5.3 函数的单调性（第2课时）教学设计- 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数最大（小）值的概念、几何意义及求法，通过复习单调性定义与图象特征，结合气温变化图情境引导学生观察最高点和最低点，搭建从单调性到最值的学习支架，实现从直观感知到数学语言刻画的过渡。 以情境驱动概念建构，气温图培养数学眼光，类比单调性定义发展数学思维，烟花燃放实例落实数学建模。涵盖图象法、单调性法及参数问题等题型，方法归纳系统，助力学生提升抽象与运算能力，为教师提供结构化教学方案。

第5章 函数概念与性质 5.3 函数的单调性(第2课时) 教学目标 1. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2. 学会运用函数图象和单调性求一些简单函数的最值. 3. 通过对含参数函数单调性的研究,进一步理解函数单调性的定义. 4. 掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法. 5. 能利用函数的最值解决有关的简单实际问题. 数学抽象:图象法求函数的最值. 数学运算:利用函数的单调性求最值. 数学建模:在具体问题情境中运用单调性和最值解决实际问题. 情境设置 【问题1】 (1) 增函数和减函数是怎样定义的? (2) 增函数的图象和减函数的图象各有什么特征? (3) 怎样判断函数单调性? 【问题2】 下图为某市一天24小时内的气温变化图.气温是关于时间的函数,记为. (1) 观察这个气温变化图,你能求出函数的值域吗? (2) 通过观察你还能发现什么? [学生活动] 学生从图象上可以看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0至24时之间,气温于14时达到最大值9 . 从图象上看,图象在这一点的位置最高.同样可以看出4时的气温为全天的最低气温,它表示在0至24时之间,气温于4时达到最小值 . 【问题3】 函数的最大值及最小值分别对应函数图象上怎样的点?你能举例说明函数存在最值的情况吗? [学生活动] 函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点,典型的例子就是二次函数(),当时,函数有最小值;当时,函数有最大值. 概念的探究与建构 【问题4】 从图中可以看出,在14时气温最大,在4时气温最小.如何用数学语言刻画最大值与最小值?用数学语言需借助什么?需描述什么关系? (可以类比上一课时单调性数学语言的描述) [学生活动] 可以看出:对于任意的,都有;对于任意的,都有. [教师引导] 如何抽象出函数最大值的定义? 形成知识 一般地,设函数的定义域为. 如果存在,使得对于任意的,都有,那么称为的最大值,记为. 【问题5】 你能仿照函数最大值的定义,给出函数的最小值的定义吗? 形成知识 一般地,设函数的定义域为. 如果存在,使得对于任意的,都有,那么称为的最小值,记为. 【思考1】 (1) 我们班上的任意一个同学的年龄肯定都小于等于100岁,那么能说我们班上的同学最大年龄是100岁吗? (2) 函数恒成立,的最小值是吗? [学生活动] (1) 错误; (2) 的最小值不是,因为取不到. 【思考2】 (1) 如果函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则函数在处有最大值,对吗? (2) 如果函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,则函数在处有最小值,对吗? 形成知识 1. 函数最大(小)值的定义中的不等式()必须对定义域中的任意都成立,这说明函数的最值是函数全局的一个性质. 2. 仅满足“对任意的,都有()”,不能得出是最大(小)值这一结论,必须同时满足“存在,使得”. 3. 函数的最大值、最小值的几何意义:函数的最大值是函数图象上最高点的纵坐标,函数的最小值是函数图象上最低点的纵坐标. 4. 函数的最大值点不一定唯一. 知识的运用与升华 题型一:利用函数图象求最值及单调区间 【例题1】 函数,的图象如图所示,指出它的最大值、最小值及单调区间. [解析] 由函数图象可以知道,图象上位置最高的点是,最低的点是. 所以,当时,函数取得最大值,即; 当时,函数取得最小值,即. 由图可知,函数的增区间为,; 减区间为,,. [处理建议] 在学生正确回答完本题后,教师还可以追问:“你能用刚学到的数学语言来描述这些结果吗?”让学生在实际的问题解决中加深对概念的理解与记忆. 【例题2】 已知函数 (1) 画出函数的图象并写出函数的单调区间; (2) 根据函数的图象求出函数的最小值. [解析] (1) 函数的图象如图所示. 由图象可知的单调递增区间为和,无递减区间. (2) 由函数图象可知,函数的最小值为. 方法归纳 1. 图象法求最值的一般步骤: 2. 利用图象写最值时,要写最高(低)点的纵坐标,而不是横坐标. 3. 求函数的最值时,一般都要说明函数值为最大或最小值时对应的自变量的值. 题型二:利用函数的单调性求最值 【例题3】 已知函数. (1) 判断在区间上的单调性; (2) 根据的单调性求出在区间上的最值. [解析] (1) 设,是区间上的任意两个实数,且, 则 . 因为,所以. 当时,,,即. 所以,即在区间上是减函数. (2) 由(1)知的最小值为,; 的最大值为, 所以的最小值为,最大值为. 方法归纳 1. 利用单调性求函数最值的一般步骤: (1) 判断函数的单调性; (2) 利用单调性写出最值. 2. 通过函数的单调性研究最大(小)值,要考虑定义域为闭区间的函数在端点处的函数值的大小. 【例题4】 求下列函数的最大值和最小值: (1) (2) ,. [分析] 可以引导学生分别挑选用图象和用定义解决,但要注意图象的直观性无法替代数学的严谨性. [解析] (1) 函数的图象如图所示,由图可知: 当时,取最小值,最小值为. (2) 先判断函数区间上的单调性, 设任意的,且, 则. 由,得,, 于是,即. 所以,函数在区间上单调递减. 因此,函数在区间上的两个端点上分别取得最大值与最小值,在时取得最大值,最大值是;在时取得最小值,最小值是. 方法归纳 1. 分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中的那个最大(小)值. 2. 函数的最值与单调性的关系: (1) 若函数在区间上是增(减)函数,则在区间上的最小(大)值是,最大(小)值是. (2) 若函数在区间上是增(减)函数,在区间上是减(增)函数,则在区间上的最大(小)值是,最小(大)值是与中较小(大)的一个. (3) 若函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线,则函数在区间上一定有最值. (4) 求最值时一定要注意所给区间的开闭,若是开区间,则不一定有最大(小)值. 题型三:函数单调性的应用 角度一:利用单调性比较大小或解不等式 【例题5】 已知函数在区间上是减函数,试比较与的大小. [答案] [解析] 因为, 所以与都是区间上的值. 又在区间上是减函数,所以. 【例题6】 已知是定义在上的增函数,且,求的取值范围. [解析] ∵是上的增函数,且, ∴即∴,∴的取值范围为. 方法归纳 抽象函数单调性求参: (1) 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小. (2) 在利用函数的单调性解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. (3) 利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性,去掉对应关系“”,转化为自变量的不等式,此时一定要注意自变量的限制条件,以防出错. 角度二:已知单调性求参数的范围 【例题7】 已知函数在上单调递增,求实数的取值范围. [分析] 用图象法或定义法解决. [解析] 方法一(图象法): 由. 图象上下平移,不影响函数的单调性,因此只需考虑的正负性: ①当时,,不具有单调性,舍去; ②当时只有减区间,舍去; ③当时,函数的图象如图所示,可知满足题意. 综上可得,即实数的取值范围是. 方法二(定义法): 设,为内任意两个值,且, 由在上单调递增知:恒成立, 即恒成立. 因为,, 故,即,因此,实数的取值范围是. 方法归纳 函数在区间上单调递增,是指对于任意的,,有;反之,若,则.对于区间上的减函数. 题型四:单调性最值的实际应用 【例题8】 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它在到达最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度m与时间s之间的关系为,那么烟花冲出后多久是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到m)? [解析] 作出函数的图象(如图). 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识,对于函数,我们有:当时,函数有最大值;于是,烟花冲出后s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为m. 方法归纳 解函数应用题的一般程序: (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系. (2) 建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型. (3) 解模:求解数学模型,得到数学结论. (4) 还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. (5) 回顾:对于数学模型得到的数学解,必须验证这个数学解对实际问题的合理性. 课堂反馈 1. 已知函数求的最大值、最小值. [解析] 作出函数的图象(如图). 由图象可知,当时,取最大值为. 当时,取最小值为, 故的最大值为,最小值为. 2. 求函数,的最大值和最小值. [分析] 可以引导学生分别用图象和用定义解决,但要注意图象的直观性无法替代数学的严谨性. [解析] 先判断函数区间上的单调性, 设任意的,且, 则. 由,得,, 于是,即. 所以,函数在区间上单调递减. 因此,函数在区间上的两个端点上分别取得最大值与最小值,在时取得最大值,最大值是;在时取得最小值,最小值是. 3. 已知函数是上的单调函数,求实数的取值范围. [分析] 先研究每段单调性,再合成整个函数的单调性. [解析] 由于单调递减,所以在上只能为减函数, 所以解得,即实数a的取值范围是. 课堂总结 【问题6】 通过本节课的学习和研究,你有哪些收获或启示? [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程中的体验和感受,教师引导学生,生生、师生合作共同完成小结. 知识框图 知识与技能层面: (1) 函数的最值与值域、单调性之间的联系: 1 对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数.如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素. 2 若函数在闭区间上单调,则的最值必在区间端点处取得.即最大值是或,最小值是或. (2) 学会了运用函数图象和单调性求一些简单函数的最值. (3) 通过对含参数函数单调性的研究,求参数的范围. (4) 能利用函数的最值解决有关的简单实际问题. 学科网(北京)股份有限公司 $