精品解析：广东省佛山市顺德区 三十五校联考 2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025学年第一学期九年级第一次核心素养展示 数学 说明：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号，姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：每小题3分，10题共30分． 1. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知线段是成比例线段，其中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 4. 从，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（ ） A. 垂直 B. 相等 C. 垂直且互相平分 D. 互相平分 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 8. 如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若DE＝，BE＝1，则∠AOE的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 10. 下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③ 二、填空题：每小题3分，5题共15分． 11. 方程的解是___________． 12. 在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．随机摸出一个球记下颜色放回，重复摸球3000次，发现摸出红球2000次，则盒子中有______个黑球． 13. 如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______． 14. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是___________．（写出一个即可） 15. 如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，于点F，于点G，连接FG，若，则FG的最小值为________． 三、解答题：共8题，共75分． 16. 解方程：． 17. 如图，是以为底的等腰三角形，． （1）尺规作图：作平分线，与的交点记为点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明． 18. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 19. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． 应用： （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ② （2）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 20. 如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为的矩形丝带，重叠部分图形为四边形． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，求重叠部分图形的面积． 21. A超市和B水果店售卖同品种西瓜，某校数学活动小组就此开展了“西瓜购买、销售方案的选择”的探究，阅读所给信息并解决问题． 信息1：A超市西瓜的售价为2.4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为3元/千克，若一次性购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票数据统计如下表： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 ．．． 付款金额/元 3 6 9 11.1 13.2 15.3 ．．． 设购买量为x千克，付款金额为y元． （1）任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜时，y与x之间的函数解析式； （2）任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； （3）任务3：已知该品种西瓜的进货成本为1.6元/千克，市场调研发现：若A超市以2.4元/千克销售该品种西瓜，则平均每天可以售出200千克．为了减少库存，A超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，每千克的售价每降低0.2元，每天的销售量就会增加40千克，在尽可能减少库存的情况下，A超市将售价定为每千克多少元时，每天的销售利润为112元？ 22. 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形，已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为和． 要求： ①在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ②将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）甲同学的方案中，拼成的正方形边长是___________； （2）求出乙同学方案中拼成的正方形的边长，并判断甲、乙两位同学谁拼的正方形更大； （3）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大，并说明理由．（要求：在答题卡上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，保留作图痕迹，不写作法） 23. 【问题背景】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，连接，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且．求证：且； 【类比探究】 （2）如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，过点E作交于点H，延长交边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级第一次核心素养展示 数学 说明：1．全卷共6页，满分为120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号，姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：每小题3分，10题共30分． 1. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义．将已知根代入方程中，即可得到一个关于未知系数的方程，进而求解得出系数的值．这是利用方程根的定义求解参数的基本方法． 将已知根代入方程，求出m的值． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴将代入方程可得： ， 解得 故选：D． 2. 已知线段是成比例线段，其中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义：若四条线段，，，有，那么就说这四条线段成比例． 根据比例线段的定义得到，然后把，，代入进行计算即可． 【详解】解：线段、、、是成比例线段， ， 而，，， ． 故选：C． 3. 根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 4. 从，0，1三个数中，随机抽取两个不同的数相乘，积为负数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图的方法是解题的关键．画树状图，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画树状图如下： 一共有6种等可能的结果，其中积为负数的有2种等可能结果， ∴积为负数的概率是， 故选：C． 5. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，再证明四边形MOND的面积等于，的面积，继而解得正方形的面积，据此解题． 【详解】解：在正方形ABCD中，对角线BD⊥AC， 又 四边形MOND的面积是1， 正方形ABCD的面积是4， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 在一个四边形中依次连接各边的中点得到的四边形是矩形，则对角线与一定有如下关系（ ） A. 垂直 B. 相等 C. 垂直且互相平分 D. 互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据垂直定义得到与垂直． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵点E、F分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又∵点E、H分别是各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即． 故选：A． 7. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 8. 如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P， ∵水面离桌面的高度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 即此时点C离桌面的高度为． 故选：C． 9. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，若DE＝，BE＝1，则∠AOE的度数是（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，DO＝BO，由勾股定理可得BD＝2，由直角三角形的性质可得EO＝DO＝BO＝1，可证△BEO是等边三角形，可得∠BOE＝60，即可求∠AOE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DO＝BO， ∵DE⊥AB，DE＝，BE＝1， ∴BD＝＝2， ∴DO＝BO＝1， ∵DE⊥BA，DO＝BO， ∴EO＝DO＝BO＝1， ∴BE＝BO＝EO＝1， ∴△BEO是等边三角形， ∴∠BOE＝60， ∴∠AOE＝∠AOB﹣∠BOE＝90﹣60＝30； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的性质、勾股定理是解题的关键. 10. 下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1），在一张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2），把正方形折成两个相等的矩形再把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图（3）中所示的AD处；第四步，如图（4），展平纸片，折出矩形BCDE就是黄金矩形．则下列线段的比中：①，②，③，④，比值为的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，求出，，分别求出比值，作出判断． 【详解】解：设， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴ ， 又∵， ∴， ， ，， ， ∴比值为的是①③， 故选：B． 【点睛】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题：每小题3分，5题共15分． 11. 方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先化简方程，再利用直接开平方法求解一元二次方程． 【详解】解： 解得： 故答案为：． 12. 在一个不透明的盒子中装有10个红球、若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．随机摸出一个球记下颜色放回，重复摸球3000次，发现摸出红球2000次，则盒子中有______个黑球． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定在概率附近．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解． 【详解】设黑球有x个， 根据题意得：， 解得：，经检验是分式方程的解， 即黑球5个． 故答案为：5． 13. 如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为______． 【答案】1.2 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ，，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，这个三角形的第三边可以是___________．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，三角形三边关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，进而得到两根之差的绝对值，再根据三角形三边关系确定第三边的取值范围． 【详解】解：设方程的两根为和， 根据根与系数的关系，有，， 则， 所以， 根据三角形三边关系，第三边必须满足， 即， 且， 因此可以是6． 故答案为：6（答案不唯一，大于且小于9的数都可以）． 15. 如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，于点F，于点G，连接FG，若，则FG的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BE，证明四边形EFBG是矩形，即得BE=FG，从而FG最小即是BE最小，此时BE⊥AC，即可求得答案． 【详解】解：连接BE，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=AC=6，∠BAC=∠BCA=45°， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴四边形EFBG是矩形， ∴BE=FG， ∴FG最小即是BE最小，此时BE⊥AC， ∵AB=BC=6，∠ABC=90°， ∴AC==6， ∵AB=BC，BE⊥AC，∠ABC=90°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠CBE=45°， ∴BE=AE=EC=AC=3， ∴FG最小为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查正方形性质及应用，解题的关键是证明四边形EFBG是矩形，从而得到FG=BE． 三、解答题：共8题，共75分． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先将原方程化为一般形式，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ， 移项、合并得，， ， 或， 解得，． 17. 如图，是以为底的等腰三角形，． （1）尺规作图：作平分线，与的交点记为点D．（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明． 【答案】（1） 如图，射线即为所作， （2） 证明：，， ， 由作图可得：平分， ， ， ， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定，熟练掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质求出，根据角平分线定义可得，根据相似三角形的判定定理可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 19. 定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”例如：一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”． 应用： （1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ① ② （2）已知关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】（1）①不是②是 （2）或 【解析】 【分析】（1）①解一元二次方程，由两根之差不为1做出判断；②解一元二次方程，由两根之差为1，即可得得出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两根，由该方程是“邻根方程”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值． 【小问1详解】 解：①， 解得：，， ， 一元二次方程不是邻根方程； ②， ，，， ， ，， 一元二次方程是邻根方程； 【小问2详解】 ， ， ，， 关于x的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”， 或， 或． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程以及新定义，解题的关键是：（1）求出两方程的根，作差来判断两方程是否是“邻根方程”；（2）利用“邻根方程”的定义，找出关于的方程． 20. 如图所示，李老师用一段绸缎制作了一条宽为的矩形丝带，重叠部分图形为四边形． （1）试判断四边形的形状，并证明你的结论； （2）若，求重叠部分图形的面积． 【答案】（1） 四边形是菱形．证明如下： 如图所示，过点B作于点E，过点D作于点F， 依题意得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形带宽为， ， ∵， ， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）过点B作于点E，过点D作于点F，可证四边形是平行四边形，则，根据平行四边形的面积公式得到，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的判定和性质得到，根据勾股定理求出，根据菱形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 重叠部分图形的面积是：． 21. A超市和B水果店售卖同品种西瓜，某校数学活动小组就此开展了“西瓜购买、销售方案的选择”的探究，阅读所给信息并解决问题． 信息1：A超市西瓜的售价为2.4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为3元/千克，若一次性购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票数据统计如下表： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 ．．． 付款金额/元 3 6 9 11.1 13.2 15.3 ．．． 设购买量为x千克，付款金额为y元． （1）任务1：请分别直接写出在A超市与B水果店购买西瓜时，y与x之间的函数解析式； （2）任务2：某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； （3）任务3：已知该品种西瓜的进货成本为1.6元/千克，市场调研发现：若A超市以2.4元/千克销售该品种西瓜，则平均每天可以售出200千克．为了减少库存，A超市决定降价销售，根据近期销售情况发现，每千克的售价每降低0.2元，每天的销售量就会增加40千克，在尽可能减少库存的情况下，A超市将售价定为每千克多少元时，每天的销售利润为112元？ 【答案】（1）A超市：，B水果店： （2）当时，选择A超市更合算；当，选择A超市和B水果店一样合算；当时，选择B水果店更合算 （3）A超市将售价定为每千克2元时，每天的销售利润为112元 【解析】 【分析】本题考查了函数解析式的求解，方案选择问题及一元二次方程的利润问题． （1）A超市不打折，售价固定，付款金额与购买成正比例关系，直接得； B水果店3千克及以内按原价销售，故，超过3千克时，用表格中（付款11.1元）计算超过部分单价：（元/千克），得超过部分函数； （2）分三种情况讨论：购买量千克时，A超市单价更低；购买量千克时，比较A超市和B水果店的大小，通过解不等式得出分界点； （3）设售价为m元，计算降价金额与销售量增加量的关系，利用利润公式（售价-成本）×销售量=112，建立一元二次方程，解方程得两个解，根据“减少库存”要求选择较低售价即可． 【小问1详解】 解：由题意知，A超市的购买量与付款金额之间的函数解析式为， B水果店：当时，西瓜售价为3元/千克，此时， 当时，前3千克按3元/千克付款，付款金额为：（元）， 超过3千克的部分为千克，这部分单价为：（元/千克）， ∴超过3千克部分的付款金额为元， ∴总付款金额为：， 综上，B水果店y与x的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∴选择A超市更合算， 当时，若，解得， 若，解得， 若，解得， 综上所述，当时，选择A超市更合算；当，选择A超市和B水果店一样合算；当时，选择B水果店更合算． 【小问3详解】 解：设A超市将售价定为每千克m元， 由题意得：，解得：，， ∵尽可能减少库存， ∴， ∴A超市将售价定为每千克2元时，每天的销售利润为112元． 22. 甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形，已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为和． 要求： ①在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ②将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： （1）甲同学的方案中，拼成的正方形边长是___________； （2）求出乙同学方案中拼成的正方形的边长，并判断甲、乙两位同学谁拼的正方形更大； （3）请你设计一个新方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大，并说明理由．（要求：在答题卡上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）2 （2）乙同学方案中拼成的正方形边长为，甲同学拼的正方形更大 （3） 解：方法①：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下： 边长计算如下： 如图，过点B作于点H， ， ， 根据拼接要求，为等腰直角三角形，， ，， ， ， ，， 设，则，， ，， ， ，即， 解得． ∴根据勾股定理，得，即满足要求的正方形边长为． 方法②：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下： 设，则， ， ， ， ， 解得， 边长，满足要求． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长； （2）根据勾股定理，得，证，，得，设，则，，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为；根据甲乙两同学所得数据进行比较即可得解． （3）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【小问1详解】 解：甲同学方案中拼成的正方形边长为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，由拼成条件可得， 记直角三角形为，根据勾股定理，得 ，，， ，， ，， ，， ， 设，则，， ， 解得，，， ∴乙同学方案中拼成的正方形边长为． ，∴甲同学拼的正方形更大 【小问3详解】 略 23. 【问题背景】 （1）如图1，在正方形中，E是上一点，连接，F为射线上一点（不与射线端点A重合），且．求证：且； 【类比探究】 （2）如图2，将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，．探究线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，过点E作交于点H，延长交边于点G，若是等腰三角形，直接写出的值． 【答案】 （1）证明：如下图，过点E作于点N，于点M， ∴ ∵四边形正方形．BN ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴≌， ∴． ∵， ∴ ∵，， ∴ 即． （2），． 理由：如下图，过点E作交于点M， ∴， ∵四边形矩形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． （3）或或． 【解析】 【分析】（1）过点E作于点N，于点M，证得≌，进而得到答案． （2）过点E作交于点M，证得，进而得到答案． （3）分别讨论，，三种情况即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）或或． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形、相似三角形、解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $