精品解析：山东省菏泽市成武县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年度第一学期期中学业质量测评 九年级数学试题 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（　　） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦可知，进而问题可求解． 【详解】解：由余弦可知， 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则， ∴锐角A的余弦值不变； 故选A． 【点睛】本题主要考查余弦，熟练掌握余弦的求法是解题的关键． 2. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 3. 如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的计算，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先根据直角三角形的性质，求出、和的关系，再根据，求出和的关系，最后根据正切函数的定义即可求出的值． 【详解】解：在中，，， ，． ， ， ， 即的值为． 故选：A． 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B. 优弧一定比劣弧长； C. 弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D. 在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系．根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：A.在同圆或等圆中，弦所对的弧有优弧或劣弧，故弦相等则所对的弧相等错误． B.优弧一定比劣弧长，错误，条件是同圆或等圆中； C.弧长相等则所对的圆心角相等，错误，条件是同圆或等圆中； D.在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：D． 5. ⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 7或1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 6. 若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A. 14 B. 18 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形和圆的有关知识．根据正多边形的中心角为计算即可． 【详解】解：∵内接正多边形的中心角为，且， ∴该正多边形的边数是20． 故选：D． 7. 如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是的外心， ∴， ∵点I是的内心，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：B． 8. 若一元二次方程的两根分别是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与因式的关系，关键是灵活应用； 由两根写出方程的因式分解形式，再展开得到一般式，与选项对比即可． 【详解】解：∵ 方程的两根分别为 ，， ∴ 方程可写为 ， 展开得：， ∴ 这个方程可以是 ， 故答案选： B． 9. 若直角三角形的两边长满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程及勾股定理、三角形的周长等，关键是解方程． 先求解方程得到两边长，再根据直角三角形勾股定理分情况讨论第三边，周长即可求得． 【详解】解：∵ 方程 因式分解得 ， ∴ 或 ，即两边长分别为； 设第三边为 ， 当和均为直角边，则斜边 ， ∴ 周长 。 当为斜边，为直角边，则另一直角边 ， ∴ 周长 。 ∵ 斜边必须最长，且 ，故不能为斜边， ∴ 周长可能为或 ， 故答案选：D． 10. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元一次方程的解，根据二次系数非零及根的判别式，找出关于x的一元一次不等式组是解题的关键．分类讨论及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， 当时，即：时，方程为：，有实数根； 当时， 解得：且， 综上所述：， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 首先计算零指数幂部分，任何非零数的零次方等于1；然后处理绝对值，需判断内部正负；最后利用二次根式和特殊角三角函数值化简即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为______________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，求一个角的正弦值，三角形的外角定理等知识点，正确理解矩形和折叠的性质是解题的关键．根据矩形和折叠的性质证明，再根据三角函数定义，进行求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 把沿折叠，点恰好落在边上的点处， ，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：． 13. 一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算、弧长公式，设扇形的半径为，根据弧长求出半径，最后由扇形面积公式计算即可得出答案． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，内接于，若，，则的半径是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得所在的直线是的垂直平分线，则三点共线，运用垂径定理和勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解： 过点作，连接 ∵，， ∴所在的直线是的垂直平分线， ∴三点共线， ∴， 在中，， 设的半径是， 则， 在中，， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 是方程的根，则式子的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，先根据一元二次方程的根的定义可得，则，再代入计算即可得，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，则， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本题共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. 为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】（1）的长为 （2）塔的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据计算即可得解； （2）由题意可得为等腰直角三角形，从而可得，作于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，再在中，解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， ∴， ∴， 故的长为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，，， ∴， ∴， ∴米， 故塔的高度为米． 17. 已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC＝8，sinα＝． 求：（1）线段OC的长； （2）cos∠DOC的值． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】(1)由sinα＝＝，设AB=3x，则AC=5x，由勾股定理得出方程（3x）2+82＝（5x）2，解方程得出AC=10，即可求出OC＝AC＝×10＝5； (2)由直角三角形斜边上的中线性质得出OB＝OC＝OA＝AC＝5，设OD=y，则BD=OB+OD=5+y，由勾股定理得出方程82﹣（5+y）2＝52﹣y2，得出y=，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】（1）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC， ∴sinα＝＝， 设AB＝3x，则AC＝5x， ∵AB2+BC2＝AC2， 即（3x）2+82＝（5x）2， 解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意舍去）， ∴AC＝10， ∵点O是AC的中点， ∴OC＝AC＝×10＝5； （2）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点， ∴OB＝OC＝OA＝AC＝5， 设OD＝y，则BD＝OB+OD＝5+y， ∵CD⊥OB， ∴CD2＝BC2﹣BD2＝OC2﹣OD2， ∴82﹣（5+y）2＝52﹣y2， 解得：y＝， ∴cos∠DOC＝＝＝． 【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键． 18. 如图，是的中线， 求： （1）长； （2）的正弦值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，作于． 在中，，， ，， 在中，， ， ． 【小问2详解】 ， ，，， 在中，． 的正弦值为． 19. 如图，是的切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，菱形的判定和性质，利用锐角三角函数解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）连接交于点E，利用切线的性质和平行四边形的性质得出相等的角和边，证明，即可得出结论； （2）延长交于点F，根据条件证明垂直平分，得到，证明是等边三角形，利用锐角三角函数得出，然后利用作差法进行求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点E． ∵是的切线， ∴，即． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点F， ∵， ∴. 又∵， ∴， ∴垂直平分， ∴. 由(1)可得，， ∴平行四边形菱形， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴. 由(1)知，， ， ． 20. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8；（3） 【解析】 【分析】1）连接，由切线的性质得出，由等腰三角形的性质得出，得出，即可得出结论； （2）设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解法长即可； （3）过点作交的延长线于，当时，，得出，，，当时，，，即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：连接，如图1所示： 是的切线， ， ， ， 、是的两条半径， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 设， ， ， ， ， ， 即：， 解得：， ； （3）解：过点作交的延长线于，如图2所示： 当时，， ，， ， 当时，， ，， ， 当从增大到的过程中，在圆内扫过的面积为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、扇形面积的计算、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和勾股定理是解题的关键． 21. 用适当方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据因式分解解方程即可； （2）先移项，再根据因式分解解方程即可； （3）根据平方差公式进行因式分解解方程即可； （4）先移项，再提出公因式，解方程即可． 【小问1详解】 解： 因式分解得， 或 解得，； 【小问2详解】 解： 移项得， 或 解得，； 【小问3详解】 解： 或 解得，； 【小问4详解】 解： 或 解得，． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求a的取值范围； （2）若a为正整数，且方程的两个根也是整数，求a的值及此时的两根． 【答案】（1）且． （2），此时方程两根为，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合根的判别式，求出的取值范围． （2）在（1）的基础上，根据为正整数，确定的可能值，再代入方程，结合根为整数，确定的值，进而求出方程的根． 【小问1详解】 解：∵方程是一元二次方程， ∴． 又∵方程有实数根， ∴根的判别式，其中，，， ∴， ， ， ， ∴的取值范围是且． 【小问2详解】 解：∵为正整数，且， ∴或． 当时，方程为，此时，，根不是整数，不符合题意． 当时，方程为， 解得，，符合题意． ∴，此时方程的两根为，． 23. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形结合起来，从而实现化繁为简、化抽象为易懂的目的．该思想可以应用于三角函数的问题当中． 【问题导入】的值． 以下是数学小组组长小峻同学的想法，请你补充完整． 如图1，在中，，延长至使，连接．设． 【实际应用】蜡烛变“矮”了多少？ 如图2，一支蜡烛，太阳光掠过蜡烛，与桌面的夹角为，一段时间过去后，蜡烛只剩下这么长，此时恰好是的角平分线．已知，求的长（结果保留根号） 【拓展延伸】以小见大，以特殊见普通． 已知为锐角，，请延续以上的题目思路，求的值（结果用表示，保留根号） 【答案】问题导入：； 实际应用：； 拓展延伸：． 【解析】 【分析】问题导入：通过直角三角形的性质和勾股定理求得，接着利用外角和等边对等角求得，最后利用求得答案； 实际应用：先根据，求得，再根据问题导入可知，求得，即可求得； 拓展延伸：在中，，延长至使，连接．设，利用，表示出，那么，接着利用外角和等腰对等角求得，最后利用求得答案． 【详解】解：问题导入： 在中，，延长至使，连接．设，如图所示： 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ； 实际应用： 平分，， ， ，， ， 由问题导入可知，， ， ∴， ； 拓展延伸：在中，，延长至使，连接．设，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，角平分线的定义，30度所对的直角边等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中学业质量测评 九年级数学试题 时间：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置．） 1. 把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（　　） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 2. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，点是延长线上一点，且，则的值为（ ） A B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； B. 优弧一定比劣弧长； C. 弧长相等的弧则所对的圆心角相等； D. 在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． 5. ⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ） A. 2 B. 14 C. 2或14 D. 7或1 6. 若一个圆的内接正多边形的中心角为，则该正多边形的边数是（　　） A. 14 B. 18 C. 16 D. 20 7. 如图，点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根分别是，，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 9. 若直角三角形的两边长满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 计算_______． 12. 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为______________ 13. 一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______（用含的式子表示）． 14. 如图，内接于，若，，则的半径是___________． 15. 是方程根，则式子的值为______． 三、解答题（本题共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. 为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． （1）求的长； （2）求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 17. 已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC＝8，sinα＝． 求：（1）线段OC的长； （2）cos∠DOC的值． 18. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 19. 如图，是切线，点C为切点，以为边作平行四边形，点A，D均在上，连接，圆心O在上． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 20. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．波波决定研究一下圆．如图，、是的两条半径，，C是半径上一动点，连接并延长交于D，过点D作圆的切线交的延长线于E，已知． （1）求证：； （2）若，求长； （3）当从增大到的过程中，求弦在圆内扫过的面积． 21. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求a的取值范围； （2）若a为正整数，且方程的两个根也是整数，求a的值及此时的两根． 23. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形结合起来，从而实现化繁为简、化抽象为易懂的目的．该思想可以应用于三角函数的问题当中． 【问题导入】的值． 以下是数学小组组长小峻同学的想法，请你补充完整． 如图1，在中，，延长至使，连接．设． 【实际应用】蜡烛变“矮”了多少？ 如图2，一支蜡烛，太阳光掠过蜡烛，与桌面的夹角为，一段时间过去后，蜡烛只剩下这么长，此时恰好是的角平分线．已知，求的长（结果保留根号） 【拓展延伸】以小见大，以特殊见普通． 已知为锐角，，请延续以上的题目思路，求的值（结果用表示，保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $