精品解析：广西玉林市博白县中学、北流高中等五校2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题

2025年10月高一年级五校联考试题 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）．在本试题上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 满足⫋的集合的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 4. 若函数在上是单调函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若，，则. D. 若，，则. 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A B. C. D. 8. 设函数（）的定义域为D，若所有点（s，）构成一个正方形区域，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分．） 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上不单调函数 11. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，若，则______. 13. 已知函数则的值域为______． 14. 已知实数，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或简算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 16 给定函数，，． （1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）．用表示，中的较大者，记．例如，当时，，请在图二中画出函数的图象并求其解析式． 17. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）求在上的值域； （3）求解关于不等式． 18. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 19. 已知不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月高一年级五校联考试题 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）．在本试题上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合集合并集的定义与运算，即可求解. 【详解】由集合， 根据集合并集的定义与运算，可得. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解. 【详解】命题“，”的否定是，， 故选：D 3. 满足⫋的集合的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合之间的关系，确定集合的元素．列举出满足条件的集合得到个数. 【详解】因为⫋，所以集合中至少含有0，且集合中最多含有3个元素， 所以满足条件的集合为，共7个. 故选：C. 4. 若函数在上是单调函数，则的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象性质即可求解. 【详解】∵函数的图象是开口向上，且以为对称轴的抛物线， ∴此函数在上单调递减， 要满足此函数在上单调，只需，解得． 故选：D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则. C. 若，，则. D. 若，，则. 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断ACD；利用不等式性质推理判断B. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，取，满足，而，D错误. 故选：B 6. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的分段函数，代入求值即可. 【详解】依题意，. 故选：B 7. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出命题“，”为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，恒成立. 令， 则函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以在当时，取得最大值6，可得， 所以各选项中只有是是的一个充分不必要条件， 即是“，”为真命题的一个充分不必要条件. 故选:D. 8. 设函数（）的定义域为D，若所有点（s，）构成一个正方形区域，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先设函数与x轴的两个交点的横坐标为： ，，，根据题意有，且，结合求根公式，列式可求的值. 【详解】设函数与x轴的两个交点的横坐标为： ，，， 且由题意可得， 所以函数的定义域为，且. 由题意可知，，， 所以函数的值域为，即， 因为所有的点（s，）构成一个正方形区， 所以，所以，所以， 整理可得，，因为，所以. 故选：B 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．有选错的得0分．） 9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐项判断两函数的定义域与对应关系是否相同即可． 【详解】对于A，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系不相同，不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，由，可得， 所以定义域为，但， 两函数定义域相同，对应关系相同，是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故C正确； 对于D，两个函数的定义域都为，且，， 两函数定义域，对应关系相同，是同一函数，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图是定义在区间上的函数，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递增 C. 函数在区间上单调递减 D. 函数在区间上不是单调函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的图象，即可得出函数的单调性，说明A、B、D项；结合具体点的大小，即可说明C项. 【详解】对于A项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故A项正确； 对于B项，由图象可知，函数在区间上单调递增，故B项正确； 对于C项，由图象可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递减， 但是，所以函数在区间上不是单调递减的， 故C项错误； 对于D项，由图象可知，函数在区间上有增有减， 所以，函数在区间上不是单调函数，故D项正确. 故选：ABD 11. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 C. 设，则“且”是“”的必要而不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要而不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A，能推出，而不能推出，因为也满足， 所以“”是“”的充分不必要条件，A选项正确； 对于B，两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，两个三角形全等则面积一定相等， 所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，B选项正确； 对于C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C选项错误； 对于D，因为可以等于零，所以由不能推出，故充分性不成立，由可得且，即必要性成立， 所以“”是“”的必要而不充分条件，故D选项正确. 故选：ABD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合属于关系可得或，运算求解，注意集合的互异性. 【详解】因为，且， ①若，则，当时，，不符合题意； ②若，则， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 13. 已知函数则的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，先求每一段函数的值域，再取并集，求整体函数的值域. 【详解】当时，，所以； 当时，，所以； 综上，的值域为． 故答案为：． 14. 已知实数，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质及基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，， 则，即， 由，得 ，当且仅当，即时取等号， 同理当时，取得最小值；当时，取得最小值， 因此，解得， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或简算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式得到集合，再根据交集运算即可求解； （2）由，得，列不等式组即可求解. 【小问1详解】 由，得，解得， 故. 当时，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 故，解得， 故的取值范围为. 16. 给定函数，，． （1）在图一的直角坐标系中画出函数，的图象； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）．用表示，中的较大者，记．例如，当时，，请在图二中画出函数的图象并求其解析式． 【答案】（1）图象见解析 （2） （3）图象见解析， 【解析】 【分析】（1）根据函数性质在直角坐标系中画出两个函数的图象即可. （2）通过图象的性质和含义解不等式即可. （3）根据的内涵画出图象并写出解析式即可. 【小问1详解】 因为函数单调递增，且过点， 函数为二次函数，开口向上且关于直线对称， 故图象如图所示： 【小问2详解】 不等式，意味着图象上在之上的的解集， 由图可以看出不等式的解集为. 【小问3详解】 当或时，，此时， 当时，，此时. 所以函数的解析式为. 图象如图所示： 17. 已知函数． （1）判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）求在上的值域； （3）求解关于的不等式． 【答案】（1）在区间上单调递增，证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （2）由函数单调性求出最值，得到值域； （3）根据，及函数单调性，得到不等式，求出解集. 【小问1详解】 在区间上单调递增，理由如下： 对于，，且， 则， 因为，，且，所以，， 于是，即，故在区间上单调递增； 【小问2详解】 由（1）可知在上单调递增， ，， 所以在上值域为. 【小问3详解】 ，要使不等式有意义，须有（即）， 由（1）得在区间上单调递增， 故，即， 解得（舍去）或， 所以或. 所以不等式的解集为或. 18. 某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. （1）求的值； （2）将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （3）该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1） （2） （3）3万元 【解析】 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，当时，（万件）， 则，解得； 【小问2详解】 由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. 【小问3详解】 当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 19. 已知不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 【答案】（1）； （2）； （3）且. 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式的解集为，且不等式的解集为，然后利用根与系数的关系可得，，从而可求得的值； （2）结合（1）可得恒成立，可得，再由不等式有且仅有9个整数解，得，从而可求得的取值范围； （3）当时，由（1）的方法可得，再由恒成立，可得，从而可求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为，不等式的解集为，结合二次函数图象的对称性， 不等式的解集为，且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得，， 经验证满足不等式的解集为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，不等式可化为， 由（1）知不等式的解集为，所以恒成立， 所以，解得， 不等式等价于， 所以，得， 因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 若，同（1）分析，不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得， 所以不等式的解集为，则恒成立， 所以，解得， 所以所求不等式为，解得或， 即不等式的解集为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $