5.3 函数的单调性（第1课时）教学设计- 2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数单调性的概念理解与判断证明，从气温变化图的生活情境导入，引导学生观察温度随时间变化规律，前承函数概念与图像知识，后为指数函数等性质学习提供方法示范，搭建从直观到抽象的学习支架。 该资料以数形结合为主线，通过图像观察到符号语言刻画的探究过程，渗透数学抽象与逻辑推理素养，如引导学生从具体数值验证到“任意”两数比较的定义建构。定义证明步骤清晰（设元、作差、变形、断号、定论），培养学生严谨思维，助力教师实施从情境到概念的深度教学，提升学生数学表达与论证能力。

江苏凤凰教育出版社 高中数学 必修 第一册 第5章 函数概念与性质 5.3 函数的单调性（第1课时） 本课时内容主要包括从形与数两方面理解函数单调性的概念，依据图象判断函数的单调性和应用定义证明一些简单函数在给定区间上的单调性．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中指出“借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义”． 函数的单调性是学生在了解函数概念之后学习的第一个函数性质，也是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的性质．函数单调性的研究体现了对函数研究的一般方法．这就是：加强数形的结合，由直观到抽象，由特殊到一般．即借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化的数字特征，从而加以解析研究，用准确的数学语言刻画．函数的单调性为研究函数的其他性质起到了示范作用，提供了方法依据． 函数的单调性有着承前启后的作用．一方面，函数的单调性是前一节内容函数的概念与图象知识的延续与扩展，同时函数的单调性又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础，在解决函数定义域、值域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；此外，从方法论的角度分析，本节教学过程当中，还渗透了数形结合、归纳类比、转化与化归等数学思想．利用定义证明函数单调性的过程中，算法的思想提前渗透，在强调对单调性概念中的“任意”理解的同时，为后面逻辑用语中的全称量词和存在性量词的深入理解提前做了铺垫． ▍教学目标 1. 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法． 2. 通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3. 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 数学抽象：用数学符号语言表示函数单调性． 逻辑推理：证明函数单调性． 直观想象：图象法判断函数的单调性． ▍情境设置 【问题1】 下图为某市一天24小时内的气温变化图． 观察这张气温变化图，能得到什么信息？ [学生活动] (1) 当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻； (2) 在某时刻的温度； (3) 哪些时段温度升高，哪些时段温度降低． [教师引导] (1) 如何描述气温随时间的变化情况？ (2) 在区间上，随的增大而增大这一特征， 要是用数学符号来刻画，该如何表述呢？ (3) 能不能说：取，，，，得到相对应的，，，的值，有，所以在上，随的增大而增大？ (4) 能不能说，取该子区间内所有的输入值，，，…，，得到相对应的，，，…，的值，有，所以在区间上，随的增大而增大？ 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． [教师引导] 生活中还有哪些数据是随着时间的变化而变化的？ [学生活动] 水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等． [教师引导] 用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． ▍概念的探究与建构 [教师引导] 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性，同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义． 【问题2】 分别作出函数，，，的图象，并观察自变量变化时函数值的变化规律． [学生活动] (1) 函数，在整个定义域内随的增大而增大；函数，在整个定义域内随的增大而减小． (2) 函数，在上随的增大而增大，在上随的增大而减小． (3) 函数，在上随的增大而减小，在上随的增大而减小． [教师引导] 引导学生进行分类描述（增函数、减函数），同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质． 【问题3】 你能不能根据自己的理解说说什么是增函数？ [学生活动] 如果函数在某个区间上随自变量的增大，也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数；如果函数在某个区间上随自变量的增大，越来越小，我们说函数在该区间上为减函数． [教师引导] 这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识． 【问题4】 如图是函数的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？ [学生活动] 学生的困难是难以确定分界点的确切位置． [教师引导] 通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究． 【问题5】 如何从代数的角度说明在上为增函数？ [学生活动] (1) 在给定区间内取两个数，例如和，因为，所以在上为增函数． (2) 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增函数． (3) 任取，且， 因为，即， 所以在上为增函数． [教师引导] 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量，． 【问题6】 你能用准确的数学符号语言刻画出在区间上递增吗？ [学生活动] 师生共同探究，得出增函数严格的定义． 形成知识 一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么称在区间上是增函数（也称在上单调递增），称为的增区间． 【问题7】 类比增函数概念，你能给出减函数的概念吗？ (1) 你能找出图中的单调区间吗？ (2) 能说出已经学过的函数的单调区间吗？请同学们举例说明． 形成知识 一般地，设函数的定义域为，区间．如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么称在区间上是减函数（也称在上单调递减），称为的减区间． 【思考1】 下图是定义在上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ [答案] 函数的单调递增区间为，； 单调递减区间为，． 【思考2】 判断题： (1) 已知，因为，所以函数是增函数． (2) 若函数满足，则函数在区间上为增函数． (3) 若函数在区间和上均为减函数，则函数在区间上为减函数． (4) 因为函数在区间和上都是减函数，所以在上是减函数． 形成知识 (1) 有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数）． (2) 函数在定义域内的两个区间，上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数． (3) 单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． 【思考3】 如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？ ▍知识的运用与升华 【例题】 证明函数在上是增函数． [分析] 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流． [证明] 任取，且 　　　　　　　设元 　　　　　　　求差 　　　　　　　变形 ， ∵，　　　　　　　　　　　　　　　　断号 ∴，， ∴，即， ∴函数在上是增函数．　　　定论 [学生活动] 引导学生归纳． 方法归纳 判断函数单调性的一般步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 【变式1】 判断函数在上的单调性，并予以证明． [证明] 任取，且，　　　　　　　　　　设元 　　　　　　　求差 　　　　　　　　变形 ， ∵，　　　　　　　　　　　　　　　　断号 ∴，， ∴即， ∴函数在上是减函数函数．　定论 【变式2】 判断函数在上的单调性，并予以证明． ▍课堂反馈 1． 证明函数在上是增函数． 2． 研究函数，的单调性． ▍课堂总结 【问题8】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，教师引导学生，生生、师生合作共同完成小结． 知识框图 1. 知识与技能层面： (1) 在区间上上是增函数图象自右向左呈上升趋势区间内任意的两个值，，当时，都有增函数； (2) 在区间上上是减函数图象自右向左呈下降趋势区间内任意的两个值，，当时，都有增函数． (3) 判断函数单调性的方法有：图象法，定义法． (4) 定义法证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 2. 思想与方法层面：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性、数形结合、归纳和类比． （本案例由江苏省丹阳市教师发展中心 汪正文 老师提供） 第 2 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $