解集是x>x0​。 4.利用一次函数图象解决一元一次方程和不等式问题的步骤 (1)画出一次函数y=kx+b的图象。 (2)找到图象与x轴（或直线 y=m）的交点坐标，确定方程的解。 (3)根据图象的上下位置，确定不等式的解集。 (4)检验结果的正确性。 题型1.正比例函数的概念 【典例】已知函数，当 时，是的正比例函数． 【跟踪训练1】我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 【跟踪训练2】若为正比例函数，则a的值为（   ） A．3 B． C． D．9 题型2.一次函数的判定 【典例】下列关系中，是的一次函数的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①③ C．③④ D．②③ 【跟踪训练1】下列各选项中，两个变量y与x之间的关系是一次函数关系的是（   ） A．在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行，一般地，其中x表示刹车前汽车的速度（单位：） B．周长为的长方形，其面积与该长方形的一边长之间的关系 C．计划修建铁路1200千米，铺轨天数y（天）与每日铺轨量x（千米）之间的关系 D．声音在空气中的传播速度约为，声音在空气中的传播距离与传播时间之间的关系 【跟踪训练2】下列函数:①y=7x;②;③y=-x2;④;⑤y=7-x;其中是一次函数的是: ; (填序号) 题型3.由一次函数的定义确定参数 【典例】若函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B． C． D．2 【跟踪训练1】已知一次函数（，是常数，），若，点在该函数图象上，则下列说法正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【跟踪训练2】已知函数是关于的一次函数，则 ． 题型4.一次函数自变量或函数值的求解 【典例】点在的函数图象上，则代数式 ． 【跟踪训练1】按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 【跟踪训练2】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 题型5.一次函数解析式的列写与求值 【典例】一次函数图象经过点，则的值是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】已知汽车油箱内有油，每行驶耗油，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量与行驶路程之间的关系式是 ； 题型6.直线的交点与二元一次方程组的关系 【典例】如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【跟踪训练1】已知一次函数和的图象相交于点P，则点P的横坐标与纵坐标的积为 ． 【跟踪训练2】若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数b的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型7.用图象法解二元一次方程组 【典例】在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】对于每个，函数是、这两个函数中的最小值，则函数的最大值是(    ) A．6 B．8 C．10 D．12 【跟踪训练2】已知直线：（其中），有以下命题：①直线必经过点；②若点，在直线上，且，则；③不等式的解集为；④直线与函数的图象最少有1个交点．其中真命题的序号为 ． 题型8.直线围成图形的面积计算 【典例】如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【跟踪训练1】在同一个平面直角坐标系内，三条直线所对应的一次函数如图所示（其中），分别作直线与这三条直线相交形成的图中所有7块阴影部分面积和为（   ） A． B．14.7 C． D．7.35 【跟踪训练2】一次函数与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ． 题型9.由直线与坐标轴交点求方程的解 【典例】如图，已知直线，则关于的方程的解是 ． 【跟踪训练1】若一次函数的图像经过点和，则关于x的一元一次方程 的解为 【跟踪训练2】下面是一次函数的图象，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D．或 题型10.由一元一次方程的解确定直线与x轴的交点 【典例】已知方程的解是，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ． 【跟踪训练2】如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 题型11.用图象法解一元一次方程 【典例】一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【跟踪训练1】已知关于的方程：只有一个解，则的值是 ． 【跟踪训练2】如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 题型12.由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【典例】若一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，直线经过点，则关于的不等式的解集是 ． 题型13.由两条直线的交点求不等式的解集 【典例】一次函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，函数和的图象相交于点． （1）不等式的解集为 ． （2）不等式的解集为 ． 【跟踪训练2】如图，直线与直线相交于点，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 1．若函数是关于的正比例函数，则（   ） A． B． C． D． 2．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 E．1 3．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．已知一次函数(，是常数且)，与的部分对应值如表；那么方程的解是 ． 5．已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 6．若直线经过点，经过点，且与关于轴对称，则与的交点坐标为 7．如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 8．已知直线经过，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．以方程和的解为坐标的点一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图象，所得的两条直线（ ） A．有一个交点 B．有无数个交点 C．没有交点 D．以上都有可能 11．直线过点且与直线相交于点，则两直线与x轴所围成的面积为（） A．2 B．2.4 C．3 D．4.8 12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)求点，的坐标； (3)当时，求的取值范围． 13．已知函数，画出函数的图象，并根据图象，直接写出方程的解． 14．如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点，点的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量的取值范围是______； (2)点为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点，若，求点的坐标． 15．如图，在等腰三角形中，，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，且点在该函数图象上． (1)求该一次函数的表达式； (2)求点的坐标； (3)求四边形的面积． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(a，b)，B(m，n)分别是第三象限与第二象限内的点，将A，B两点先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到C，D两点(点A对应点C)． （1）写出C，D两点的坐标；(用含相关字母的代数式表示) （2）连接AD，过点B作AD的垂线l，E是直线l上一点，连接DE，且DE的最小值为1． ①若b＝n﹣1，求证：直线l⊥x轴； ②在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，这条直线上有无数个点，每一个点的坐标(x，y)都是这个方程的一个解．在①的条件下若关于x，y的二元一次方程px+qy＝k(pq≠0)的图象经过点B，D及点(s，t)，判断s+t与m+n是否相等，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $