微专题 导数与极值、最值（专项训练）数学人教A版2019选择性必修第二册

微专题 导数与极值、最值 题型一 由图象判断函数的极值 1．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 【答案】B 【详解】根据的图象可知，在区间上，，则在区间上单调递减，故A错误； ，则的图象在处的切线斜率等于0，故B正确； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故C错误； 在区间上，，单调递减； 在区间上，，单调递减， 所以在处没有极值，故D错误． 故选：B 2．函数的导函数的图象如图所示，则（   ）    A．是函数的极小值点 B．是函数的一个零点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递减 【答案】A 【详解】当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，根据极小值点的定义，是函数的极小值点，A选项正确； 导函数图像无法提供原函数的零点信息，B错误； 当时，，函数单调递增，所以不是极大值点，C选项错误； 当时，导函数，函数在区间上单调递增，不是单调递减，D选项错误. 故选：A. 3．函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【详解】根据导函数的图像可知，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 可知是函数的极值点，不足以说明是函数零点. 因为函数在上单调递增，可知不是函数的极小值点，也不是函数的极大值点， 所以ABC不正确，故D正确. 故选：D. 4．（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 【答案】CD 【详解】由导函数的图像可知，时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 则在上单调递增，故A错误， 不是的极小值点，故B错误， 是的极大值点，故C正确， 由导函数的图像可知， 所以曲线在处的切线斜率为2，故D正确． 故选：CD． 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有 个 【答案】 【详解】由题图，时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，故只有一个极值点. 故答案为：1 题型二 求函数的极值与极值点 求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,确定极值点；（3）将极值点代入函数求得极值 6．函数 的极小值为 ． 【答案】/ 【详解】由函数，可得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，函数取得极小值，极小值为， 故答案为：. 7．已知函数的极值点为，则 ． 【答案】 【详解】由，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值点为，即. 故答案为：. 8．等差数列的前项和为，，是函数的极值点，则 【答案】45 【详解】， 令，可得或， 由二次函数图象与性质可知，在2和8两侧函数值符号相反， 所以2和8是函数的极值点， 所以， 所以， 故答案为： 9．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值. 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以点处的切线斜率， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为， 即； （2）因为的定义域为，所以， 令，解得，令得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是 所以函数的极大值为，无极小值. 10．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 【答案】(1) (2)极大值，极小值 【分析】 【详解】（1）， ， 故曲线在点处的切线方程为. （2）由得或， 由于，故当时，，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减，在单调递增， 故的极大值为，极小值为. 题型三 根据极值、极值点求参数值 由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 11．已知是函数的一个极值点，则 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，求导得， 由是函数的一个极值点， 得，解得，此时， 因为函数在上都单调递增， 所以函数在上单调递增，而， 当时，； 当时，，则函数在处取得极小值，符合题意， 所以. 所以，. 故答案为： 12．若在处有极值，则 ． 【答案】 【详解】已知，， 因为函数在处有极值，所以， 将代入中，得到，解得， 当时，，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以是函数的极小值点，符合题意. 故答案为：. 13．已知函数在-2处取得极值-14. (1)求a，b的值； (2)求曲线在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）,根据题意得到，解得：， （2），， ，， 点处的切线点斜式方程为：， 即 14．已知函数在处取得极值． (1)求、； (2)求在上的单调区间． 【答案】(1)， (2)单调递增区间为，，单调递减区间为 【分析】 【详解】（1）因为，所以． 因为，，所以，． 且当，时，， 则， 令可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数在处取得极大值，合乎题意，因此，，． （2）由（1）知，函数在上的单调递增区间为、， 单调递减区间为. 15．已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】 【详解】（1）已知函数，则， 由题意，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； （2）由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 16．已知函数，若在处取得极值，求的极值． 【答案】极小值，无极大值 【详解】的定义域为，求导得． 因为函数在处取得极值， 所以，解得． 故， ， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增． 故有极小值，无极大值， 且极小值为． 17．函数在处取得极值． (1)求a； (2)求的单调区间． 【答案】(1)1 (2)单调递增区间为，；单调递减区间为，． 【分析】 【详解】（1） 因为函数在处取得极值，所以 所以，解得． 经检验，当时，，， 可知在左右两侧导函数符号不同，所以符合题意． （2）； 令，解得 所以，x，，的关系如下表： x 0 1 2 0 0 0 极大值 极小值 极大值 所以的单调递减区间为，；单调递增区间为，． 题型四 根据极值点的个数求参数的取值范围 18．若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 19．若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，函数，可得， 因为函数在区间上有两个极值点， 即在上有两个不等的实数根， 即在上有两个不等的实数根， 即函数和的图象有两个交点， 又由，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，且当时，，当时，， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 20．已知函数，其中，若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】令， 因为在恰有一个极大值和一个极小值，则在有两个变号零点， 又，由，得到，由，得或． 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取到极小值；在处取到极大值； 又，；若恰好有两个变号零点， 则或，即或，解得， 故答案为：． 21．已知函数有3个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为函数，所以，当时，， ，令得， 所以，当时，，， 令得，所以，令， 则， 所以，当时，时，，时，， 所以，函数在和上单调递增，在上单调递减； 因为函数有3个极值点，，（）， 所以，函数与有三个交点，因为，当时， 当时，， 作出函数与图象如图， 由图可知，函数与有三个交点，则满足 . 故答案为： 【点睛】本题以函数极值点的数量为背景，通过求导数并结合单调性分析，考查了对函数性质的深入理解与灵活应用.通过数形结合的方法，利用图象直观判断交点数量，使得分析更加清晰易懂. 22．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若在上恰有1个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以，. 令，得或，且当时，， 当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为. 从而的极小值为，无极大值. （2）因为，所以. 因为在上恰有1个极值点，所以在上恰有一个变号零点. 令，则， 显然在上单调递增，且，所以在上恒成立， 则在上单调递增. 要使在上恰有一个变号零点，则， 即，故的取值范围为. 题型五 求不含参函数的最值问题 比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 23．函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【详解】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故选：C. 24．函数的值域为 . 【答案】 【分析】 【详解】方法一： 由， 令， ，则， 因为，当且仅当即时等号成立，所以， 由于在是单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则此时的最大值为， 所以函数的值域为， 即原函数的值域为； 方法二： 由，求导得， 令，在内解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 而 所以的值域为， 故答案为：. 25．函数的最小值为 . 【答案】/ 【详解】易知， 所以时，，即此时函数单调递增， 时，，即此时函数单调递减， 所以， 即该函数的最小值为. 故答案为： 26．函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增，且， 故在区间上的值域为． 故答案为：． 27．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)， 【分析】 【详解】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 28．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1)的单调递增区间为，； (2). 【分析】 【详解】（1）因为， 所以， 由，可得或， ，的变化情况如下： 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以函数的单调递增区间为，； （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以为极大值点，为极小值点，又，，，， 所以在上的值域为. 29．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值. 【答案】(1) (2)最大值为；最小值为. 【分析】 【详解】（1）依题意，，则， 又，即切点坐标为， 故所求切线方程为：，即. （2）由. 令，得. 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 故是的极小值，也是最小值. 又， 而，即. 故在区间上的最大值为，最小值为.nn 题型六 由函数的最值求参数 已知函数最值求参数的步骤：（1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； （2）通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值； （3）结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用 30．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，的取值范围是， 注意到，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，的最大值为， 且注意到趋于负无穷时，也会趋于负无穷， 若函数的值域为， 则当且仅当，解得. 故选：A. 31．已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【详解】由题设，故，且， 所以，故，即， 此时，且， 所以，时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 故处为极大值，也是最大值，满足题设； 所以. 故选：D 32．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以在处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 33．若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题可知， 令，即，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 单调递增 极大值4 单调递减 极小值0 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又有，， 故要使在区间上的最小值为，则. 故答案为： 34．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间 (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， 又 令，解得 ，令，则或， 所以的单调递减区间为，单调递增区间. （2）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 则，解得， 所以，又，， 所以在区间上的最小值为. 35．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 36．已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】 【详解】（1）当时，. ， ，即切线斜率. 所以切线方程为，即 （2）函数的定义域为. 当时，.所以在上单调递减，无最小值. 当时，令，得；令，得. 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为. 所以，即. 综上所述. 题型七 恒成立问题与存在性问题 (1)不等式恒成立问题的转化技巧 ① (或)恒成立⇔ (或)； ② (或)恒有解⇔ (或)； ③恒成立⇔ (其中); ④恒有解⇔ (其中). (2)对于函数,若存在,使得或成立,则或. 37．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 由题意得在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为，所以恒成立，故实数的取值范围是． 故选：B 38．已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在恒成立， 则，，      令，， 则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 所以，即， 所以的取值范围为． 故选：D． 39．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 【答案】A 【详解】由，得， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故当时，， 而存在实数，使得成立，故， 即实数t的最小值是， 故选：A 40．已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，， 而时，， 由题意得，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 41．已知函数，若在上恒成立，则实数取到的最大整数值为 . 【答案】1 【详解】由题设，恒成立，取得. 当时，，当时，，不合题意； 当时，，，，， 所以，使得，即， 令，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又时，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此，满足题意. 综上所述，实数取到的最大整数值是1. 故答案为：1. 42．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， 易得，得到切线斜率为， 故曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得的定义域为， 且， 而，令，，令，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 则当时，有最小值， 得到，解得， ，，即的取值范围为. 43．已知函数，其中实数，，. (1)若时，求函数的极值点； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)0是的极大值点，1是的极小值点. (2). 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 则， 因为，所以，得或，，得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以0是的极大值点，1是的极小值点. （2）当时，，又因为， 所以，所以，. 令，， ， 所以在上单调递增，所以， 所以. 44．已知函数. (1)当时，求在区间上的值域； (2)若存在，当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增. 因为，，，且， 所以的值域是. （2）因为. ①若，当时，，所以在上递增， 所以，不符合题意. ②若，当时，；当时，， 所以在上递减，在上递增， 要存在，当，， 则只需，所以. 题型八 导数在解决实际问题中的应用 45．现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1）因为材料利用率为，由题意可得，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 则在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，最大值为． 46．图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，． （1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围； （2）求当取何值时，凹槽的强度最大． 【答案】（Ⅰ）（）．（Ⅱ） 【详解】试题分析：（Ⅰ）凹槽的横截面的周长为半圆周长与AD,AB,CD的长度之和，半圆直径为AB，因此，解得，再根据实际意义得，代入解得的取值范围（Ⅱ）由凹槽的强度定义得，利用导数求其最值：先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析导函数符号变化规律，确定最值 试题解析：（Ⅰ）易知半圆的半径为，故半圆的弧长为． 所以， 得 依题意知： 得 所以，（）． （Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为，横截面的面积为，则有 ，， 因为， 所以，当时，，当时，， 所以当，凹槽的强度最大． 答：所以当，凹槽的强度最大． 考点：利用导数求函数最值 【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 47．某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 【答案】(1)，（） (2)当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 【分析】 【详解】（1）由题意：，（）. （2）因为，（）. 设，（）. 则，因为，所以. 所以函数在上单调递增. 又，， 又 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，所以，所以在上单调递增. 又， ， . 所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价（百元）时，利润最小. 48．如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 【答案】(1)； (2)（i），；（ii）答案见解析. 【分析】 【详解】（1）由题设，则， 所以，而， 所以，则，故； （2）（i）由（1），，且， 所以，且； （ii）由（i）得，， 令， 所以，可得， 当时， 若时，，则在上单调递减， 若时，，则在上单调递增， 此时时有； 当时，在上恒成立，即在上单调递减，此时时取； 综上， 时，该容器的总建造费用最少； 时，该容器的总建造费用最少. 49．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含），经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）之间的数据： 0 20 40 0 3000 5600 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，. (1)当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现一辆同型号汽车从甲地驶到乙地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系为：则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶） 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）函数为减函数，这与相矛盾， 故选择，根据提供数据有： ，解得：， 所以当时函数解析式为. （2）因为国道路段长，故所用时间为小时， 所以耗电量为： ， 即当时，. 因为国道路段长，故所用时间为小时， 所以耗电量为： ， 因为， 令，有， 所以当时，，单调递增， 所以， 所以总耗电量最少为：， 所以这辆车在国道上行驶速度为，在高速上行驶速度为时， 该车从甲地到乙地总耗电量最少，最少为. 50．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题意得，每小时运输成本为，全程行驶时间为小时，所以 （2） 当时，当时，， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，最小； 当时，，单调递减，当时，最小； 综上：当时，应该以千米/小时行驶； 当时，应该以千米/小时行驶 题型九 求含参函数的极值、最值问题 51．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）当时，由，可得， 由，可得，所以， 所以切线方程为，即； （2）由，可得， 令，可得或， 当时，由二次函数性质可知，， 所以在上单调递减，又， ，所以值域为， 当时，由二次函数性质可知，，时，， 所以函数在区间上的最大值为， 又，， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 若时，， 所以函数在区间上的最小值为，所以值域为， 综上所述：当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为， 当时，函数在区间上的值域为. 52．已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知：的定义域为，； 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值； 综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值. （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值. 53．已知函数． (1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值； (2)当时．求函数f（x）的最大值． 【答案】(1)a=1 (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由题意可知， 所以，即3-3a=0解得a=1， 经检验a=1，符合题意． 所以a=1． （2）由（1）知， 令，， 当即时，f（x）和随x的变化情况如下表： x －2 1 ＋ 0 － 0 ＋ －7+6a 单调递增 单调递减 单调调增 2－3a ， 由上可知，所以的最大值为． 当即时，f（x）和随x的变化情况如下表： x －2 1 ＋ 0 － －7+6a 单调递增 单调递减 2－3a ， 由上可知，所以f（x）的最大值为． 当即时，恒成立，即f（x）在［－2，1]上单调递减，所以f（x）的最大值为f（－2）=－7+6a， 综上所述，当时，f（x）的最大值为； 当时，f（x）的最大值为－7+6a． 54．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1)当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减． (2)①当时，在上的最小值为；当时，在上的最小值为． 【详解】（1）因为，所以． ①当时，，则在R上单调递增； ②当时，令，解得或， 则在，上单调递增，在上单调递减； ③当时，令，解得或， 则在，上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知，当时，或． ①当，即时， 在上单调递减，在上单调递增， 此时在上的最小值为； ②当，即时，在上单调递减， 此时在上的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 导数与极值、最值 题型一 由图象判断函数的极值 1．已知函数的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（   ） A．在区间上严格增 B．的图象在处的切线斜率等于0 C．在处取得极大值 D．在处取得极小值 2．函数的导函数的图象如图所示，则（   ）    A．是函数的极小值点 B．是函数的一个零点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递减 3．函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．是函数的一个零点 B．是函数的极小值点 C．是函数的极大值点 D．函数在区间上单调递增 4．（多选）已知函数的定义域为，的导函数的图像大致如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A．在上单调递减 B．是的极小值点 C．是的极大值点 D．曲线在处的切线斜率为2 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的极值点的个数有 个 题型二 求函数的极值与极值点 求不含参数函数单调区间的步骤：①确定函数的定义域；②求导数. 求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导,并检验的根是否在给定区间内. (2)研究函数的单调性,确定极值点；（3）将极值点代入函数求得极值 6．函数 的极小值为 ． 7．已知函数的极值点为，则 ． 8．等差数列的前项和为，，是函数的极值点，则 9．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 10．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值. 题型三 根据极值、极值点求参数值 由函数的极值确定参数的方法及注意事项： （1）利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程,从而求出参数的值:； （2）导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件,所以必须对求出的参数值进行检验,看是否符合函数取得极值的条件. 11．已知是函数的一个极值点，则 . 12．若在处有极值，则 ． 13．已知函数在-2处取得极值-14. (1)求a，b的值； (2)求曲线在点处的切线方程. 14．已知函数在处取得极值． (1)求、； (2)求在上的单调区间． 15．已知函数在处有极值-1. (1)求实数a，b的值; (2)求函数的单调区间. 16．已知函数，若在处取得极值，求的极值． 17．函数在处取得极值． (1)求a； (2)求的单调区间． 题型四 根据极值点的个数求参数的取值范围 18．若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 20．已知函数，其中，若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，则实数的取值范围是 ． 21．已知函数有3个极值点，则的取值范围是 . 22．已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若在上恰有1个极值点，求的取值范围. 题型五 求不含参函数的最值问题 比较极值与端点函数值的大小,确定最值. 23．函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 24．函数的值域为 . 25．函数的最小值为 . 26．函数在区间上的值域为 ． 27．已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 28．已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 29．已知函数. (1)求在处的切线方程； (2)当，求的最值. 题型六 由函数的最值求参数 已知函数最值求参数的步骤：（1）求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值； （2）通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值； （3）结合已知求出参数,进而使问题得以解决.注意分类讨论思想的应用 30．已知函数的值域为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 31．已知函数，当时，函数取得最大值，则（    ） A． B．或 C． D． 32．已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为 . 33．若函数在区间上的最小值为0，则的取值范围为 . 34．已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值． 35．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 36．已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若函数的最小值是1，求的值. 题型七 恒成立问题与存在性问题 (1)不等式恒成立问题的转化技巧 ① (或)恒成立⇔ (或)； ② (或)恒有解⇔ (或)； ③恒成立⇔ (其中); ④恒有解⇔ (其中). (2)对于函数,若存在,使得或成立,则或. 37．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数，若在恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数t的最小值是（    ） A． B．2π C．-1 D．1 40．已知函数，若存在，对任意，使得恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．已知函数，若在上恒成立，则实数取到的最大整数值为 . 42．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 43．已知函数，其中实数，，. (1)若时，求函数的极值点； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围. 44．已知函数. (1)当时，求在区间上的值域； (2)若存在，当时，，求的取值范围. 题型八 导数在解决实际问题中的应用 45．现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 46．图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，． （1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围； （2）求当取何值时，凹槽的强度最大． 47．某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：）与销售价格x（单位：百元/）满足，其中，该商品的成本为1百元/． (1)将该商场每日销售该商品所获利润表示为销售价格x的函数； (2)当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：） 48．如图所示的容器（不计厚度，长度单位：m）中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，容器的容积为，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为万元，半球形部分每平方米的建造费用为2万元． (1)比较与的大小； (2)（i）容器的总建造费用为万元，请把表示为的函数；（参考公式：） （ii）求该容器的总建造费用最少时的值． 49．环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含），经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）之间的数据： 0 20 40 0 3000 5600 为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：，. (1)当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)现一辆同型号汽车从甲地驶到乙地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度的关系为：则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？（假设在两段路上分别匀速行驶） 50．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速驶向乙地，速度不得超过120千米/小时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的立方成正比，比例系数为，固定部分为a（a＞0）． (1)把全部运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域； (2)为了使全部运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 题型九 求含参函数的极值、最值问题 51．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)当时，求函数在区间上的值域. 52．已知函数． (1)讨论的极值； (2)求在上的最小值． 53．已知函数． (1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值； (2)当时．求函数f（x）的最大值． 54．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在区间上的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $