2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第二讲　实数的大小比较及运算

该初中数学讲义聚焦“实数的大小比较及运算”中考核心考点，系统梳理数轴法、作差法等比较方法和运算法则、零次幂等运算要点，通过考点表格梳理、方法指导、真题训练及分层练习，帮助学生构建知识体系，突破重难点。 亮点在于“一题串讲”游戏活动设计，如让学生代表不同运算排列顺序计算，培养运算能力与推理意识，结合简便运算策略和中考真题解析，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

第二讲　实数的大小比较及运算 考点一　实数的大小比较 数轴法 当数轴上的正方向为从左到右时,数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数①　　　  性质法 正数>0>负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小 作差法 (1)a-b>0⇔②　　　　　.(2)a-b<0⇔③　　　　　.(3)a-b=0⇔④　　　　　  平方法 a2>b2⇔a>b(a>0,b>0)(常应用在无理数估值及含有无理数的大小比较中) 作商法 若a>0,b>0,则(1)>1⇔a>b.(2)=1⇔a=b.(3)<1⇔a<b 倒数法 若ab>0,则⇔a⑤　　　　b  特殊 值法 给字母取符合条件的数值,再代入验证比较大小 (1)若一组数据中有正数、0和负数,判断最大的数直接在正数中比较,判断最小的数直接在负数中比较. (2)进行大小排序时,先排序正数,再排序负数,根据正数>0>负数进行最终排序,也可将数在数轴上表示出来,从左到右,数越来越大. 1.(冀教七上P15例1变式)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论正确的是(　　) A.a<-2　 B.b<2 C.a<b D.-a>b 2.(冀教八上P78练习T2变式)比较下列各组数的大小,用“>”“<”或“=”连接. (1)3　　　　2.  (2)-3　　　 . (3)1　　　 . 考点二　实数的运算 ❶ 运算法则 加法 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值⑥　　　　;绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值⑦　　　　较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得⑧　　　　;一个数同0相加,仍得这个数  减法 减去一个数,等于加上这个数的⑨　　　　,即a-b=a+(-b)  乘法 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数与0相乘,都得0,即 除法 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除;0除以任何一个不等于0的数,都得0;一个数除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数,即a÷b=a·　　　　(b≠0)  乘方 an表示n个相同的因数a相乘,即an= ❷ 常见实数的运算 运算 法则 零次幂 a0=　　　　(a≠0)(注:an-n=an÷an=1)  负整数 指数幂 a-p=　　　　(a≠0,p为正整数),特别地,a-1=　　　　(a≠0)  -1的奇 偶次幂 (-1)n= 去绝对 值符号 (1)|a-b|= 如 (2)若|x|=a(a≠0),则x=　　　  常见的 开方 =2,=　　　　,=4,=3,=2,=5,=2,=　　　　,=　　　　,=-4  ❸ 实数混合运算的解题步骤 (1)将每个小项的值计算出来,一般涉及的有乘方、-1的奇偶次幂、零次幂、负整数指数幂、去绝对值符号、特殊角的三角函数值、开方运算等. (2)根据实数的运算顺序计算:先乘方,再乘除,最后加减;有括号时先计算括号里面的,同级运算按照从左到右的顺序进行运算. (3)计算结果. ❹ 运算律 加法 交换律:a+b=b+a;结合律:a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) 乘法 交换律:ab=ba;结合律:(ab)c=a(bc);分配律:a(b+c)=ab+ac 在实数的运算中往往可以采用简便运算来简化计算,常见的方法如下: (1)先“凑十”“凑百”“凑千”,然后利用分配律、平方差公式、完全平方公式等计算. (2)先将算式中所有的小数或分数凑成整数,再进行计算. (3)直接利用分配律、平方差公式、完全平方公式等计算. (4)(b-c)÷a=b÷a-c÷a(a≠0)能运用分配律,a÷(b-c)不能运用分配律. 3.(人教七上P51复习题1 T5变式)计算: (1)1-6=　　　　.  (2)(-2)×(-4)=　　　　.  (3)(-18)÷3=　　　　.  (4)-12×2÷=　　　.  (5)0×2 026=　　.  4.计算:-2cos 30°+|-|-(4-π)0=　　　.  5.简便计算: (1)-9×42. (2)9982. (3)99. (4)(-5)×8××(-1.25). (5)4.61×-5.39×+3×. (6)(3+2)(3-2). (7)(-48)×(-). (8)-101×190+1012+952. (9)×(1- )×…×. 在数学活动课上,李老师设计了一个游戏活动,四名同学分别代表一种运算,四名同学可以任意排列,每次排列代表一种运算顺序,剩余同学中,一名同学负责说一个数,其他同学负责运算,运算结果既对又快者获胜,可以得到一个奖品. 下面我们用四个卡片代表四名同学(如图): (1)列式,并计算: ①-10只经过B,D的顺序运算后,结果是多少? ②-3经过A,B,C,D的顺序运算后,结果是多少? ③5经过B,C,A,D的顺序运算后,结果是多少? (2)探究:数a经过D,C,A,B的顺序运算后,结果是45,a是多少? (1)根据题意,可以列出相应的算式,从而可以求得相应的结果. (2)根据题意,可以得到关于a的方程,从而可以求得a的值. 命题点一　实数的大小比较 ❶ (2024·河北)如图显示了某地连续5天的日最低气温,则能表示这5天日最低气温变化情况的是(　　) A. B. C. D. 命题点二　实数的运算 一、实数的简单运算 ❷ (2022·河北)与-3相等的是(　　) A.-3- B.3- C.-3+ D.3+ ❸ (2025·河北)从-5 ℃上升了5 ℃后的温度,在温度计上显示正确的是(　　) A B C D ❹ (2021·河北)能与-相加得0的是(　　) A.- B. C.- D.- ❺ (2021·河北)若取1.442,计算-3-98的结果是(　　) A.-100 B.-144.2 C.144.2 D.-0.014 42 二、实数的复杂运算 ❻ (2019·河北)有个填写运算符号的游戏:在“1　2　6　9”中的每个　内,填入+,-,×,÷中的某一个(可重复使用),然后计算结果. (1)计算:1+2-6-9. (2)若1÷2×6　9=-6,请推算　内的符号. (3)在“1　2　6-9”的　内填入符号后,使计算所得数最小,直接写出这个最小数. ❼ (2025·河北)(1)一道习题及其错误的解答过程如下: 计算:(-6)×. 解:(-6)× =-6×+6×-6× 第一步 =-3+4-5 第二步 =-4. 第三步 请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程. (2)计算:|2-|-(-2)2×. ❽ (2024·河北)如图,有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,乙数轴上的三点D,E,F所对应的数依次为0,x,12. (1)计算A,B,C三点所对应的数的和,并求的值. (2)当点A与点D上下对齐时,点B,C恰好分别与点E,F上下对齐,求x的值. 【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①大　②a>b　③a<b　④a=b　⑤> ⑥相加　⑦减去　⑧0　⑨相反数 ⑩ab　-ab　　1　 　-1　1　a-b　b-a 3-　2-　±a　2　-2　-3 即时练 1.C　 2.(1)>　(2)<　(3)< 解析:(1)(3)2=18,(2)2=12, ∵18>12,∴3>2. (2)|-3|=3,||=|-|=,33=27,()3=25,∵27>25,∴3>,∴-3<. (3)1-,∵3<<4,∴3-<0,∴<0,∴1<. 3.(1)-5　(2)8　(3)-6　(4)6　(5)0 4.2　解析:原式=3-2×-1=3--1=2. 5.解:(1)-9×42 =-×42 =- =-(420-2) =-418. (2)9982 =(1 000-2)2 =1 0002-2×1 000×2+22 =996 004. (3)99 =- =- =- =-9 999. (4)(-5)×8××(-1.25) =×[8×(-1.25)] =9×(-10) =-90. (5)4.61×-5.39×+3× =4.61×+5.39×-3× =×(4.61+5.39-3) =×7 =3. (6)(3+2)(3-2) =(3)2-(2)2 =18-12 =6. (7)(-48)× =(-48)×+(-48)×-(-48)× =36-40+28 =24. (8)-101×190+1012+952 =1012-2×101×95+952 =(101-95)2 =62 =36. (9)×(1-)×…× =×(1+)×…× =×…× = =. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)①-10-(-5)+6=1. ②[(-3)×2-(-5)]2+6 =(-6+5)2+6 =(-1)2+6 =1+6 =7. ③[5-(-5)]2×2+6 =(5+5)2×2+6 =102×2+6 =100×2+6 =200+6 =206. (2)由题意知,(a+6)2×2-(-5)=45, ∴(a+6)2×2=40, ∴(a+6)2=20, ∴a+6=±2, ∴a1=2-6,a2=-2-6. 即a是2-6或-2-6. 河北中考·考向体验 1.A　解析:∵这5天日最低气温分别为-2 ℃,-4 ℃,0 ℃,1 ℃,-1 ℃,-2>-4,-4<0<1,1>-1,∴气温变化为先下降,然后上升,再上升,再下降.观察选项可知只有A选项的图形符合题意.故选A. 2.A　3.B 4.C　解析:能与-()相加得0的数是0-[-()]=.故选C. 5.B　解析:原式=(1-3-98)×=-100×1.442=-144.2.故选B. 6.解:(1)1+2-6-9=3-6-9=-3-9=-12. (2)∵1÷2×6□9=-6, ∴1××6□9=-6. ∴3□9=-6.∴□内的符号是“-”. (3)这个最小数是-20. 7.解:(1)原计算在第一步开始出现错误; 正确的解答过程如下: (-6)× =-6×-6×+6× =-3-4+5 =-2. (2)|2-|-(-2)2× =2--4× =1-. 8.解:(1)∵点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32, ∴A,B,C三点所对应的数的和为-4+2+32=30, ∵AB=2-(-4)=6,AC=32-(-4)=36, ∴. (2)由数轴,得DE=x-0=x,DF=12-0=12, 由题意,得,∴, ∴x=2. 学科网（北京）股份有限公司 $