5.4 函数的奇偶性（第2课时）教学设计- 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数奇偶性的深化应用，涵盖奇偶性判定、解析式求解及与单调性的综合问题。课堂导入通过教师引导学生自主回顾奇偶性定义、判断方法等知识，避免机械提问，帮助构建完整知识框图，作为后续典例学习的支架。 特色在于以学生自主知识建构为基础，通过典例精讲落实逻辑推理与数学运算核心素养。例如例题1用定义法判断奇偶性，强调定义域对称的前提，培养严谨推理；例题2利用奇偶性求解析式，体现“求谁设谁”的方法，提升运算能力。既帮助学生深化知识理解，又为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

第5章 函数概念与性质 5.4 函数的奇偶性（第2课时） ▍教学目标 1. 进一步理解函数奇偶性的判定及其应用． 2. 会利用函数的奇偶性求函数的解析式． 3. 能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题． 逻辑推理：证明函数奇偶性，求函数的解析式． 数学运算：运用函数奇偶性求参数． 数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题． ▍复习回顾 [教师引导] 1. 函数奇偶性的定义： (1) 偶函数定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意的，都有，并且，那么称函数是偶函数． (2) 奇函数定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于任意的，都有，那么称函数是奇函数． 2. 对奇偶性的理解： (1) 奇函数定义域内任意的变量恒有图象关于轴对称； (2) 偶函数定义域内任意的变量恒有图象关于原点对称． 3. 判断函数奇偶性的方法： (1) 图象法； (2) 定义法． 4. 定义法判断奇偶性的一般步骤：一看、二求、三判断． [处理建议] 教师不要采用逐条知识点提问，学生集体逐一回答的形式．教师可以采用以下提问方式：上节课，我们学习了函数的一个重要性质—奇偶性，请你谈谈对奇偶性相关知识点的理解． 让学生自主主动回顾、检索所学知识，并分层次予以理解和表达，有利于学生形成并提取完整的知识框图和有关解题技能的思维导图． ▍典例精讲 题型一：判断下列函数的奇偶性 【例题1】 判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ． [解析] (1) 因为函数的定义域为．因为对于任意的，都有， 又， 所以函数是偶函数． (2) 由，解得或，所以函数的定义域为，它不关于原点对称，故函数是非奇非偶函数． (3) 由解得定义域为， 化简函数解析式得． 因为对于任意的，都有， 又． 所以是奇函数，即函数是奇函数． 方法归纳 1. 判断函数奇偶性的方法有两种： (1) 定义法（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤）： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定与的关系（必要时还需对解析式进行变形与化简）； 3 作出相应结论：若或，则是偶函数； 若或，则是奇函数． (2) 图象法：图象关于原点对称，则函数为奇函数； 图象关于轴对称，则函数为偶函数． 2. 判断一个函数的奇偶性，首先要考察它的定义域是否满足“任意和都在函数的定义域内”，即是否关于原点对称，如果对称然后再考察与的关系；否则函数既不是奇函数，也不是偶函数．若函数的解析式能化简，要考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）． 题型二：利用函数的奇偶性求解析式 【例题2】 若函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式． [分析] 本题只需要求出当时，的表达式即可，可通过设，，再代入已知表达式，化简求解． [解析] 当时，，， 因为函数是奇函数，所以， 所以时，，故 【变式1】 在本例条件下，求的值． [解析] 因为函数是定义在上的奇函数，所以． 【变式2】 将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，其他条件不变，求当时，函数的解析式． [解析] 当时，，， 因为函数是偶函数，所以， 所以，即时，． 方法归纳 利用奇偶性求函数解析式的思路： (1) “求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设在哪个区间内． (2) 利用已知区间的解析式代入． (3) 利用的奇偶性写出或，从而解出． 题型三：函数的奇偶性与单调性的综合问题 角度一：比较大小问题 【例题3】 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（　　） A. B. C. D. [解析] 因为函数为上的偶函数， 所以，． 又当时，是增函数，且， 所以，故． [答案] A 角度二：解不等式 【例题4】 已知定义在上的函数． (1) 试判断的奇偶性及在上的单调性； (2) 解不等式． [分析] 采用定义法证明函数的奇偶性，其一般步骤为：一看（看定义域→是否关于“”对称），二找（找关系→与），三判断（下结论→奇偶性）；函数的单调性的证明也是定义法证明，其一般步骤为：设元、作差、变形、定号和判定． [解析] (1) 因为，所以任取，则， 所以． 故为奇函数． 任取且， 所以． 因为，且分母，， 所以，故在上为增函数． (2) 因为定义在上的奇函数是增函数， 由，得． 所以有即解得． 故不等式的解集为． 方法归纳 奇偶性与单调性综合问题的两种类型： (1) 比较大小： 1 自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； 2 自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． (2) 解不等式： 1 利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； 2 ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式（组）求解． ▍课堂反馈 1. 设，，若是函数的单调递增区间，则一定是的单调递减区间的是（ ） A. B. C. D. [解析] 因为， 所以是偶函数，因而在上一定单调递减． [答案] B 2. 已知偶函数在区间上单调递减，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. [解析] 因为偶函数在区间上单调递减，且满足，所以不等式等价为，即，所以，计算得出，故的取值范围是． [答案] A 3. 设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式． [解析] 因为是偶函数，是奇函数， 所以，， 由．① 用代替得， 所以，② ，得；，得；，得． 4. 已知函数是定义域为的偶函数，且当时，． (1) 求出函数在上的解析式； (2) 画出函数的图象； (3) 根据图象，写出函数的单调递减区间及值域． [解析] (1) 因为函数是定义域为的偶函数，所以． 当时，，所以． 综上， (2) 函数的图象如图所示： (3) 由(2)中图象可知，的单调递减区间为，， 函数的值域为． ▍课堂总结 【问题】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结． 学科网（北京）股份有限公司 $