课后分层练(五十四) 正切函数的性质与图象-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(五十四)]　正切函数的性质与图象 (单选题、填空题每题5分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．函数y＝tan (2x－)的定义域为(　　 ) A．{x|x≠＋，k∈Z} B．{x|x≠－，k∈Z} C．{x|x≠＋，k∈Z} D．{x|x≠－，k∈Z} 解析：选C.为使函数y＝tan (2x－)有意义，只需2x－≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋，k∈Z，所以函数定义域为{x|x≠＋，k∈Z}． 2．“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于(，0)对称”是“φ＝－＋kπ，k∈Z”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.当函数y＝tan (x＋φ)的图象关于(，0)对称时，有＋φ＝，k∈Z，得φ＝－，k∈Z， 易知{φ|φ＝－＋kπ}⊆{φ|φ＝－}，k∈Z， 所以“函数y＝tan (x＋φ)的图象关于(，0)对称”是“φ＝－＋kπ，k∈Z”的必要不充分条件． 3．(2025·北京期中)函数f(x)＝tan 是(　　 ) A．周期为π的奇函数 B．周期为2π的奇函数 C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数 解析：选B.由正切函数性质知：f(x)的最小正周期为T＝＝2π，定义域关于原点对称，且f(－x)＝tan (－)＝－tan ＝－f(x)，即f(x)为奇函数，所以f(x)是周期为2π的奇函数． 4．tan 48°、tan (－22°)、tan 114°的大小关系为(　　 ) A．tan 114°>tan 48°>tan (－22°) B．tan (－22°)>tan 114°>tan 48° C．tan (－22°)>tan 48°>tan 114° D．tan 48°>tan (－22°)>tan 114° 解析：选D.tan 114°＝tan (180°－66°)＝tan (－66°)， 因为函数y＝tan x在(－90°，90°)上单调递增，且－66°<－22°<48°， 所以tan (－66°)<tan (－22°)<tan 48°，即tan 48°>tan (－22°)>tan 114°. 5．(2025·山东济宁期中)函数y＝tan (－x)(－≤x≤，且x≠0)的值域为(　　 ) A．[－1，1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－1，＋∞) 解析：选B.∵－≤x≤，且x≠0，∴≤－x≤，且－x≠， 由正切函数的图象及单调性，得tan (－x)≥1或tan (－x)≤－1，即y∈(－∞，－1]∪[1，＋∞). 6．下列关于函数y＝tan (x－)的说法正确的是(　　 ) A．图象关于点(，0)成中心对称 B．图象关于直线x＝成轴对称 C．在区间(－，)上单调递增 D．在区间(－，)上单调递增 解析：选A.当x＝时，x－＝，所以(，0)是函数的对称中心，故A正确，B错误； 当x∈(－，)时，x－∈(－，π)，则当x－＝时，函数无意义，故C错误； 当x∈(－，)时，x－∈(－，0)，则当x－＝－时，函数无意义，故D错误． 7．函数y＝tan2x－2tanx＋2的最小值为________． 解析：y＝(tan x－1)2＋1，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值1. 答案：1 8．(2025·河北邢台阶段练习)已知函数f(x)＝tan (x＋φ)(φ>0)的图象关于原点中心对称，则φ的最小值为______． 解析：因为f(x)＝tan (x＋φ)的图象关于原点中心对称，所以φ＝，k∈Z，又φ>0，故φ的最小值为. 答案： 【综合运用】 9．已知f(x)＝tan ωx(0<ω<1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.因为x∈[0，]，即0≤x≤，又0<ω<1，所以0≤ωx≤<，所以f(x)max＝tan ＝，所以＝，得ω＝. 10．已知函数f(x)＝|tan x|，下列结论正确的是(　　 ) A．函数f(x)的最小正周期为 B．函数f(x)在区间(，π]上是增函数 C．函数f(x)的图象关于直线x＝2 024π对称 D.函数f(x)是奇函数 解析：选C.对于A，由于f()＝，f(＋)＝f()＝，因此f(＋)≠f()，A错误； 对于B，当x∈(，π]时，f(x)＝－tan x，则函数f(x)在区间(，π]上是减函数，B错误； 对于C，f(2 024π－x)＝|tan (2 024π－x)|＝|tan x|＝|tan (2 024π＋x)|＝f(2 024π＋x)，因此函数f(x)的图象关于直线x＝2 024π对称，C正确； 对于D，由于f(－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数，不是奇函数，D错误． 11．已知函数f(x)＝2tan (ωx＋)，ω>0. (1)若ω＝，求函数f(x)的定义域及最小正周期； (2)若函数f(x)在区间(0，)内单调递增，求ω的取值范围． 解：(1)当ω＝时，f(x)＝2tan (x＋)，则函数f(x)的最小正周期T＝＝3π， 由x＋≠＋kπ，k∈Z，解得x≠＋3kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为{x|x≠＋3kπ，k∈Z}． (2)由x∈(0，)，得ωx＋∈(，ω＋)， 由函数f(x)在区间(0，)内单调递增，得ω＋≤，解得ω≤，又ω>0， 所以ω的取值范围为(0，]. 12．(2025·湖北荆州期末)已知函数f(x)＝tan (2x＋φ)(0<φ<)的图象关于点(－，0)对称． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集． 解：(1)由题意知，f(x)＝tan (2x＋φ)的图象关于点(－，0)对称， ∴2×(－)＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. ∵0<φ<，∴φ＝，故f(x)＝tan (2x＋). 令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z，得－＋kπ<2x<＋kπ，k∈Z， 即－＋<x<＋，k∈Z. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－＋，＋)，k∈Z. (2)由(1)知，f(x)＝tan (2x＋). 由－1≤tan (2x＋)≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋≤x≤＋，k∈Z. ∴不等式－1≤f(x)≤的解集为{x|－＋≤x≤＋，k∈Z}． 【创新探索】 13．已知函数f(x)＝tan (ωx＋)，ω>0. (1)若ω＝2，求f(x)的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若f(x)在[0，π]上是严格增函数，求ω的取值范围； (3)若方程f(x)＝在[a，b]上至少存在2 022个根，且b－a的最小值不小于2 022，求ω的取值范围． 解：(1)由题可得f(x)＝tan (2x＋)，所以函数的最小正周期为， 由2x＋＝，k∈Z，可得x＝－，k∈Z， 所以函数f(x)的图象的对称中心为(－，0)(k∈Z). (2)因为f(x)在[0，π]上是严格增函数， 所以x∈[0，π]⇒ωx＋∈[，ωπ＋]⊆[0，)，所以ωπ＋<，又ω>0， 所以ω∈(0，). (3)因为f(x)＝⇒tan (ωx＋)＝⇒ωx＋＝＋kπ，k∈Z， 所以x＝，k∈Z，至少存在2 022个根， 所以可得b－a至少包含2 021个周期，即b－a≥2 021T＝2 021·， 所以b－a的最小值为2 021·，又b－a的最小值不小于2 022， 所以2 021·≥2 022，所以ω∈(0，π]. 学科网（北京）股份有限公司 $