课后分层练(二十三) 函数的最大(小)值-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(二十三)]　函数的最大(小)值 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知定义在[－2，2]上的函数f(x)的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．f(－2)，0 B．0，2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 解析：选D.由题图可知，此函数的最小值是f(2)，最大值是2. 2．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　) A．－3 B．－2 C．－1 D．1 解析：选B.因为f(x)＝x2－2x＋m＝(x－1)2－1＋m的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以f(x)的最小值为f(3)＝32－2×3＋m＝1，解得m＝－2. 3．记函数f(x)＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则＝(　　) A． B． C． D． 解析：选D.因为f(x)＝＝2＋，所以f(x)在[3，4]上是减函数，所以m＝f(4)＝4，M＝f(3)＝6，所以＝＝. 4．已知函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减，且f(x)在[5，10]上的最小值为－32，则实数k的值为(　　) A．－ B．0 C．0或－ D．0或 解析：选B.由函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减可知，当x＝10时，函数取最小值，即100k－40＋8＝－32，解得k＝0.当k＝0时，f(x)＝－4x＋8，函数是减函数，满足题意． 5．函数f(x)＝x2＋4x＋5在区间[m，0]上的值域为[1，5]，则实数m的取值范围是(　　 ) A.m≤－2 B．－4≤m≤－2 C．－2≤m≤0 D．－4≤m≤0 解析：选B.函数f(x)＝x2＋4x＋5的图象抛物线开口向上，对称轴方程为x＝－2，f(－2)＝1，f(－4)＝f(0)＝5，函数f(x)＝x2＋4x＋5在区间[m，0]上的值域为[1，5]，则有－4≤m≤－2. 6．(多选)(2025·江苏泰州期中)已知函数f(x)＝x2的值域是[0，4]，则它的定义域可能是(　　) A．[－1，2] B．[－3，2] C．[－1，1] D．[－2，1] 解析：选AD.因为f(x)的值域是[0，4]，所以0≤x2≤4，所以－2≤x≤2. 因为f(0)＝0，f(2)＝f(－2)＝4，所以f(x)的定义域可能是[－1，2]，[－2，1].因为f(－3)＝9，f(x)在[－1，1]上的最大值为1，所以[－3，2]和[－1，1]不可能是f(x)的定义域． 7．(多选)若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值可以是(　　) A．2 B．－2 C．1 D．0 解析：选AB.当a>0时，y＝ax＋1在x＝2处取得最大值，在x＝1处取得最小值，所以2a＋1－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，y＝ax＋1在x＝1处取得最大值，在x＝2处取得最小值，所以a＋1－(2a＋1)＝2，解得a＝－2. 8．对任意的实数x，记f(x)＝min{2－x2，x}，则f(x)的最大值是________． 解析：当2－x2≤x，即x≥1或x≤－2时，f(x)＝2－x2. 此时f(x)在(－∞，－2]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，f(x)max＝f(1)＝1. 当2－x2>x，即－2<x<1时，f(x)＝x.此时f(x)在(－2，1)上单调递增，无最大值． 综上，f(x)＝min{2－x2，x}的最大值为1. 答案：1 9．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝______． 解析：f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在(0，]上单调递减，在上单调递增，故f(x)在x＝处取得最小值．由题意知＝3，解得a＝36. 答案：36 10．已知函数f(x)＝，且f(1)＝2. (1)证明函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数； (2)求函数f(x)在[2，5]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵f(1)＝＝2，∴a＝1， ∴f(x)＝. 设1<x1<x2，f(x1)－f(x2)＝－＝， ∵x1<x2，x1x2>1， ∴x1－x2<0，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 则函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，函数f(x)在[2，5]上单调递增， ∴f(x)min＝f(2)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝， 则函数f(x)在[2，5]上的最大值为，最小值为. 【综合运用】 11．(数学文化)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[－3.7]＝－4，[2.3]＝2.已知f(x)＝－，则函数y＝[f(x)]的最小值为(　　) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选B.因为f(x)＝－＝－＝－， 又因为x2＋1≥1，0<≤1，－1≤－<0， 所以－≤f(x)<， 所以当－≤f(x)<0时，y＝[f(x)]＝－1； 当0≤f(x)<时，y＝[f(x)]＝0. 所以函数y＝[f(x)]的最小值为－1. 12．设函数f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数t的取值范围是(　　 ) A．[－1，2] B．[－1，0] C．[1.2] D．[0，2] 解析：选B.f(x)＝ 当x>0时，f(x)＝x＋＋t≥2＋t＝2＋t， 当且仅当x＝即x＝1时，等号成立； 当x≤0时，f(x)＝x2＋2tx＋t2＝(x＋t)2，要使f(0)是f(x)的最小值， 只需f(x)＝x2＋2tx＋t2在(－∞，0]上递减，且2＋t≥f(0)＝t2， 即解得－1≤t≤0. 13．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]. (1)求f(x)的最小值g(a)； (2)求g(a)的最大值． 解：(1)由题意可得：f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1，1]， 当a≥1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递减，最小值g(a)＝f(1)＝3－2a； 当－1<a<1时，f(x)在区间[－1，a]上单调递减，在区间(a，1]上单调递增，最小值g(a)＝f(a)＝2－a2； 当a≤－1时，f(x)在区间[－1，1]上单调递增，最小值g(a)＝f(－1)＝3＋2a； 综上所述：g(a)＝ (2)由 (1) 可知：当a≥1时，g(a)＝3－2a在[1，＋∞)单调递减，所以g(a)的最大值为g(1)＝1； 当－1<a<1时，g(a)＝2－a2在区间(－1，0)上单调递增，在区间[0，1)上单调递减，所以g(a)的最大值为g(0)＝2； 当a≤－1时，g(a)＝3＋2a在(－∞，－1]单调递增，所以g(a)的最大值为g(－1)＝1； 综上所述：g(a)的最大值为g(0)＝2. 【创新探索】 14．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若对任意的x1∈[－1，2]，都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________. 解析：∵函数f(x)＝x2－2x的图象开口向上，对称轴方程为x＝1，∴当x∈[－1，2]时，f(x)的最小值为f(1)＝－1，最大值为f(－1)＝3，则此时f(x)的取值范围为[－1，3].∵g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1，2]上单调递增，∴当x∈[－1，2]时，g(x)的最小值为g(－1)＝－a＋2，最大值为g(2)＝2a＋2，此时g(x)的取值范围为[－a＋2，2a＋2].∵对任意的x1∈[－1，2]，都存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f(x0)， ∴解得0<a≤. 答案：(0，] 15．已知函数f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1，3]，且a，b为常数． (1)若a＝1，求f(x)的最大值； (2)若a>0，b＝－1，且f(x)的最小值为－4，求a的值． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2＋2bx＋1，x∈[1，3]， 易知f(x)的图象关于x＝－b对称． 当－b>2，即b<－2时，f(x)max＝f(1)＝2b＋2， 当－b≤2，即b≥－2时， f(x)max＝f(3)＝6b＋10， 综上，f(x)max＝ (2)当b＝－1时，f(x)＝ax2－2x＋1，x∈[1，3]，又a>0， ∴f(x)的对称轴x＝>0. 当≤1，即a≥1时，f(x)min＝f(1)＝a－1， ∴a－1＝－4，解得a＝－3，不合题意，舍去． 当≥3，即0<a≤时， f(x)min＝f(3)＝9a－5＝－4， 解得a＝满足题意． 当1<<3，即<a<1时， f(x)min＝f＝1－＝－4， 解得a＝，不合题意，舍去． 故a的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $