精品解析：山东省部分学校2025-2026学年高三上学期12月第一次联合检测数学试题

2025—2026学年度第一学期12月第一次联合检测 高三数学试题 2025.12 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分100分，考试时间90分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元二次不等式求出集合M，再求对数型复合函数定义域求出集合，再根据补集和交集运算求解即可. 【详解】， 所以或， 又， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，且有，求（ ） A. B. C. D. 都不对 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可设（为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得，再根据复数的概念，可得，利用三角函数同角关系，即可求出的值，进而求出结果. 【详解】因为，设（为虚数单位）； 由棣莫佛公式，可得， 所以 所以，即 因为， 所以； 化简可得，即 所以，所以； 所以. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数模的运算，熟练掌握复数模的运算性质，是解决本题的关键. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正弦公式得到，再结合平方关系即可求解. 【详解】由两角和差公式： 则可得方程组，解得 故， 故选：C 4. 是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，则， 又，则，所以C正确， 又由题设条件得不到在的单调性，所以A、B、D不一定成立， 故选：C. 5. 已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论，利用二次函数的性质计算即可求解. 【详解】当 时，抛物线 开口向下，对称轴为 ， 在区间 上函数单调递减，且当 时，， 由连续性知，必存在 使得 ，故 满足条件； 当 时，不等式化简为 ，解得 ，故 满足条件； 当 时，抛物线开口向上，需满足以下条件： 判别式 ，即 ，所以对称轴 ； 所以最小值 ，此时抛物线在对称轴处取得最小值且位于 区间 内， 故存在 使得 ，即 满足条件. 综上， 的取值范围为 . 故选：B. 6. 已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（ ）条. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先分析直线的特征，再结合圆的性质计算弦长（弦长，其中为圆的半径，为圆心到直线的距离）的可能整数值，进而确定直线的数量. 【详解】将直线的方程整理为：， 令，解得，因此直线过定点， 因为圆：的圆心为，半径， 所以定点到圆心的距离为：（即点在圆内）， 设圆心到直线的距离为，则弦长公式：， 由于直线过定点，则（点到直线的距离不超过点到定点的距离）， 因此：，代入弦长公式得： (时，；当时，). 因为为整数，结合范围，可能的整数值为、. 当时，(直线过圆心)，将代入直线的方程： ，得，对应1条直线； 当时，由弦长公式，解得，即， 圆心到直线的距离，令其等于，平方后化简得： ，，， 此方程判别式，有2个不同的实根，对应2条直线. 所以对应1条，对应2条，共条. 故选：B. 7. 棱长为2的正四面体在水平面上正投影的面积最大为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】不妨将正四面体的棱平移到平面内，结合图象分析可得当时，正投影是对角线长为2的正方形，此时面积最大，计算得解. 【详解】不妨将正四面体的棱平移到平面内， 因为正四面体的对棱互相垂直，当时， 此时投影是对角线长为2的正方形如图1，正投影面积. 当与平面不平行时，此时正投影是四边形或三角形， 如图2，当正投影是四边形时，因为，易得， 此时，又， 所以； 如图3，当正投影是三角形时，此时正投影的面积， 综上，正四面体在平面上正投影的面积的最大值为2. 故选：B. 8. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线平行于轴，可得三角形相似，得出，再利用已知条件中的线段的关系进行转化列出等式，化简即可求解. 【详解】 根据题意设，， ，其中， 则，，， 直线平行于轴，，， ，， ， 即 ， 点在双曲线上，， ，. 故选：C. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于利用直线平行于轴，得到，从而得到，设，，，求出，，，化简并结合双曲线定义，即可求解. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 当时，直线截圆所得的弦长为 C. 点到直线的距离恒为 D. 若，则当取到最小值时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线与圆的性质，点到直线的距离公式，逐一分析判断选项即可. 【详解】A项：当与圆相切时，圆心到直线的距离为，所以，A项正确； B项：时，圆心到直线的距离为，所以弦长为，B项正确； C项：易知，直线的一个法向量为，可知，C项错误； D项：由知：点的轨迹为一条与平行的直线，不妨设为，当时，由于，易知与圆无交点 由切线可知，则 因为，所以当取最小值时，有最小值此时，即项正确. 故选：ABD. 10. 若的外接圆半径为2，且，则（ ） A. B. 的面积为 C. 当时，则 D. 可能是等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可判断A，利用三角形面积公式计算可判断B；利用三角恒等变换计算可判断C；利用赋值法可判断D. 【详解】由，得， 所以，故A错误； 的面积为，故B正确； 当时，由已知得， 所以，所以， 所以，所以， 又因为，所以，所以，故C正确； 取，满足，所以可能是等腰三角形，故D正确. 故选：BCD. 11. 设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，则称是“数列”.下列结论正确的是（ ） A. 若是首项为公差为的等差数列，则是“数列” B. 若是“数列”，则不可能存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值是 D. 任给，若，且，则是“数列” 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据“数列”的定义可判断A；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断B；根据“数列”满足的条件可得出，判断时的值的情况，可判断C；举出反例可判断D. 【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 即是“数列”，故A正确； 对于B，若是“数列”，则，且， 所以，则， 故，由题意知当，，结合，得， 因此不存在使，故B正确； 对于C，若是“数列”，， 前项和，要使， 即， 因为，且当时，， 所以时趋近于，且所有项均小于，故最小值为，C正确； 对于D，取，，满足， 则，， 而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 故选：ABC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 设等比数列的前项和为，若公比，则___________. 【答案】64 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】由等比数列的性质得. 故答案为：64. 13. 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】分别确定和时的最小值，再通过大小构造不等式求解即可. 【详解】当时，由， 可得在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 由题意，，则，解得. 故答案为：. 14. 已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______. 【答案】 ①. 0 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】正方形ABCD的边长为1，可得，，， 要使的最小，只需要 ，此时只需要取， 此时 等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正． 比如 则. 【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有． （1）求数列的通项公式 （2）记，数列前项和为，求证：． 【答案】（1） （2） 由，得， 所以． 因为，所以，， 所以． 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积得，根据与的关系得到递推关系，再由累乘法求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出数列前项和为，再证明. 【小问1详解】 因为，即：① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由①-②整理得： 整理得， 由累乘法得：， 代入比值： 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 略 16. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 【答案】（I）；（II） 【解析】 【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B的大小； （II）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得的取值范围. 【详解】（I） [方法一]：余弦定理 由，得，即. 结合余弦定， ∴， 即， 即， 即， 即， ∵为锐角三角形，∴， ∴， 所以， 又B为的一个内角，故. [方法二]【最优解】：正弦定理边化角 由，结合正弦定理可得： 为锐角三角形，故. （II） [方法一]：余弦定理基本不等式 因为，并利用余弦定理整理得， 即. 结合，得. 由临界状态（不妨取）可知. 而为锐角三角形，所以. 由余弦定理得， ，代入化简得 故的取值范围是. [方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： . 由可得：，， 则，. 即的取值范围是. 【整体点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 17. 如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． （1）求动点Q的轨迹C的方程； （2）设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义可求得轨迹C的方程； （2）先求出两点的坐标，再分直线斜率存在和不存在两种情况进行讨论，分别求出四边形AMBN面积的表达式，最后根据表达式即可求出面积的取值范围即可. 【小问1详解】 连接，根据题意，， 则， 故的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则有， ，则， 的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，， 当直线的斜率为0时，不能构成四边形AMBN，不合题意 当直线的斜率不等于0时，直线过点， 故设直线的方程为， 设，联立，消去， 得， 韦达定理，得， 四边形AMBN的面积 ， 令，则， 代入，得， 根据均值不等式，得，当且仅当，即时等号成立， ，当时，，四边形AMBN的面积的最大值为， 则四边形AMBN面积的取值范围为， 综上所述，四边形AMBN面积的取值范围为. 18. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. （1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面. （2）如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围. （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 【答案】（1） 证明：由题意知， 而是的中点， 所以， 又平面平面， 平面平面平面， 所以平面， （2） （3） 证明：S是四面体的表面积，，令与面所成角为， ， ， 因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是， （取不到等号）， ， ， . 【解析】 【分析】（1）由题可得，结合平面平面，即可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，设，根据求出的范围，将平面与平面所成锐二面角的余弦值表示为的函数，再求范围. （3）是四面体的表面积，可证， ，从而证得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面内作的垂线作为轴，所以轴， 如图以为坐标原点，分别以为轴正半轴建立空间直角坐标系： 因为，设， 所以， 则， 所以， . 设平面的法向量， 得， 取， ， 解得. 设平面的法向量， 得，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为，则 ， 由于在上单调递增，故， 故， 所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是； 【小问3详解】 略 19. 已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （1）证明：函数在上有唯一零点； （2）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】（1）[方法一]：单调性+零点存在定理法 在上单调递增， ， 所以由零点存在定理得在上有唯一零点． [方法二]【最优解】：分离常数法 函数在内有唯一零点等价于方程在内有唯一实根，又等价于直线与只有1个交点． 记，由于在内恒成立，所以在内单调递增，故． 因此，当时，直线与只有1个交点． （2）（i）， ， 令 一方面： ， 在单调递增，， ， 另一方面：， 所以当时，成立， 因此只需证明当时，， 因为 当时，，当时，， 所以， 在单调递减，，， 综上，. （ii）[方法一]：分析+构造函数法 ， ，， ，因为，所以， ， 只需证明， 即只需证明， 令， 则， ，即成立， 因此. [方法二]【最优解】：放缩转化法 ． 设，则由得． 从而只要证． 上式左边． 使用不等式可得 【解析】 【分析】（I）方法一：先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论； （II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式； （ii）方法一：先根据零点条件转化：，再根据放缩，转化为证明不等式，最后构造差函数，利用导数进行证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【整体点评】（Ⅰ）方法一：直接研究函数的单调性，并根据零点存在定理证得结论，为通性通法；方法二：先分离常数，转化为证明水平直线与函数的图象交点个数问题，为最优解； （Ⅱ）（ⅰ）通过分析，转化，然后构造函数证得； （ⅱ）方法一：构造函数，利用导数研究单调性，求得最小值，然后根据条件放缩转化为证明不等式．利用作差法构造关于实数的函数，利用导数证得此不等式，为该题的通性通法；方法二：利用放缩判定的导函数大于零，确定单调性，得到其最小值，转化为，然后利用不等式放缩证明，运算相对简洁，为最优解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期12月第一次联合检测 高三数学试题 2025.12 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分100分，考试时间90分钟. 2.答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则等于（ ）． A. B. C. D. 2. 已知复数满足，且有，求（ ） A. B. C. D. 都不对 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知存在是不等式一个解．若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线 与圆 相交于 、 两点，若 为整数，则这样的直线 有（ ）条. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 棱长为2的正四面体在水平面上正投影的面积最大为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知双曲线与平行于轴的动直线交于两点，点在点左侧，为双曲线的左焦点，延长至点，使，连接交轴于点，若，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知点为直线上的动点，向量，过点向圆作两条切线，切点分别为点，则（ ） A. 若直线与圆相切，则 B. 当时，直线截圆所得的弦长为 C. 点到直线的距离恒为 D. 若，则当取到最小值时， 10. 若的外接圆半径为2，且，则（ ） A. B. 的面积为 C. 当时，则 D. 可能是等腰三角形 11. 设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，则称是“数列”.下列结论正确的是（ ） A. 若是首项为公差为的等差数列，则是“数列” B. 若是“数列”，则不可能存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值是 D. 任给，若，且，则是“数列” 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12. 设等比数列的前项和为，若公比，则___________. 13. 已知函数的最小值为0，则实数的取值范围是__________. 14. 已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有． （1）求数列的通项公式 （2）记，数列前项和为，求证：． 16. 在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 17. 如图，已知圆E：，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q，设动点Q的轨迹为C． （1）求动点Q的轨迹C的方程； （2）设动点Q的轨迹C分别与x轴交于点A，B，过点F作一条直线与交于M，N两点，求四边形AMBN面积的取值范围． 18. 如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置. （1）如图2，若是的中点，二面角为直二面角，证明：平面. （2）如图2，若二面角为直二面角，分别是的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围. （3）我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，分别在线段上（不包含端点），且为的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：. 19. 已知，函数，其中e=2.71828…为自然对数的底数． （1）证明：函数在上有唯一零点； （2）记x0为函数在上的零点，证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $