精品解析：四川省泸州市叙永县向林镇初级中学校向林中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

向林中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 2026年，中国载人航天工程将迈入“空间站应用和载人月球探测”双轨并行的关键之年，如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象在（ ）. A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 3. 假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（ ） A. 5米 B. 米 C. 8米 D. 10米 6. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 7. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，当点落在边上时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 12. 正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（6分） 13. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 14. 如图，是的直径，，在上，若，则的度数为___________（度）． 三、解答题 15. 【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点作，交的延长线于点， 是三角形的角平分线， ， ， ， ， ___________①___________， ， ___________②___________， ， ； （1）请你帮龙龙完善证明过程：①___________②___________ （2）请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知，分别是的中线和高线，若，，，求的值 （3） （4） ②如图4，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，点在的延长线上，若与相似，求线段的长． 16. 解下列方程 （Ⅰ）； （Ⅱ）． 17. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 18. 已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，求和的大小． 19. 已知是的直径，是的切线，． （1）如图①，若，求直径的长； （2）如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 20. 通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度与时间满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系（为常数，），如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 … 0 7 12 15 16 15 … 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填空：该患者第一次服用该药后___________的血药浓度最高为___________； ②求该患者第一次服用该药后的血药浓度关于时间的函数解析式； （2）两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过时，该药会引起中毒．该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由． 21. 在平面直角坐标系中，为原点，直角的顶点，点在轴的正半轴，，等腰直角，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，． （1）填空：如图①，点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为，记旋转角为． ①如图②，当点在边上时，求旋转角的大小和的长； ②连接，点为的中点，点为的中点，连接，求的取值范围（直接写出结果即可） 22. 已知抛物线（a，b，c为常数，，）与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点在线段（点除外）上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）当时， ①若点的坐标为，求该抛物线顶点的坐标； ②若，且点在抛物线上，求抛物线的解析式； （2）当时，点为第一象限的动点，，连接．当取得最小值，且点在抛物线上时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 向林中学2025年秋期九年级数学期中考试题 一、选择题（36分） 1. 2026年，中国载人航天工程将迈入“空间站应用和载人月球探测”双轨并行的关键之年，如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中组合体可知其俯视图是两个同心圆，画出图形即可． 【详解】解：俯视图如图所示，所以A符合题意． 2. 反比例函数的图象在（ ）. A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质；根据反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二四象限． 故选D． 3. 假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解： ，即， ， 解得： 故选：D． 5. 如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（ ） A. 5米 B. 米 C. 8米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得， 即路灯的高为8米； 故选：C． 6. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 7. 如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 8. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次函数的实际应用、一元二次方程的解法．铅球落地时高度，解二次方程求x的正根即可． 【详解】解：当时， 令，得方程， ， 解得（水平距离为正，舍去负根）， 综上，推出铅球的水平距离为， 故选：B． 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转到，当点落在边上时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用旋转性质得到边与角的等量关系，结合平行线性质找到角的联系，最后依据三角形内角和定理求解的度数．本题考查旋转的性质（对应边、角相等）、平行线的性质（内错角相等）及三角形内角和定理，熟练运用这些知识，通过角的等量代换与方程思想求解是关键 ． 【详解】解：设 ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， 设 ∵， ∴， ∴ ． 在中，，即 ． 化简得，解得， ∴ ． 故选： ． 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可． 【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文， 则可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 11. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当时，的值随值的增大而增大 C. 函数的最小值小于 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及特定点函数值分析选项即可. 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 12. 正方形，，对角线，相交于点，动点从点出发，以的速度沿、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，的面积为； ②在运动过程中，的面积随值的增大而增大； ③在运动过程中，有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据时，点的位置即可判断①；当时，根据点的位置表示出的面积，即可判断②；分别令时和时的面积为，根据方程解的个数即可判断③． 【详解】解：①∵四边形是正方形，， ∴； 由题意知，当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴，故此序号正确； ②由题意知，时，点到达终点，此时点在上距离处，并停止运动； ∴两动点的运动时间为； 当时，点的位置如图所示： 此时，，， 过点作交于点，则有为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，的面积随值的增大而减小；故此序号错误； ③由②知，当时，令， 解得：； 当时，点的位置如图所示： 此时，， ∴， 令， 化简得：， 解得：（负值舍去）； 综上，有三个不同的值满足的面积为；故此序号错误； ∴正确的结论有一个．   故选：B． 二、填空题（6分） 13. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 14. 如图，是的直径，，在上，若，则的度数为___________（度）． 【答案】110 【解析】 【分析】本题考查了圆的半径性质、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是通过连接辅助线，利用等腰三角形求出相关角的度数，再借助圆内接四边形对角互补推导结果． 连接，由（圆的半径相等）可知为等腰三角形，结合的度数求出；再根据圆内接四边形对角互补的性质，结合与的关系求出． 【详解】解：连接， ∵的半径）， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15. 【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点作，交的延长线于点， 是三角形的角平分线， ， ， ， ， ___________①___________， ， ___________②___________， ， ； （1）请你帮龙龙完善证明过程：①___________②___________ （2）请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知，分别是的中线和高线，若，，，求的值 （3） （4） ②如图4，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，点在的延长线上，若与相似，求线段的长． 【答案】（1）①，② （2）①，②的值为或． 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）①过过点作交的延长线于点，证明，推出，，在中，由勾股定理得出方程求出的长，从而得出与的长，再将转化为即可得出结果； ②由，求出的长度，在中，利用勾股定理求出，进而求出，由，求出，，，再分和两种情况，由相似三角形的性质求出． 【小问1详解】 解：由题意得， 龙龙同学的证明思路：如图2过点作，交的延长线于点，构造相似三角形可以证明：． ①， ②； 【小问2详解】 解：①如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是与的高， ∴与都是直角三角形， ∴，， ∴； ②由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 若， ∴，即， 解得； 若， ∴，即， 解得； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等面积法，相似三角形的存在性问题，本题的关键是根据题意分类讨论解题． 16. 解下列方程 （Ⅰ）； （Ⅱ）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法计算即可； （2）利用因式分解法解方程即可； 【详解】（1）， ， ， ，； （2）， ， ， ∴，； 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键． 17. 小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且与天头长的比为，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是，根据原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设装裱后左右两边的边宽分别是，则天头长和地头长分别是， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：装裱后左右两边的边宽分别是． 18. 已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，若，求和的大小． 【答案】（1），； （2），； 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得垂直平分，推出得即可求解； （2）根据，，可推出；是等腰三角形，进而得；结合（1）得，推出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴； 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 已知是的直径，是的切线，． （1）如图①，若，求直径的长； （2）如图②，点是上一点，若，与相交于点，过点作弦，与相交于点，求和直径的长． 【答案】（1） （2），； 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、垂径定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．； （1）由题意得；推出即可求解； （2）连接，同理可得；根据，推出，即；进而得，设半径为，则，根据，即可求解； 【小问1详解】 解：∵是的切线， ∴，即； ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ∵，； ∴， ∴； ∵， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴； 设半径为，则， ∵， ∴，解得：， ∴； 20. 通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）也会随着时间的推移而发生波动．经研究发现，血药浓度与时间满足某种函数关系．假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度与时间近似满足函数关系（为常数，），如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度与时间的几组对应值： 0 1 2 3 4 5 … 0 7 12 15 16 15 … 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填空：该患者第一次服用该药后___________的血药浓度最高为___________； ②求该患者第一次服用该药后的血药浓度关于时间的函数解析式； （2）两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同．若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过时，该药会引起中毒．该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由． 【答案】（1）①4，16；② （2） 患者存在中毒风险，理由如下： ∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为， ∴血药总浓度为， 整理得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∵， ∴该患者第一次和第二次服药间隔的时间为，存在中毒风险． 【解析】 【分析】（1）①由对称性可知二次函数的顶点坐标为，则该患者第一次服用该药后的血药浓度最高为；②由①得第一次服药后与的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）由“两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和”得此时患者血药浓度为，求出的最大值与进行比较即可； 本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：①由表格可知二次函数的顶点坐标为，则该患者第一次服用该药后的血药浓度最高为； 故答案为：4，16； ②由①知与的函数关系式为， 将点代入得， 解得， 则第一次服药后与的函数解析式为； 【小问2详解】 略 21. 在平面直角坐标系中，为原点，直角的顶点，点在轴的正半轴，，等腰直角，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴，． （1）填空：如图①，点的坐标为___________，点的坐标为___________； （2）将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点的对应点分别为，记旋转角为． ①如图②，当点在边上时，求旋转角的大小和的长； ②连接，点为的中点，点为的中点，连接，求的取值范围（直接写出结果即可） 【答案】（1）， （2）①；；② 【解析】 【分析】（1）由，，得，得,得；由 ，得，即得． （2）①过点作于点E，作线段的垂直平分线交于点G，交于点F,连接，设，由，得，由，得，，由，得，解得，得，，，设，由线段垂直平分线性质得，，得，解得，得，得，即得；②连接，由，得，根据三角形中位线性质得． 【小问1详解】 解：∵点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点在轴的正半轴， ∴． ∵等腰直角中，， ∴ ∵点在轴的负半轴， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：①过点作于点E，作线段的垂直平分线交于点G，交于点F，连接． 设， 由（1）知，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 化简，得． 解得（舍去），或． ∴，，． ∵， ∴． ∴． 设， 则，． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴． ∴． ②连接， 则． ∵， ∴． ∵点为的中点，点为的中点， ∴． ∴． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中三角形旋转，熟练掌握点的坐标，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形外角性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，正确作出辅助线，是解题的关键． 22. 已知抛物线（a，b，c为常数，，）与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，点在线段（点除外）上运动，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）当时， ①若点的坐标为，求该抛物线顶点的坐标； ②若，且点在抛物线上，求抛物线的解析式； （2）当时，点为第一象限的动点，，连接．当取得最小值，且点在抛物线上时，求的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意可得，，，代入抛物线，求解即可； ②根据可得，，可得，则为等腰直角三角形，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，根据可得，得到，根据，得到，再将、、代入抛物线，求解即可； （2）由可得抛物线为，取点，连接，，根据题意可得，，得到，即在线段上运动，设；由，点为第一象限的动点可得点是在以为直径的半圆上运动，取，连接，，可得当取得最小值时，取得最小值，，由二次函数的性质可得当时，最小，此时点，代入抛物线，求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意可得，，， ∵， ∴，， 将，，代入抛物线可得 ，解得， 即抛物线为， 即顶点坐标为； ②由①得，，则，即为等腰直角三角形， 分别过点，作的垂线，垂足分别为，，如下图： 则为等腰直角三角形，设， 由可得，，解得（负值舍去）， ∴，， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，即 将、、代入抛物线可得， ，解得， 即抛物线为； 【小问2详解】 解：由可得抛物线为， 取点，连接，， 由题意可得，，，， ∴， ∴，即在线段上运动， 设直线为，将，代入可得， ，解得，即， 故设， 由，点为第一象限的动点，可得点是在以为直径的半圆上运动， 取，连接，，如下图： 则， 由三角形三边关系可得，，当、、共线时，取得等号， 则当取得最小值时，取得最小值，， ∵，开口向上，对称轴为， ∴当时，最小，即取得最小值，此时点， 将、代入抛物线可得， ，解得， 即． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求解析式，旋转，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等内容，综合性比较强，解题的关键是熟练掌握性质的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $