课后分层练(四十五) 弧度制-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(四十五)]　弧度制 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．－240°化为弧度是(　　 ) A．－ B．－ C．－ D．－ 解析：选A.－240°＝－240×＝－. 2．某场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为(　　 ) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为－×2π＝－. 3．(新背景)英国浪漫主义诗人Shelley(雪莱)在《西风颂》结尾写道“If Winter comes，can Spring be far behind？”春秋战国时期，为指导农耕，我国诞生了表示季节变迁的24节气．它将黄道(地球绕太阳按逆时针方向公转的轨道，可近似地看作圆)分为24等份，每等份为一个节气.2025年12月21日为冬至，经过小寒和大寒后，便是立春．则从冬至到次年立春，地球公转的弧度数约为(　　 ) A． B． C．－ D．－ 解析：选A.由题可得每一等份为＝，从冬至到次年立春经历了3等份，即×3＝. 4．角α＝－2弧度，则α所在的象限是(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.角α＝－2弧度，－2∈(－π，－)，∴α在第三象限． 5．已知扇形的面积为10 cm2，半径为4 cm，则扇形的圆心角的弧度数为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.设半径为r，圆心角为α，则对应扇形面积S＝r2α，又S＝10 cm2，r＝4 cm，则α＝＝＝. 6．(数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”其意为：“有一块扇形的田，弧长三十步，其所在圆的直径是十六步，问这块田的面积是多少(平方步)？”该问题的答案应为(　　 ) A．120 B．240 C．360 D．480 解析：选A.由题可知，该扇形的半径r＝8，弧长l＝30，则由扇形的面积公式可得S＝lr＝120. 7．(多选)下列说法正确的是(　　 ) A．2 rad的角是一个锐角 B．若一扇形的圆心角为2，圆心角所对应的弦长为2，则此扇形的面积为 C．将时钟拨快30分钟，则分针转过的角度是π D．终边经过点(a，a)(a≠0)的角的集合是{α|α＝＋kπ，k∈Z} 解析：选BD.A项，2rad≈2×57.3°＝114.6°，是钝角，A错误； B项，设扇形的圆心角大小为α(rad)，半径为r，∵∠AOB＝2，且弦AB＝2，∴可得α＝2，r＝，∴扇形的面积为S＝r2α＝×()2×2＝，B正确； C项，时钟拨快30分钟，则分针转过的角为负角，且是整个表盘的一半，则为－π，C错误； D项，当a>0时，角终边为射线y＝x(x≥0)，该角的集合为S1＝{α1|α1＝＋2k1π，k1∈Z}， 当a<0时，角终边为射线y＝x(x≤0)，该角的集合为S2＝{α2|α2＝＋2k2π，k2∈Z}，所以所求角的集合为S1∪S2＝{α|α＝＋kπ，k∈Z}，D正确． 8．若扇形的周长是8cm，面积是4 cm2，则扇形的圆心角为______rad. 解析：设扇形的圆心角为α，半径为R，则⇒ 答案：2 9．已知集合A＝{α|0<α<π}，B＝{β|β＝＋，k∈Z}，则A∩B＝________． 解析：因为A＝{α|0<α<π}，B＝{β|β＝＋，k∈Z}，所以A∩B＝{，，}． 答案：{，，} 10．如图，用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合． 解：(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，所以终边落在阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}． (2)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)，以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z). 不妨设终边落在右边阴影部分的角的集合为M1，终边落在左边阴影部分的角的集合为M2， 则M1＝{α|2kπ≤α<＋2kπ，k∈Z}，M2＝{α|＋2kπ<α≤π＋2kπ，k∈Z}． 所以终边落在阴影部分的角的集合为M1∪M2＝{α|2kπ≤α<＋2kπ，或＋2kπ<α≤π＋2kπ，k∈Z}． 【综合运用】 11．(传统文化)折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩下部分的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇形看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为(　　 ) A．(3－)π B．(－1)π C．(＋1)π D．(－2)π 解析：选A.设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，则S1＝r2·α，S2＝πr2－r2·α＝r2(2π－α)，所以＝＝，即α＝(3－)π. 12．(多选)(2025·河北邢台阶段练习)某日，分针长为6 cm的时钟从20：10走到20：35，分针转动的弧度为α，分针的针尖走过的弧长为l，则(　　 ) A．α＝－ B．α＝ C．l＝5π cm D．l＝6π cm 解析：选AC.因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，可得α＝－×2π＝－，由分针长为6 cm可得，弧长l＝r|α|＝5π cm. 13．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 解：(1)由α＝，R＝10 cm，则扇形的弧长l＝|α|R＝×10＝(cm). (2)由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R， ∴S＝lR＝(20－2R)·R≤[]2＝25. 当且仅当20－2R＝2R，即R＝5时扇形的面积最大，此时圆心角α＝＝＝2. (3)设弓形面积为S弓形，由α＝，R＝2 cm，得l＝αR＝(cm)， 所以S弓形＝××2－×2×＝(－)cm2. 【创新探索】 14．(数学文化)斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD(＝)中作正方形ABFE，以F为圆心，AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧EG，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧BE，EG，GI的长度分别为l，m，n，对于以下四个命题：①l＝m＋n；②m2＝l·n；③2m＝l＋n；④＝＋.其中正确的是(　　 ) A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 解析：选A.不妨设AB＝－1，则BC＝2， 所以l＝＝×(－1)， ED＝2－(－1)＝3－， 所以m＝＝×(3－)， CG＝－1－(3－)＝2－4， 所以n＝＝×(2－4)＝(－2)π， 所以m＋n＝×(3－)＋×(2－4)＝×(－1)＝l，故①正确； m2＝×(3－)2＝π2，l·n＝×(－1)×(－2)π＝π2， 所以m2＝l·n，故②正确； l＋n＝×(－1)＋(－2)π＝π，2m＝2××(3－)＝(3－)π， 所以2m≠l＋n，故③不正确； ＋＝＝＝，＝＝，所以≠＋，故④不正确． 学科网（北京）股份有限公司 $