2.3 平行线的性质 课时练-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2.3 平行线的性质 课时练-北师大版数学七年级下册 一、选择题 1．（2023七下·乐平期末）如图所示，一艘轮船从地出发，沿北偏东方向航行至地，再从地出发沿南偏东，方向航行至地，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平行线的性质；方位角 【解析】【解答】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【分析】根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案. 2．（2025七下·深圳期末） 如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平行线的性质；补角；平行线的应用-三角尺问题 【解析】【解答】解：过点D作DK∥AB ∵AB∥EF ∴DK∥EF ∴∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45° ∴∠ADE=∠ADK+∠EDK=75° ∵∠EDF=90° ∴∠CDF=180°-90°-75°=15° 故答案为： D 【分析】过点D作DK∥AB，根据直线平行性质可得∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°，再根据角之间的关系可得∠ADE，再根据补角即可求出答案. 3．（2025七下·成都期末） 如图，，于点H，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】解：∵，， ∴∠C=180°-∠B=180°-116°=64°， ∵ ∴∠CHD=90° ∴在Rt△CHD中，∠D=90°-∠CHD=90°-64°=26° 故选：A. 【分析】利用两直线平行，同旁内角互补可推出∠C的度数，再利用直角三角形的两锐角互余可推出∠D的度数. 4．（2025七下·平塘月考）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】， ， ， ， ， ． 故答案为：B． 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，然后由两直线平行，内错角相等得的度数. 5．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论 【解析】【解答】解：如图，过B作， ∵， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：A． 【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。 6．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】B 【知识点】平行公理；两直线平行，内错角相等 【解析】【解答】解：过点E作EO//MN， ∵PQ//MN， ∴EO//PQ//MN， ∴∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°， 设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β， ∴∠FED=180°-∠CED-∠AEF=180°-2α， ∴70°+β=180°-2α，α=60°-β， 解得α=50°，β=10°， ∴∠CED=∠AEF=50°， 故答案为：B. 【分析】过点E作EO//MN，则EO//PO//MN，设∠CED=∠AEF=α，∠OED=β，根据平行线的性质得∠OEF=∠EFP=70°，∠OEC=∠ACM =60°，由角的和差得70°+β=180°-2α，α=60°-β，联立解方程组即可得出答案. 7．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C 是 153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B=(　　) A．81° B．99° C．108° D．120° 【答案】B 【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论 【解析】【解答】解：如图，过点B作BD∥AE. ∵AE∥CF， ∴BD∥CF， ∴∠A=∠ABD=72°，∠DBC+∠C=180°. ∵∠C=153°， ∴∠DBC=27°， ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=99°. 故选：B. 【分析】根据“平行于同一直线的两条直线平行”知：AE∥CF∥BD，根据平行线的性质作答. 8．（2025七下·杭州期中）如图，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论 【解析】【解答】解：如图，过点C作， ， ， ， . 故答案为：C. 【分析】过点C作，易证，利用平行线的性质得到的度数，进而求得的度数. 二、填空题 9．（2025七下·光明期末） 如图，已知AB//CD，∠α=45°，∠C=∠D，则∠B=　 　. 【答案】135 【知识点】平行线的性质 【解析】【解答】解：∵AB//CD ∴∠C=∠D=∠α=45° ∴∠B=180°-∠C=135° 故答案为：135 【分析】根据直线平行性质即可求出答案. 10．（2025七下·宁波期末）一副三角板如图所示摆放，，，，则的度数为　 　． 【答案】​​​​​​​ 【知识点】平行线的应用-三角尺问题 【解析】【解答】解：如图， ∵， ∴∠1+90°=45°+∠3， 又∵， ∴∠1=45°+65°-90°=20°. 故答案为：20°. 【分析】利用两直线平行内错角相等、三角尺各角的度数可得∠1和∠3的关系式，再代入∠3的值求解即可. 11．（2025七下·广安月考）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝　 　． 【答案】40° 【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；角平分线的概念 【解析】【解答】解：过点O作OG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥OG∥CD， ∵BE平分∠ABO， ∴∠4=∠ABO=2∠1，∠5=∠3， ∵∠BOC=100°，即∠4+∠5=2∠1+∠3=100°， ∴∠3=100°-2∠1， ∵CF平分∠OCD， ∴2∠2=180°-∠3=180°-(100°-2∠1)=80°+2∠1， ∴2∠2-2∠1=80°， ∴∠2-∠1=40°． 故答案为：40°． 【分析】通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再结合角平分线的定义和平行线的性质，推导与的数量关系. 12．（2025七下·奉化期末） 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为．若，若，则的大小为　 　．（用的代数式表示）． 【答案】​​​​​​​ 【知识点】平行线的应用-折叠问题 【解析】【解答】解：如图， 由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， . 故答案为：. 【分析】由题意可得，易证，由折叠的性质可得，，再利用平行线的性质可得. 13．（2025七下·德清期末） 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为　 　． 【答案】 【知识点】角平分线的概念；平行公理；两直线平行，同旁内角互补 【解析】【解答】解：如图， 过点A作AM∥DE， ∵FG∥DE， ∴AM∥FG∥DE， ∵AM∥DE， ∴∠MAD+∠ADE = 180°， ∵∠ADE = 100°， ∴∠MAD =180°-∠ADE =80°， ∵AM∥FG， ∴∠GAM=∠G， ∵∠FAG=40°， ∴∠BAC=∠FAG=40°， ∵AC平分∠BAD， ∴∠BAD=2∠BAC=80°， ∴∠GAD=180°-∠BAD=180°-80°=100°， ∵∠GAD=∠GAM+∠MAD， ∴∠GAM=∠G=∠GAD-∠MAD=20°. 故答案为： 20°. 【分析】过点A作AM∥DE，由平行公理得AM∥FG∥DE，根据平行线的性质得∠MAD+∠ADE=180°，∠GAM =∠G， 由角平分线的定义得∠BAD=2∠BAC， 由∠GAD=∠GAM+∠MAD， 即可求解. 三、解答题 14．（2021七下·扎鲁特旗期末）已知，如图，AB∥CD，EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，求证：∠EGF=90° 【答案】解：∵AB∥CD，∴∠BEF +∠EFD =180°， ∵EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，∴∠GEF=∠BEF， ∠GFE=∠EFD， 故∠GEF+∠GFE=∠BEF+∠EFD=（∠BEF +∠EFD）=90°. 则∠EGF=90° 【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念 【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠BEF +∠EFD =180°，再利用角平分线的定义可得∠GEF=∠BEF， ∠GFE=∠EFD，因此∠GEF+∠GFE=∠BEF+∠EFD=（∠BEF +∠EFD）=90°，从而可得∠EGF=90° 。 15．（2025七下·源城期末）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作BF∥AE， 因为CD∥AE（ ）， 所以（ ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以∠BCD+∠CBF＝（ ）°（ ）， 因为AB⊥AE（ ）， 所以∠EAB＝（ ）°（垂直定义）， 因为BF∥AE， 所以（ ）+∠EAB＝180°， 所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ ）°， 所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ ）°． 【答案】解：如图②，过点B作BF∥AE， 因为CD∥AE（ 已知 ）， 所以（ BF ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以∠BCD+∠CBF＝（ 180 ）°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）， 因为AB⊥AE（已知 ）， 所以∠EAB＝（ 90 ）°（垂直定义）， 因为BF∥AE， 所以（ ∠ABF ）+∠EAB＝180°， 所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ 90 ）°， 所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ 270 ）°． 故答案为：已知；BF；180；两直线平行，同旁内角互补；已知；90；∠ABF；90；270 【知识点】垂线的概念；平行公理及推论；平行线的性质 【解析】【分析】 如图②，过点B作BF∥AE， 根据平行公理，平行线的性质以及垂直定义可推理的出结论，根据每一步推理的依据，可得出答案。 16．（2025七下·嵊州期末） 如图， 于点 A，，. （1） AD 与 BC 平行吗？为什么？ （2） 根据题中的条件，能判断 AB 与 CD 平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行. 【答案】（1）结论：AD∥BC， 理由如下： ∵AB⊥AC， ∴∠BAC＝90°， ∵∠1＝40°， ∴∠BAD＝130°， ∵∠2＝50°， ∴∠BAD＋∠2＝180°， ∴AD∥BC （2）解：根据题中的条件，不能判断AB与CD平行， 添加条件为∠D＝50°（答案不唯一）， ∵∠BAD＝130°，∠D＝50°， ∴∠BAD＋∠D＝180°， ∴AB∥CD 添加的条件 AC⊥CD 或∠2=∠D或∠D=50°等. 【知识点】平行线的应用-证明问题 【解析】【分析】（1）由AB⊥AC，∠1＝40°，得∠BAD＝130°，∵∠2＝50°，∴∠BAD＋∠2＝180°，由同旁内角互补证得结论； （2）根据平行线的判定方法，添加一个条件为∠D＝50°（答案不唯一），利用同旁内角互补，两直线平行，可得到结论． 17．（2025七下·温州期末）如图，∠ABC=90°，在线段AC上取点D，作DE⊥AB于点E，∠1=∠2. （1）判断BF与AC是否平行，并说明理由. （2）若∠3-∠2=50°，∠F=2∠2，求∠2的度数. 【答案】（1）解：平行，理由如下： ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴ED∥BC． ∴∠2＝∠C ∵∠1＝∠2 ∴∠1＝∠C． ∴BF∥AC （2）解：设∠2＝x，由∠F=2∠2=2x． 因为BF∥AC， 所以∠3＝∠F=2x． 因为∠3－∠2＝50°， 所以∠3＝50°＋x． 因为∠2＋∠3＋∠FDC＝180° 所以4x＋50°＝180°， 解得x＝32.5°，即∠2＝32.5° 【知识点】平行线的判定与性质 【解析】【分析】 （1）根据题意，结合图形，由垂直得到∠DEA=∠ABC，证得BC∥ED，有∠2=∠C，结合已知条件，得到∠1=∠C，证得结论； （2）根据题意，把∠3，∠FDC用∠2表示，利用∠2+∠3+∠FDC=180°，求出∠2即可. 18．（2025七下·慈溪期末） 已知 ，点 A，D 在直线 PQ 上，点 E，B 在直线 MN 上，，BA 平分 ，F 是直线 MN 上方一点，且 . （1） EF 与 AB 平行吗？请说明理由. （2） 若 ，求 的度数. 【答案】（1）解：EF与AB平行，理由如下： ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）解： ， 而BA平分， 由（1） 得 【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题 【解析】【分析】(1)由条件结合图形证出，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）由平角是，，易得，然后利用平行转移角，结合角平分线即可得到，再由（1）的结论即可得到结果. 19．（2025七下·义乌月考）如图，已知AB//CD，AD平分∠EAC，∠B=∠D. （1）请说明AD//BC： （2）若∠DAC=（2x+15）°，∠B=（105-3x）°，求∠D的度数. 【答案】（1）证明：， ， 又， ， （2）解：∵AD 平分∠EAC， ∴∠EAD=∠DAC=(2x+15)° 由(1) 可知： ∠EAD=∠B， ∴2x+15=105-3x， 解得：x=18， ∴∠B=(105-3x)° =(105-3×18)° =51°， ∴∠D=∠B=51° 【知识点】同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】【分析】(1)首先由AB//CD得∠EAD=∠D，进而根据已知条件可得出∠EAD=∠B，然后根据平行线的判定可得出结论； (2)先根据角平分线的定义得∠EAD=∠DAC=(2x+15)°，再根据(1)得∠EAD=∠B，据此可得出2x-15=105-3x，由此可求出x，进而求出∠B的度数即可得出答案. 20．（2025七下·浙江期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线和反射光钱是否平行，并说明理由． （2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系、经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线和光线平行，且，则　 　°，　 　°． （3）试猜想：在图3中，当两平面镜AB，CD的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线平行？请说明理由． 【答案】（1）平行；理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3， ∵， ∴， ∴，即∠5=∠6， ∴m∥n （2）94；90 （3）解：∠ABC=90°，理由如下： ∵∠ABC=90°， ∴∠2+∠3=180°-90°=90°， ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠5+∠6=180°+180°-180°=180°， ∴m∥n 【知识点】平行线的判定；平行线的性质 【解析】【解答】解：(2)∵∠1=∠2=47°， ∴∠5=180°-∠1-∠2=180°-47°-47°=86°， ∵m∥n， ∴∠5+∠6=180°， ∴∠6=94°， ∴∠3+∠4=180°-∠6=86°， ∴∠3=∠4=43°， ∴∠ABC=180-2-∠3=90°， 故答案为：94，90. 【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠2=∠3，再根据已知条件及三角形内角和可得∠5=∠6，再根据根据平行线的判定即可得证； （2）根据已知条件及平行线的性质可得出∠6的度数，再根据平角的定义即可求解； （3）当∠ABC=90°时，及已知条件可得出∠5与∠6=互补，再根据平行线的判断即可得出结论. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 平行线的性质 课时练-北师大版数学七年级下册 一、选择题 1．（2023七下·乐平期末）如图所示，一艘轮船从地出发，沿北偏东方向航行至地，再从地出发沿南偏东，方向航行至地，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（2025七下·深圳期末） 如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2025七下·成都期末） 如图，，于点H，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2025七下·平塘月考）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025七下·天台期末） 如图，在科学《光的反射》活动课中，老师将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面AB延长线与地面的夹角，激光笔发出的光束DE射到平面镜后，形成反射光束EF. 由科学原理可知：，若反射光束与天花板的夹角，且，则的度数为（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 7．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐弯处的∠A 是72°，第二次拐弯处的角是∠B，第三次拐弯处的∠C 是 153°，这时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠B=(　　) A．81° B．99° C．108° D．120° 8．（2025七下·杭州期中）如图，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025七下·光明期末） 如图，已知AB//CD，∠α=45°，∠C=∠D，则∠B=　 　. 10．（2025七下·宁波期末）一副三角板如图所示摆放，，，，则的度数为　 　． 11．（2025七下·广安月考）如图，AB∥CD，∠BOC＝100°，BE，CF分别平分∠ABO，∠OCD，则∠2﹣∠1＝　 　． 12．（2025七下·奉化期末） 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为．若，若，则的大小为　 　．（用的代数式表示）． 13．（2025七下·德清期末） 如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画，，交于点，，，平分，若，则的度数为　 　． 三、解答题 14．已知，如图，AB∥CD，EG 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，求证：∠EGF=90° 15．（2025七下·源城期末）高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板，将小桌板放下后，桌面与车厢的底部AE平行，从侧面观察得到如图①所示图形，BA⊥AE，垂足为A，CD∥AE，有同学认为在这种情况下，∠ABC与∠BCD的和是个定值，下面是小林同学计算∠ABC+∠BCD的度数的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图②，过点B作BF∥AE， 因为CD∥AE（ ）， 所以（ ）∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以∠BCD+∠CBF＝（ ）°（ ）， 因为AB⊥AE（ ）， 所以∠EAB＝（ ）°（垂直定义）， 因为BF∥AE， 所以（ ）+∠EAB＝180°， 所以∠ABF＝180°﹣90°＝（ ）°， 所以∠ABC+∠BCD＝∠ABF+∠CBF+∠BCD＝（ ）°． 16．（2025七下·嵊州期末） 如图， 于点 A，，. （1） AD 与 BC 平行吗？为什么？ （2） 根据题中的条件，能判断 AB 与 CD 平行吗？如果能，请说明理由；如果不能，添加一个条件，使它们平行. 17．（2025七下·温州期末）如图，∠ABC=90°，在线段AC上取点D，作DE⊥AB于点E，∠1=∠2. （1）判断BF与AC是否平行，并说明理由. （2）若∠3-∠2=50°，∠F=2∠2，求∠2的度数. 18．（2025七下·慈溪期末） 已知 ，点 A，D 在直线 PQ 上，点 E，B 在直线 MN 上，，BA 平分 ，F 是直线 MN 上方一点，且 . （1） EF 与 AB 平行吗？请说明理由. （2） 若 ，求 的度数. 19．（2025七下·义乌月考）如图，已知AB//CD，AD平分∠EAC，∠B=∠D. （1）请说明AD//BC： （2）若∠DAC=（2x+15）°，∠B=（105-3x）°，求∠D的度数. 20．（2025七下·浙江期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角． （1）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜的工作原理示意图，AB、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，请判断入射光线和反射光钱是否平行，并说明理由． （2）显然，改变两面平面镜AB、CD之间的位置关系、经过两次反射后，入射光线与反射光线之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线射到平面镜AB上，被AB反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线和光线平行，且，则　 　°，　 　°． （3）试猜想：在图3中，当两平面镜AB，CD的夹角的度数是多少时，可以使任何入射光线经过平面镜AB、CD的两次反射后，与反射光线平行？请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $