2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第五讲　分式

该初中数学讲义聚焦分式中考核心考点，系统梳理分式概念、基本性质及运算三大模块，通过表格化呈现概念要素、性质应用及运算法则，配套即时练夯实基础，结合河北中考真题训练，形成“考点梳理-方法指导-真题突破”复习闭环，助力学生构建知识网络。 亮点在于“一题串讲”教学法，如通过分式化简求值题整合概念辨析、性质应用及运算技巧，培养抽象能力与运算能力。设置基础过关、能力提升、挑战突破分层练习，配合5分钟真题限时测试，确保高效复习，既提升学生解题熟练度，又为教师提供精准复习节奏把控依据。

第五讲　分式 考点一　分式的相关概念 分式 形如的代数式叫做分式,其中A,B都是整式,B中含有①　　　　且B≠0,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母  最简分式 分子与分母没有②　　　　的分式叫做最简分式  分式有意 义的条件 分母③　　　　0  在求使分式有意义条件时,不能对分式进行化简,要就原分式讨论.如使分式有意义的条件是④　　　　　　　  分式无意 义的条件 分母⑤　　　　0  分式值为 零的条件 分子⑥　　　　0,且分母⑦　　　　0  判断是否是分式时,一定不要先化简再判断,关键是看分母中是否含有字母. 1.下列各式:3x-4,x2-1,,,0,,,其中分式共有　　　　个.  2.下列4个分式中:①;②;③;④,最简分式有　　　　个.  3.已知分式. (1)当x　　　　时,分式有意义.  (2)当x　　　　时,分式的值为零.  (3)当x=-2时,分式的值为　　　　.  考点二　分式的基本性质 基本 性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于零的⑧　　　　,分式的值⑨　　　　,即,(M≠0),其中A,B,M是整式  约分 定义 把一个分式的分子与分母的⑩　　　　约去,叫做分式的约分  关键 确定公因式 确定公 因式的 步骤 (1)分子、分母中能因式分解的先进行因式分解. (2)取分子、分母中相同因式的最低次幂的积(数字因式取它们的最大公约数)作为公因式 通分 定义 根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 　　　　的分式,叫做分式的通分  最简公 分母 一般取各分母的所有因式的　　　　　　作为公分母,它叫做最简公分母  确定最简 公分母 的步骤 (1)各分母能因式分解的先进行因式分解. (2)取各分母系数的　　　　.  (3)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式. (4)同底数幂取次数最　　　　的,得到的因式的积就是最简公分母  4.下列分式从左到右变形一定成立的是(　　) A. B. C. D.=- 5.填空: (1)与的最简公分母为　　　　.  (2)与的最简公分母为　　　　.  6.按要求填空: (1)=　　　　(不改变分式的值,把分子、分母中的各项系数化为整数且为最简分式).  (2)约分:=　　　　.  (3)通分:=　 ,=　　　 　.  考点三　分式的运算 乘除 (1)分式乘分式,用分子的积作积的分子,分母的积作积的分母,即·=　　　　(a≠0, c≠0).  (2)分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘,即=　　　　　　 (a≠0,c≠0,d≠0)  乘方 分式的乘方就是把分子、分母分别乘方,即=　　　　(n为整数,a≠0)  加减 (1)同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,即=　　　　.  (2)异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减,即=　　　　.  当整式与分式进行加减运算时,要将整式看作分母为1的分式,然后进行通分 混合运算 分式的运算顺序与实数的运算顺序相同,要注意运算结果要化为　　　　　　　  分式化简求值的一般步骤 (1)有括号先计算括号内的. (2)除法运算转化为乘法运算. (3)分式的分子、分母能因式分解的先进行因式分解. (4)约分. (5)进行加减运算时,对于异分母分式,先进行通分,转化为同分母分式,此时分母不变,分子合并同类项,最终化成最简分式. (6)将所给数值代入最简分式求值,代入数值时注意使原分式有意义. 7.计算: (1)=　　　　.  (2)·=　　　.  (3)·=　　　　.  (4)·=　　　　.  (5)-=　　　　.  (6)=　　　　.  8.当x=+1时,代数式的值为　　　　.  9.先化简,再求值,其中-2≤a≤2且a为整数,请你从中选取一个合适的数代入求值. 已知A=,B=. (1)嘉嘉说:“A,B都是分式.”淇淇说:“A是整式,B是分式.”则针对以上说法,下列判断正确的是(　　) A.嘉嘉的说法正确 B.淇淇的说法正确 C.淇淇的说法不正确 D.嘉嘉和淇淇的说法都不正确 (2)A的值等于0时,m的值为　　　;B有意义时,m满足的条件为　　　　　.  (3)若B为负数,求m的取值范围. (4)设y=,若m为整数,求正整数y的值. (5)当m>0时,比较A-B与0的大小,并说明理由. (6)化简:·A-B. (1)根据分式的定义进行判断即可. (2)A的值等于0时,分子等于0;B有意义的条件是分母不等于零. (3)B为负数时,分子和分母异号,故进行分类讨论. (4)先对y进行化简得y=,若y是正整数,则m+1一定是正整数且是4的因数,从而求出y的值. (5)利用分式的减法法则进行计算,从而求出A-B的值,然后根据分式的正负情况判断大小. (6)根据分式混合运算顺序进行化简即可. 命题点一　分式的相关概念及基本性质 ❶ (2020·河北改编)若a≠b,根据分式的基本性质对分式变形,下列正确的是(　　) A. B. C. D. ❷ (2024·河北样卷)使式子有意义的x的取值范围是　　　　.  命题点二　分式的运算 一、分式的化简 ❸ (2023·河北)化简x3()2的结果是(　　) A.xy6 B.xy5 C.x2y5 D.x2y6 ❹ (2024·河北)已知A为整式,若计算的结果为,则A=(　　) A.x B.y C.x+y D.x-y ❺ (2018·河北)老师设计了接力游戏,用合作的方式完成分式化简.规则:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后完成化简.过程如图所示: 接力中,自己负责的一步出现错误的是(　　) A.只有乙 B.甲和丁 C.乙和丙 D.乙和丁 二、分式的化简求值 ❻ (2025·河北)若a=-3,则=(　　) A.-3 B.-1 C.3 D.6 ❼ (2021·河北)由()值的正负可以比较A=与的大小,下列正确的是(　　) A.当c=-2时,A= B.当c=0时,A≠ C.当c<-2时,A> D.当c<0时,A< ❽ (2019·河北)如图,若x为正整数,则表示的值的点落在(　　) A.段① B.段② C.段③ D.段④ 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①字母　②公因式　③不等于　④B≠0,C≠0且D≠0　⑤等于　⑥等于 ⑦不等于　⑧整式　⑨不变　⑩公因式 同分母　最高次幂的积　最小公倍数　高　　·　　　 最简分式或整式 即时练 1.3　2.2 3.(1)≠3　(2)=-3　(3) 4.C 5.(1)2(x-1)　(2)(x-1)2 6.(1)　(2)- (3)　 解析:(1)分式的分子和分母乘2,可得原式=,分式的分子和分母再乘10,可得原式=. (2)原式可化为,分式的分子和分母除以2a(1-a),可得原式=-. (3)4-9m2=(2+3m)(2-3m),9m2-12m+4=(3m-2)2=(2-3m)2,∴两分式的最简公分母为(2+3m)(2-3m)2,∴,. 7.(1)　(2)y　(3)　(4)-x (5)a　(6) 解析:(1)原式=·. (2)原式=·=y. (3)原式=·. (4)原式=··=-x. (5)原式==a. (6)原式=. 8.　解析: =·, 当x=+1时,原式=. 9.解: = =· =-. 当a=0时,原式=-.(答案不唯一) 重点难点·一题串讲 例:解:(1)B　(2)-1　m≠-1 (3)由题意可得,<0, ∴或 解得-1<m<0. (4)y=, ∵m为整数,y为正整数, ∴y的值为4或2或1. (5)A-B≥0.理由如下: A-B== . ∵m>0,∴m+1>0,(m-1)2≥0, ∴≥0,即A-B≥0. (6)·A-B =()· =· =2+m- = = =. 河北中考·考向体验 1.D　2.x< 3.A　解析:x3()2=x3·=xy6.故选A. 4.A　解析:∵, ∴, 即, ∴, ∴Ax=x2,∴A=x.故选A. 5.D　解析:·=-·=-·=-,∴乙和丁错误.故选D. 6.B　解析:,当a=-3时,原式==-1.故选B. 7.C　解析:,当c=-2时,2+c=0,A无意义,故A选项错误,不符合题意;当c=0时,=0,A=,故B选项错误,不符合题意;当c<-2时,>0,A>,故C选项正确,符合题意;当-2<c<0时,<0,A<,故D选项错误,不符合题意.故选C. 8.B　解析:=1-.∵x为正整数,∴1-<1,当x=1时,原式的值最小,为.∴≤1-<1,∴表示原式的值的点落在段②.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $