精品解析：河北省保定市易县2025-2026学年上学期期中考试九年级 数学 试题

2025-2026学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡交回． 6．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆中最长的弦为直径，根据圆中最长的弦为直径进行作答即可． 【详解】解：由图可知，过圆心为直径， ∴最长， 故选：C． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（ ） A. 点M处 B. 点N处 C. 点P处 D. 点Q处 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义．根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案． 【详解】解：当放入白子的位置在点M处时，是中心对称图形． 故选：A． 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是（ ） A. 30° B. 60° C. 80° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°， ∴∠BAD=180°﹣120°=60°． 故选B． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 5. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（ ） A. 的外心 B. 的外心 C. 的内心 D. 的内心 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】分析：连接OC、OB，证出△BOC是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可． 详解： 如图所示，连接OC、OB ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BOC=60°， ∵OC=OB， ∴△BOC是等边三角形， ∴∠OBM=60°， ∴OM=OBsin∠OBM=4×＝2. 故选B. 点睛：考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键． 7. 下列对二次函数的图象描述不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 与y轴交于点 D. 当时，函数值y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小，时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大．逐个进行分析即可． 【详解】解：A、，开口向下，故A选项正确，不符合题意； B、二次函数的顶点坐标是，故B选项正确，不符合题意； C、当时，，与y轴交于点，故C选项不正确，符合题意； D、二次函数的对称轴为，函数开口向下，当时，函数值y随x的增大而减小，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解本题的关键是熟练掌握二次函数的性质与各系数的关系． 8. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 根据扇形的面积公式弧长×半径进行列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：由题意知，半径，弧长， ∴弧长×半径， 故选：A． 9. 如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ） A. 经过点，，，只能作一个圆 B. 经过点，，，只能作一个圆 C. 经过点，以的长为半径只能作一个圆 D. 经过点，，以的长为半径只能作一个圆 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是确定圆的条件，熟记不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．根据确定圆的条件，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、经过点，，，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意； B、经过点，，，只能作一个圆，说法正确，符合题意； C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意； D、经过点，，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 10. 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”、“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）．”如图，正方形的一条对角线与相交于点，（点在点的右上方）．若的长度为10丈，的半径为2丈，则的长度为（ ） A. 6丈 B. 5丈 C. 丈 D. 丈 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，圆的切线的定义，解直角三角形等，通过解直角三角形求出的长度是解题的关键． 设与正方形的一条边的切点为C，连接，先根据正方形的性质得出，再解直角三角形求出的长度，代入计算即得． 【详解】解：如图，设与正方形的一条边的切点为C，连接， 则， ∵， ∴， ∴, ∴， ∵， ∴． 故选：D． 11. 问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A. 嘉嘉的解是正确的 B. 淇淇说得对，因为 C. 嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D. 由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 根据根的判别式求得，于是得到结论． 【详解】解：原方程可化为， ， ∴原方程无实数根， 故嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解， 故选：C． 12. 如图是一种轨道示意图，A，B，C，D，E为的五等分点．现有一机器人（看成点）从圆心出发，沿路线在轨道上匀速运动，若运动的时间为，机器人的视角的度数为，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角定理及函数图象，根据图象分别求出当动点P在上、在上、在上运动时，的变化情况即可得出表示y与x之间函数关系最恰当的图象．关键是得出动点P从圆心O出发，沿的路线做匀速运动时的度数的变化． 【详解】解：当点P在点上时，为的圆心角，为， 当点P在上时，逐渐减小， 当点P在上时，为的圆周角，为，一直不变， 当点P在上时，逐渐增大， 机器人的视角的度数为，先减小然后不变再增大， 则与关系的图象大致是B选项的图象， 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，，，则的度数为___________ 【答案】##45度 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 故答案为：． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 15. 以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______°． 【答案】 【解析】 【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用． 16. 如图，ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为 _____． 【答案】 【解析】 【详解】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案． 【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点， ∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm， ∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm， 故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE， ∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7(cm)． 故答案为：7cm． 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，得出AM+AN+MN＝AD+AE是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练地根据方程的特点选择合适的解法是解题的关键． （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， 即，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出将向左平移4个单位长度得到的． （2）画出关于原点成中心对称的． （3）若将绕某一点经过一次旋转得到，则旋转中心的坐标为______，旋转角的度数为______． 【答案】（1）如图：即为所求； （2） 如图，即为所求， （3），． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质，作出对应点即可； （2）根据旋转的性质，作出对应点即可； （3）连接，交于点M，点M即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，点M即为所求，点M的坐标，旋转角的度数为， 故答案为：；． 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平移变换，熟练掌握基本作图知识是解题的关键． 19. 一个直角锯齿卡尺（所有角均为直角），点，，都在圆上，且，卡尺所有锯齿的高度和水平长度都为1，如． （1）圆心在卡尺内部还是外部？请说明理由． （2）过点，，的圆的半径是多少？ （3）以点为圆心，为半径画弧，判断点，与的位置关系． 【答案】（1） 圆心在卡尺内部，理由如下： 点，，都在圆上，， 为圆的直径， 圆心在上， 圆心在卡尺内部； （2） （3）点在的内部，点在上 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、点和圆的位置关系、勾股定理、三角形的外接圆等知识点，熟练掌握圆的有关性质是解题关键． （1）利用圆周角定理的推论可得为圆的直径，进而即可解答； （2）利用等腰直角三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的外接圆性质解答即可； （3）连接，延长交于点，分别求得，，的长度，利用点和圆的位置关系解答即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 为等腰直角三角形， 为过点，，的圆的直径． ， 过点，，的圆的半径是； 【小问3详解】 解：如图，连接，延长交于点， 则四边形为矩形， ，， ， ， 同理，求得，， ，即， 点在的内部， ， 点在上． 20. 某农户承包了一块长方形果园，下图是果园的平面图，其中米，米．农户准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于对货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间的种植园区的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 【答案】（1） （2）路面设置的宽度符合要求 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据道路宽度不超过12米，且不小于5米解答即可； （2）根据中间的种植园区的面积是，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：纵向道路宽度的取值范围为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． ， 路面设置的宽度符合要求． 21. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，其中为水面截线，为台面截线，． 【计算】（1）如图1，已知，作于点，求的长． 【操作】将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2，其中半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． 【探究】（2）如图2，在滚动过程中，圆心到地面的距离________（填“改变”或“不变”）． （3）如图2，连接并延长交于点，求的长度．（结果保留） 【答案】（1）；（2）不变；（3）的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质、弧长公式等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图，连接．根据垂径定理可得，再说明，再在中运用勾股定理求解即可； （2）由操作过程可知：在滚动过程中，圆心到地面的距离始终为水槽的半径，据此即可解答； （3）根据直角三角形两锐角互余可得，再说明、，再运用弧长公式求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接． 点为圆心，于点，， ． ， ． 在中，根据勾股定理，可知， ∴． （2）：如图2，在滚动过程中，圆心到地面的距离始终为水槽的半径，即不变． 故答案为：不变； （3）于点，， ． 半圆的中点为， ， ， ， 的长为． 22. 图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中： ①点与点之间的最大距离为________； ②当以，，三点为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，，如图2．问：与图中哪条线段长度相等？证明你的猜想． 【答案】（1）①，②的长为或 （2） 解：，理由如下： 根据旋转性质可得：，， 是等腰直角三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是旋转的性质、等腰直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握相关概念． （1）①当A、D、M三点共线，且M在的延长线上时，最大 ②由可得，不可能为斜边，故可分两种情况利用勾股定理求解：、是直角边；是直角边，是斜边． （2）结合旋转性质和等腰直角三角形性质即可利用“边角边”证明全等，从而根据全等三角形性质证明 【小问1详解】 当A、D、M三点共线，且M在的延长线上时，最大， ，， 最大距离为：． 故答案为． ②，， 即， 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，也有两种可能： 、是直角边，此时； 是直角边，是斜边，此时． 故当，，三点为同一直角三角形的顶点时，或． 【小问2详解】 略 23. 图中是抛物线形拱桥，以为原点，水面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图1，点为桥拱的弧顶，在桥拱的点处安装一照明灯． （1）求图1中桥拱所在抛物线的函数表达式． （2）求的值． （3）如图2，为方便船只通过，拱桥的桥拱需扩建，扩建后的桥拱所在抛物线与原桥拱所在抛物线的开口大小相同，照明灯安装在点处，求扩建后拱桥的桥拱跨度（即的长）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解可得； （2）把点的坐标代入解析式即可； （3）求出扩建后函数解析式，求出时的值即可得结果． 【小问1详解】 解：设抛物线的函数表达式为， 把代入得：， 解得：， ∴表达式为； 【小问2详解】 解：把代入得； 【小问3详解】 解：设扩建后的桥拱所在抛物线解析式为， 把和代入得：，解得：， ∴， 令，则， 解得：，， ∴扩建后拱桥的桥拱跨度为． 24. 综合与实践 【情境】数学兴趣小组在学习《圆》这一章时确定的研究主题是过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法． 【模型】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【操作】博学小组通过讨论给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图1． 求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的________，交于点； ③以点为圆心，长为半径作，交于点； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． （1）博学小组给出的方案中空缺的内容为__________________． （2）请你根据博学小组的作图方案说明图1中的直线符合要求的理由． 【类比】善思小组通过思考给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图2． 求作：过点作的一条切线． 作法：①连接，交于点； ②过点作的垂线； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ④连接交于点； ⑤作直线． 直线即为所求作的一条切线． （3）善思小组的作图方案可行吗？若可行，请你写出证明过程；若不可行，请说明理由． 【拓展】（4）关于“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图，请你再给出一种作法．（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） 【答案】（1）垂直平分线； （2）理由：如图1，连接． 为的直径， ，． 是的半径， 直线是的切线． （3）可行，证明：由作图知于点，，， ． 又， ， ，即． 是的半径， 直线是的切线． （4）如图2， ①连接，交于点，作直径； ②以点为圆心， 长为半径作弧； ③以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点，作直线． 直线即为所求作的一条切线． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据作图步骤即可得到解答； （2）由作图可知为的直径，则，得到．由是的半径即可证明直线为的切线； （3）由作图知于点，，，再证明可得，进而证明结论； （4）如图：连接，交于点，作直径；以点为圆心， 长为半径作弧；以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，交于点，作直线． 直线即为所求作的一条切线． 【详解】解：（1）垂直平分线． （2）略 （3）略 （4）证明：由作图过程可得：， ∴， ∴， ∴直线为的一条切线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中教学质量监测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡交回． 6．本次考试设卷面分．答题时，要书写认真、工整、规范、美观． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，由点P引出的为的四条弦，其中最长的是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”．如图是棋盘上由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（ ） A. 点M处 B. 点N处 C. 点P处 D. 点Q处 3. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=120°，则∠BAD的度数是（ ） A. 30° B. 60° C. 80° D. 120° 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（ ） A. 的外心 B. 的外心 C. 的内心 D. 的内心 6. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 4 7. 下列对二次函数的图象描述不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 顶点坐标为 C. 与y轴交于点 D. 当时，函数值y随x的增大而减小 8. 如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知线段，，点在线段上，下列说法正确的是（ ） A. 经过点，，，只能作一个圆 B. 经过点，，，只能作一个圆 C. 经过点，以的长为半径只能作一个圆 D. 经过点，，以的长为半径只能作一个圆 10. 中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角图”、“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）．”如图，正方形的一条对角线与相交于点，（点在点的右上方）．若的长度为10丈，的半径为2丈，则的长度为（ ） A. 6丈 B. 5丈 C. 丈 D. 丈 11. 问题：“解方程”，嘉嘉解得，淇淇看了嘉嘉的答案，说：“你算的不对，这个方程只有一个解．”判断下列结论正确的是（　　） A. 嘉嘉的解是正确的 B. 淇淇说得对，因为 C. 嘉嘉和淇淇的说法都不对，因为，该方程无解 D. 由可得该方程有两个解，但嘉嘉的结果是错的 12. 如图是一种轨道示意图，A，B，C，D，E为的五等分点．现有一机器人（看成点）从圆心出发，沿路线在轨道上匀速运动，若运动的时间为，机器人的视角的度数为，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，在中，，，则的度数为___________ 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 15. 以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为______°． 16. 如图，ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为 _____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）画出将向左平移4个单位长度得到的． （2）画出关于原点成中心对称的． （3）若将绕某一点经过一次旋转得到，则旋转中心的坐标为______，旋转角的度数为______． 19. 一个直角锯齿卡尺（所有角均为直角），点，，都在圆上，且，卡尺所有锯齿的高度和水平长度都为1，如． （1）圆心在卡尺内部还是外部？请说明理由． （2）过点，，的圆的半径是多少？ （3）以点为圆心，为半径画弧，判断点，与的位置关系． 20. 某农户承包了一块长方形果园，下图是果园的平面图，其中米，米．农户准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于对货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间的种植园区的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求？ 21. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆，，如图1和图2所示，其中为水面截线，为台面截线，． 【计算】（1）如图1，已知，作于点，求的长． 【操作】将图1中的水槽沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动．如图2，其中半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点． 【探究】（2）如图2，在滚动过程中，圆心到地面的距离________（填“改变”或“不变”）． （3）如图2，连接并延长交于点，求的长度．（结果保留） 22. 图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，． （1）在旋转过程中： ①点与点之间的最大距离为________； ②当以，，三点为顶点的三角形是直角三角形时，求的长． （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连接，，如图2．问：与图中哪条线段长度相等？证明你的猜想． 23. 图中是抛物线形拱桥，以为原点，水面所在直线为轴建立平面直角坐标系．如图1，点为桥拱的弧顶，在桥拱的点处安装一照明灯． （1）求图1中桥拱所在抛物线的函数表达式． （2）求的值． （3）如图2，为方便船只通过，拱桥的桥拱需扩建，扩建后的桥拱所在抛物线与原桥拱所在抛物线的开口大小相同，照明灯安装在点处，求扩建后拱桥的桥拱跨度（即的长）． 24. 综合与实践 【情境】数学兴趣小组在学习《圆》这一章时确定的研究主题是过圆外一点作圆的切线的尺规作图方法． 【模型】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 【操作】博学小组通过讨论给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图1． 求作：过点作的一条切线． 作法：①连接； ②作的________，交于点； ③以点为圆心，长为半径作，交于点； ④作直线． 直线即为所求作的一条切线． （1）博学小组给出的方案中空缺的内容为__________________． （2）请你根据博学小组的作图方案说明图1中的直线符合要求的理由． 【类比】善思小组通过思考给出了如下解决方案： 已知：及圆外一点，如图2． 求作：过点作的一条切线． 作法：①连接，交于点； ②过点作的垂线； ③以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点； ④连接交于点； ⑤作直线． 直线即为所求作的一条切线． （3）善思小组的作图方案可行吗？若可行，请你写出证明过程；若不可行，请说明理由． 【拓展】（4）关于“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图，请你再给出一种作法．（保留作图痕迹，简要说明作图步骤） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $