7.1.2 弧度制 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“角与弧度”，涵盖弧度意义、角度弧度换算及弧长与扇形面积公式。课堂从生活单位换算（尺、斤到国际单位）切入，类比引出角的度量单位，衔接角度制，搭建认知支架。 特色是以问题链驱动概念建构，通过“弧长与半径比值”抽象弧度（数学抽象），设计换算练习与扇形周长求面积等问题（数学运算、分析），激发探究兴趣，助力教师高效落实教学目标。

第7章 三角函数 7.1 角与弧度 7.1.2 角与弧度 ▍教学目标 1. 理解弧度的意义． 2. 能正确地进行角度与弧度的换算． 3. 掌握弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题． 数学抽象：弧度的意义． 数学运算：角度与弧度的换算． 数学分析：利用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式解决简单的实际问题． ▍情境设置 【问题1】 描述某人身高尺，体重斤． (1) 这里的尺、斤是什么单位？ (2) 描述身高和体重，同学们更熟悉什么单位？ [学生活动] (1) 尺、斤是市制单位． (2) 我们更熟悉国际单位．度量身高用米，度量体重用千克． [教师引导] 事实上，尺米，斤千克，换算之后，某人身高米，体重千克．可见，同一个量的不同单位制之间可以相互换算． 【问题2】 上节课我们把角的概念推广到了任意角．那么，如何度量一个角？ (1) 角的度量单位是什么？ (2) 度的角是如何规定的？ [学生活动] (1) 角的度量单位是角度． (2) 规定周角的为度的角． [教师引导] 具体说：将圆周等分，每一份弧所对的圆心角为度．由此可见，角的度量与弧长的度量密切相关!我们所学的平面几何，最核心的问题是度量，而长度是度量最重要的特征．既然角与弧长有关系，我们就想：能否用弧长度量角？能否用长度度量角的大小？ ▍概念的探究与建构 【问题3】 能否用长度度量角的大小？填表： 半径为时 的弧长 圆心角的 角度数 （备用：时的弧长） 圆周 半圆周 圆周 圆周 的圆心角所对的弧 (1) 给定圆心角，它的大小会随半径的变化而变化吗？ (2) 给定圆心角， 若给定半径，此时你能找到一个合适的量来度量圆心角吗？ 若半径变化，此时你能找到一个合适的量来度量圆心角吗？ [学生活动] (1) 给定圆心角，改变半径与弧长，发现角的度数不变． (2) 小组讨论交流．给定半径，第一列的弧长就是定值，可以用来反映这些角的大小． [教师引导] 他想到：将半径定量，就能用刻画圆心角的大小． 但是，如果变化呢？有什么方法能消去半径呢？ [学生活动] 用弧长除以半径，即用去度量角的大小． [教师引导] 几何画板进行实验验证．至此，就可以用长度去度量角度．你能用代数方法给出理论推导吗？ [学生活动] ，可见，圆心角的大小与形成一一对应的关系． [教师引导] 既然我们隆重推出这个比值来度量角，就要给它个新身份，数学抽象，记弧长与半径之比，这里的就是个实数，可用这个实数去度量角．实现了角与实数运算进制的统一．现在仅用一个数去表示一个量，你觉得还缺点什么？ [学生活动] 缺少单位． [教师引导] 由于这是通过度量弧长来度量角，所以给它个单位：弧度． 称为圆心角的弧度数． 用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． 【问题4】 弧度的角如何定义呢？ [学生活动] 时，． [教师引导] 请你把符号语言转化为文字语言，给出弧度的角的定义． 形成知识 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作弧度的角，记作rad，读作弧度．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． 【思考1】 若圆半径为，圆心角（正角）所对的圆弧长为，那么的弧度数是多少？ 【变式】 若圆半径为，圆心角（负角）所对的圆弧长为，那么的弧度数是多少？ 【思考2】 设长度为的线段绕端点旋转形成角（为任意角，单位为弧度），若将此旋转过程中点形成的弧长设为，则、、之间具有怎样的关系？（用等式回答） [学生活动] 由【思考2】得到，变形得． 形成知识 弧长公式：． 【思考3】 若弧是一个整圆，则其圆心角（正角）的弧度数是多少？若弧是一个半圆呢？ 【思考4】 度等于多少弧度？弧度等于多少度？ [学生活动] 由【思考3】发现． ▍知识的运用与升华 【例题1】 写出下列特殊角对应的角度和弧度： 说明：当弧度数用表示时，如无特别要求，不必把写成小数． [学生活动] 口答．（教师板演过程） 形成知识 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角． 【思考5】 若已知圆心角的弧度数与半径（）如何求扇形面积？ [学生活动] 类比角度制下扇形面积公式的推导方法，得． 形成知识 弧度制下扇形面积公式：． 【例题2】 已知扇形的周长为厘米，圆心角为rad，求扇形面积． [解析] 设扇形的半径为，弧长为．则有解得故扇形的面积为 ▍课堂反馈 1. 判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） (1) rad的角比的角要大．（ ） (2) 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．（ ） (3) 每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．（ ） (4) 1°的角是周角的，rad的角是周角的．（ ） [答案] (1) √ (2) × (3) √ (4) √ 2. 弧度化为角度是（ ） A. B. C. D. [答案] C 3. 半径为，圆心角为的扇形的面积是（ ） A. B. C. D. [答案] C 4. (1) ________rad； (2) ________． [答案] (1) (2) ▍课堂总结 【问题5】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 学科网（北京）股份有限公司 $