精品解析：河南省洛阳市洛龙区2025—2026学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的数学符号能找到一条直线，数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 2. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解即可，解题的关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义． 【详解】解：由图的折叠方式可知，， 所以是的角平分线； 由图的折叠方式可知，， 因为， 所以， 所以， 所以是的高线； 由图的折叠方式可知，， 所以是的中线， 故选：． 3. 把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可． 【详解】解：A.，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； B. ，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形； C. ，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形； D. ，任意两边之和大于第三边,所以能围成三角形； 故选：D． 4. 如图，，A，B，C，D四点在同一直线上，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查线段的和差，全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是问题求解的关键． 根据得到，然后利用线段和差，代入，的值，求得． 【详解】解：∵, ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5. 在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 6. 某段河流两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的应用，将题目中的实际问题转化为数学问题，是本题求解的关键． 首先根据已知条件，证明和全等，得到，进而得到答案． 详解】解：由题意知，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴河的宽度是米． 故选：B． 7. 下列四个条件：①在中，，都是锐角；②的三个内角的度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是．其中能确定是直角三角形的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定、三角形内角和定理及三角形外角的性质，解题的关键是利用相关定理结合条件求出三角形内角的度数，判断是否存在直角． 根据三角形内角和为，分别对四个条件进行推导，计算各内角的度数，若存在角则为直角三角形，完成求解． 【详解】解：①和都是锐角，但可能为锐角、直角或钝角，无法确定是直角三角形； ②设内角为，则，解得，故内角为，是直角三角形； ③由，得，又，代入得，故得，是直角三角形； ④设外角为，则，解得，外角为，对应内角为，是直角三角形， 故②③④符合条件， 故选：C． 8. 如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠可得，，即得，进而根据的周长即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：． 9. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】三角形三条中线交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 10. 如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，准确找到并证明图中的全等三角形是解决问题的关键，还需要能够合理利用全等三角形的性质． 由，，利用等式的性质得到夹角相等，利用得出与全等，由全等三角形的对应边相等得到，①结论正确；由与全等，得到，由等腰直角三角形的性质得到，等量代换得到，②结论正确；由②结论再加上等于，再利用两锐角互余的三角形为直角三角形，得到，③结论正确；④结论正确，利用周角减去两个直角可得答案． 【详解】解：①∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确． ②∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确． ③由②知，， ∴， ∴， 故③正确． ④∵， ∴， 故④正确． 故①②③④都正确． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【详解】解：港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 12. 如图，点D在上．点E在上，．添加一个条件：__________，可使（写出一个条件即可）． 【答案】（或均可） 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，全等三角形的判定方式包括，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 要使，已知，，再添加一个条件，可以用三种方式来判定三角形全等，从而得到答案． 【详解】解：在和中， ，， 再添加或或， 即可分别根据三种方法判定． 故答案为：（或均可）． 13. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 _________海里． 【答案】90 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，方向角的计算，根据方向角先求出，根据平行线的性质得出，得出，根据等腰三角形的判定得出结果即可． 【详解】解：∵， ∵向北的方向线是平行的， ∴， ∴， ∴（海里）， 故答案为：90． 14. 如图，△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，交AC于点D．若CD＝3，则AD＝______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据作图，得到MD是线段AB的垂直平分线，从而得到AD=BD，∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，得到CD=，计算即可． 【详解】如图，连接BD，根据作图，得到MD是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝3， ∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴CD=， ∴AD=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据特殊三角形的定义，分直角为特征角和锐角是特征角，两种情况进行求解即可． 【详解】解：当直角为特征角时，一个锐角的度数为，符合题意； 当锐角为特征角时，则：， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和以及角平分线，分别求得和的度数，即可求得答案． 【详解】∵是边上的高， ∴． 在中，， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴． 17. 如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，连接，平分，求的度数． 【答案】（1），将详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定、角平分线、三角形内角和定理等知识，证明是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据角平分线的定义以及结合（1），可知，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 证明： ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，直线l经过点且与y轴平行． （1）若与关于x轴对称，请写出三个顶点的坐标：_____，____，___； （2）请在平面直角坐标系中画出关于直线l对称的图形； （3）若点是上一点，则点P关于直线l对称的点的坐标是_____． 【答案】（1）；； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，中点坐标公式，熟练掌握对称作图和中点坐标公式是解题关键． （1）根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变成相反数，确定坐标即可； （2）根据中点坐标公式，确定对称点的坐标后画图即可； （3）根据中点坐标公式，确定对称点的坐标． 【小问1详解】 解：∵与关于x轴对称，，，， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求： 【小问3详解】 解：设对称点坐标为， 根据题意，得， 解得， 故， 故答案为：． 19. 如图，已知，点在边上． （1）请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若的长为，则的长为_____． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图及平行线的判定及性质，关键是熟练应用知识点解题； （1）先做，再作的角平分线交于点； （2）由平行线的性质和角平分线的定义可得． 【小问1详解】 解：如图所示：由平行线性质和角平分线的定义知，即为所求； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 20. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． （1）求证：； （2）若F是的中点，连接，且，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到.进一步证明，，即可得到结论； （2）求出，得到，则.即可得到，由是等边三角形即可得答案． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴. 又∵是中线， ∴平分， ∴. ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：由（1）可知， 又∵F是的中点， ∴. ∵， ∴. 又∵为直角三角形， ∴， ∴. ∵是中线， ∴ ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长为 21. 在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上的一道题进行深入研究后，尝试将其结论推广到更一般的情形．请你和他们一起完成探究． （1）如图1，在中，，，直线过点C，且，，垂足分别为D，E．试探究，，之间的数量关系，并加以证明． （2）小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1中直线位置的变化，，，之间的数量关系也会变化.当直线在内部位于图2所示的位置时，请直接写出，，之间的数量关系：_____； （3）小组同学进一步思考：如图3，若不变，，直线过点C且经过外部，D在E的左侧，且，若，，则的长为_____． 【答案】（1），理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）证得，即可求得答案； （2）证得，即可求得答案； （3）证得，即可求得答案． 【小问1详解】 ，理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． 故答案为： 【小问3详解】 ∵，，， ∴． 又∵，， ∴． ∴，． ∵， ∴． 故答案为： 22. 综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程最短呢? 【分析问题】小明：如图，将两地抽象为两个点，将河流抽象为一条直线．如图，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 小智：如图，在直线上另取一点（与点不重合），连接，，，只要证明即可． 【解决问题】 任务一：“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将两点位于直线“同侧”问题，转化为两点位于直线“异侧”问题来解决．小智在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____．请你完成下列填空： 如图，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，， ∵点与关于直线对称， ∴直线是的垂直平分线， ∴______，_____， ∴__________， 在中，， ∴， ∴，即最小． 任务二：如图，将军牵马从军营处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； 任务三：如图，等边中，为的中点，点分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为_____． 【答案】任务一：两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”），，，；任务二：见解析；任务三： 【解析】 【分析】任务一：根据两点之间线段最短及轴对称的性质解答即可； 任务二：分别作点关于的对称点和，连接，分别交于点，同理任务一可知点即为所求； 任务三：在上取，连接和，与相交于点，连接，可知点关于对称，即得此时的值最小，最小值为的长，再证明是等边三角形即可求解； 本题考查了轴对称最短线段问题，等边三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：任务一：小智在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”）， 如图，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，， ∵点与关于直线对称， ∴直线是的垂直平分线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即最小， 故答案为：两点之间，线段最短（或“三角形两边之和大于第三边”），，，； 任务二：如图所示，点即为所求； 任务三：如图，在上取，连接和，与相交于点，连接， ∵是等边三角形，为的中点， ∴点关于对称， 由任务一可知，此时的值最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 23. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． （1）【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为：______． （2）【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为_____． （3）【拓展应用】 ①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长_____． 【答案】（1） （2） （3）①．理由见解析；②6 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，由条件证得是解题的关键． （1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据互余得出的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可； （3）①延长，交于点F，根据证明解答即可； ②过F作交的延长线于H，交于G，根据①的结论得出，进而利用三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴ ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①．理由如下： 延长，交于点F. ∵， ∴ ∴ ∴. ∵， ∴ ∴. ∴. ∵， ∴. ∴. ∵平分， ∴. ∵，， ∴. ∴. ∴. ∴. ②过F作交的延长线于H，交于G， ∴是等腰三角形， 由①可知， ∵的面积为36， ∴， ∴， 故答案为：6. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线，角平分线，高线 B. 角平分线，高线，中线 C. 角平分线，中线，高线 D. 高线，中线，角平分线 3. 把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，A，B，C，D四点在同一直线上，若，，则的长为（ ） A 6 B. 5 C. 4 D. 3 5. 在如图房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（ ） A. B. C. D. 平分 6. 某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得的长为那么，河的宽度是（ ） A B. C. D. 7. 下列四个条件：①在中，，都是锐角；②的三个内角的度数之比是；③在中，；④的三个外角的度数之比是．其中能确定是直角三角形的是（ ） A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 8. 如图所示的三角形纸片中，，，．沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，在和中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接，．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的为（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 港珠澳大桥全长约55公里，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥．下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样使其更稳定，其中运用的数学原理是__________． 12. 如图，点D在上．点E在上，．添加一个条件：__________，可使（写出一个条件即可）． 13. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向的M处，它以每小时45海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东的N处，则N处与灯塔P的距离为 _________海里． 14. 如图，△ACB中，∠C＝90°，∠A＝30°，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧交于点M，N，直线MN交AB于点E，交AC于点D．若CD＝3，则AD＝______． 15. 当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 如图，在中，是边上的高，是的角平分线．若，，求的度数． 17. 如图，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，连接，平分，求的度数． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，，直线l经过点且与y轴平行． （1）若与关于x轴对称，请写出三个顶点的坐标：_____，____，___； （2）请在平面直角坐标系中画出关于直线l对称的图形； （3）若点是上一点，则点P关于直线l对称点的坐标是_____． 19. 如图，已知，点在边上． （1）请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若的长为，则的长为_____． 20. 如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． （1）求证：； （2）若F是的中点，连接，且，求的周长． 21. 在《全等三角形》学习中，“睿思小组”对课本上一道题进行深入研究后，尝试将其结论推广到更一般的情形．请你和他们一起完成探究． （1）如图1，在中，，，直线过点C，且，，垂足分别为D，E．试探究，，之间的数量关系，并加以证明． （2）小组同学通过在几何画板中操作发现，随着图1中直线位置的变化，，，之间的数量关系也会变化.当直线在内部位于图2所示的位置时，请直接写出，，之间的数量关系：_____； （3）小组同学进一步思考：如图3，若不变，，直线过点C且经过外部，D在E的左侧，且，若，，则的长为_____． 22. 综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程最短呢? 【分析问题】小明：如图，将两地抽象为两个点，将河流抽象为一条直线．如图，小明作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 小智：如图，在直线上另取一点（与点不重合），连接，，，只要证明即可． 【解决问题】 任务一：“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将两点位于直线“同侧”问题，转化为两点位于直线“异侧”问题来解决．小智在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是_____．请你完成下列填空： 如图，在直线上另取任意一点（与点不重合），连接，，， ∵点与关于直线对称， ∴直线是的垂直平分线， ∴______，_____， ∴__________， 在中，， ∴， ∴，即最小． 任务二：如图，将军牵马从军营处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； 任务三：如图，等边中，为的中点，点分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为_____． 23. 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，则． （1）【初步感知】 如图1，根据以上条件，容易发现与的数量关系为：______． （2）【类比解答】 如图2，在中，是的角平分线，于E，若，，通过上述构造全等的方法，可求得的度数为_____． （3）【拓展应用】 ①如图3，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． ②如图4，在中，，，点F在线段上，，，垂足为E，与相交于点D．若的面积为36，请直接写出的长_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $