2025年第27届AMC10B国际数学竞赛（高一及以下学生）试题

MAA AMC然s COMPETITIONS MAA American Mathematics Competitions 第27届 AMC 10 B Chinese Version 2025年11月13日（星期四) 中文版 说明 1.在未收到监考老师指示前，请不要翻开此封面。 2.这是一套包括25道选择题的竞赛。每道题目只有一个正确答案。 3.请用#2铅笔将答题卡上各题对应的圆圈完全涂黑。检查已涂黑的答案以确保准确， 并彻底擦掉错误的答案。只有在答题卡上规范填涂且颜色足够深的答案才会被计 分。 4.评分规则：每道题目答对得6分，不答得1.5分，答错得0分。 5.只能使用空白的草稿纸、尺子、圆规和橡皮作为辅助工具。不允许的器具包括计算 器、智能手表、手机、计算设备、量角器或坐标纸。竞赛中没有任何问题必须要使 用计算器。 6.图形不一定按比例绘制。 7.当监考老师宣布开始后，你将有75分钟的时间完成竞赛。 8.在竞赛结束后，请遵循监考老师的指示。 本届AMCl0B的题目及解答由Gary Gordon和Carl Yerger 担任共同主编的MAAAMC10/12命题委员会编制。 如果MAAAMC办公室认定参赛者有违规行为，将保留取消其成绩的权利。所有参赛者均须遵守MAA关于竞赛诚信的 政策，该政策可通过maa.org/amc查阅。 在允许学生正式参加竞赛的时间窗口内，发布、复制或传播本次竞赛的题目或解答会严重损害竞赛结果的公正性。在此 期间，通过电话、电子邮件或其他任何类型数字媒体传播相关内容的行为均构成违规。 2025 Mathematical Association of America AMC10B 2025AMC10B试题 2 问题1： 一袋重量为350克的咖啡豆的使用说明上写着，冲泡一大杯手冲咖啡需要20克咖啡豆.问依照 标准，用这袋咖啡豆最多可以冲泡多少大杯咖啡？ (A)16(B)17(C)18(D)19(E)20 问题2： Jerry写下了前2025个正整数平方的个位数字：1,4,9,6,5,6，.问Jerry写下的所有数 的总和是多少？ (A)9025(B)9070(C)9090(D)9115(E)9160 问题3： 在一个三角形数阵中，第一行为10，第二行为10和1.之后的每一行，第一个数是10，最后一 个数是1，且如同标准的Pascal三角形，中间的其他每个数都是其上方两个数的和，下图显示了 数阵的前四行.考虑第11行中所有数的总和，问这个总和的各位数字之和是多少？ 10 101 10111 1021121 (A)11(B)13(C)14(D)16(E)17 问题4： 七进制的两位数ab的值等于九进制的两位数ba的值.问a+b是多少？ (A)7(B)9(C)10(D)11(E)14 问题5： 在△ABC中，AB=10,AC=18,且∠B=130°.设O为经过A,B,C三点的圆的圆心.问 ∠CAO的度数是多少？ (A)20(B)30(C)40(D)50(E)60 问题6： 直线y=x十1将由0≤x≤2和0≤y≤2定义的正方形区域分割成上方区域和下方区域. 直线x=将下方区域分成两个面积相等的区域.已知a可以写成VS一t的形式，其中s和t是 正整数.问s十t是多少？ (A)18(B)19(C)20(D)21(E)22 2025AMC10B试题 心 问题7： 一道东西走向的栅栏上有一扇上锁的门，Frances站在上锁的门正南方15米处.在位于上锁的 门以东x米处，紧贴着栅栏的后面有一盒巧克力.在巧克力盒以东9米处有一扇没锁的门，且在 上锁的门以西8米处还有另一扇没锁的门.rances可以走向一扇没锁的门，穿过它，然后再走 向巧克力盒.她通过任何一扇没锁的门走到巧克力盒的总路程是相同的.问x的值是多少？ A)3号 B)3号C3号D)3号回39 问题8： Emmy对Max说：“我今天订了36件数学社的运动衫.”Max问：“每件运动衫多少钱？”Emy 回答说：“我给你一个提示.总成本是$ABB.BA,其中A和B是数字且A卡0.”停顿了一下 后，Max说：“这个价格很不错.”问A十B是多少？ (A)7(B)8(C)11(D)14(E)15 问题9： 满足以下不等式组的三元有序整数组（化，y,2)有多少个？ -x-y-z≤-2 -x+y+z≤2 x-y+z≤2 x+y-z≤2 (A)4(B)8(C)11(D)15(E)17 问题10： 设fm)=m3-5+2n+8,且设8)=3-6m2+5n+12.考虑所有使得儡也为整数的 整数n,问它们的总和是多少？ (A)2(B)3(C)4(D)5(E)6 问题11： 星期一，有6名学生同时前往辅导中心，每名学生被随机分配给值班的6名辅导老师中的一位. 星期二，这6名学生又去了，值班的还是这6名辅导老师，学生们再次被随机分配给这些辅导老 师，问恰好有2名学生在星期一和星期二遇到同样的辅导老师的概率是多少？ 6®)BQD,8田 2025AMC10B试题 4 问题12： 下图展示了等边三角形，有一个角是60°的菱形，以及正六边形，其中每个图形都包含一些相 互外切的全等圆盘.设T,R,H分别表示在每种情况下圆盘总面积与外框多边形的面积之比. 问以下哪个选项是正确的？ (A)T=R=H (B)H<R=T (C)H=R<T (D)H<R<T (E)H<T<R 问题13： 30°一60°一90°直角三角形斜边上的高被该三角形最短边上的中线分成两条线段，长度分别为 x<y.问比值xy是多少？ 多周©专o吾旧 15 问题14： 九名身高各不相同的运动员参加篮球队选拔，他们依次从装有3条蓝色腕带，3条红色腕带，3 条绿色腕带的袋子中随机抽取一条腕带，且抽取后不放回，随后他们按腕带颜色被分成蓝队，红 队，绿队·每队中身高最高的成员被任命为队长，问三名队长是三名最高的运动员的概率是多 少？ 2 (C) 28 问题15： 和式 肚场 可以表示为号，其中a和b是互质的正整数.问a十b是多少？ (A)89(B)97(C)102(D)107(E)129 2025AMC10B试题 5 问题16： 一个圆被分成了6个大小不同的扇形.然后将其中2个扇形涂成红色，2个涂成绿色，2个涂成 蓝色，使得任意两个相邻的扇形颜色都不同.下图展示了一种这样的着色方式. 蓝 纱 绿 红 绿 蓝 问共有多少种不同的着色方式？ (A)12(B)16(C)18(D)24(E)28 问题17： 考虑由n个正整数组成的递减数列x1>x2>X3>··>xn,它满足以下两个条件： ·数列前3项的平均值（算术平均值）是2025. ·对于所有4≤k≤n,数列前k项的平均值比前k-1项的平均值小1. 问n的最大可能值是多少？ (A)1013(B)1014(C)1016(D)2016(E)2025 问题18： 和式 v+V2+V5+…+V2024+V225 計算结果的个位数字是多少？（注意：x」表示不大于x的最大整数.） (A)1(B)2(C)3(D)5(E)8 2025AMC10B试题 6 问题19： 如图所示，容器的底部是1×1的正方形，顶部是3×3的开放正方形，还有四个全等的梯形侧 面.开始时容器是空的，用一根水管以恒定速率向容器中注水，需要35分钟才能将水注满至梯 形侧面中线的高度. 问还需要多少分钟才能将容器的剩余部分注满？ (A)70(B)85(C)90(D)95(E)105 问题20： 四个全等的半圆内接于边长为1的正方形中，它们的直径在正方形的边上，每个直径的一个端 点就是正方形的顶点，且相邻的半圆相切，如下图所示，一个小圆的圆心位于正方形的中心，并 与这四个半圆都相切. 这个小圆的直径可以写成（√a+b)(v+d)的形式，其中a,b,c,d都是整数.问a+b+c+d 的值是多少？ (A)3(B)5(C)8(D)9(E)11 问题21： 对于3×3方格表中的9个方格，每个方格都要涂上红色、蓝色或黄色，且需满足以下条件：每 个红色方格都与至少一个蓝色方格有公共边，每个蓝色方格都与至少一个黄色方格有公共边，每 个黄色方格都与至少一个红色方格有公共边.通过旋转、反射或者它们的组合可以互相得到的 涂色方式视为相同的，问共有多少种不同的涂色方式？ (A)3(B)9(C)12(D)18(E)27 2025AMC10B试题 7 问题22： 随机选取一个七位正整数，已知其各位数字之和为61，问这个数能被11整除的概率是多少？ ω⑧國品©号®，音田多 问题23： 考虑有141行与91列的矩形方格表，每个方格中可填入两个数.Horace与Vera分别将从1到 141×91=12,831的所有数填入方格中，Horace沿水平方向填写：他在第1行从左到右依序填 入1至91，在第2行从左到右依序填入92至182，并以此类推直至填完第141行.Vera沿垂直 方向填写：她在第1列从上到下依序填入1至141，在第2列从上到下依序填入142至282，并 以此类推直至填完第91列.问有多少个方格中两人填入的数相同？ (A)7(B)10(C)11(D)12(E)19 问题24： 一只青蛙沿着数轴线跳跃，其规则如下： ·起点为0； ·若青蛙在0处，则有号的概率跳到1，有)的概率消失； ·若青蛙在n=1,2或3处，则有是的概率跳到n十1，有的概率跳到n-1,有号的概 率消失。 问青蛙能跳到4处的概率是多少？ 1 1 98 (@)97 2025AMC10B试题 8 问题25： 正方形ABCD的边长为4，点P与点Q分别位于AD与CD上，且AP=,DQ=9.如图 所示，一条路径以线段PQ为起始，并在触及正方形ABCD的边时反射前进（入射角与反射角 相等).若路径碰到正方形的顶，点，则在此终止；否则会继续下去，不断反射.问这条路径会在 哪个顶，点终止？ D A B (A)A(B)B(C)C(D)D(E)这条路径会无限延伸