2026年(河北)中考数学一轮复习考点探究讲义 第一讲　实数

该初中数学讲义聚焦实数专题，覆盖中考核心考点如分类、相反数、绝对值、科学记数法、平方根等，通过表格对比、实例分析构建知识体系。设计“考点梳理-方法归纳-真题训练”流程，用即时练巩固基础，重点难点一题串讲突破易错点，实现系统复习。 亮点是融入抽象能力、推理意识等核心素养培养，如通过非负数性质综合题训练推理，科学记数法含单位数转化提升抽象能力。设分层练习和5分钟限时测试，配合错题诊断，确保高效复习。助力学生夯实基础、提升应考能力，为教师提供精准复习节奏指导。

第一讲　实数 考点一　实数的分类及正负数的意义 ❶ 实数的分类 (1)按定义分 实数 常考无理数的四种类型: a.π及化简后含π的数,如2π,π+3等. b.开方开不尽的数,如,,,等. c.虽有规律但是无限不循环小数,如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间依次多一个0)等. d.化简后含有根号的三角函数值,如sin 60°,tan 30°等. (2)按正负分 实数 ❷ 正负数的意义:正负数可以用于表示一组具有相反意义的量.如规定“盈利(+)”则“亏损(-)”,“胜(+)”则“负(-)”,“收入(+)”则“支出(-)”,“零上(+)”则“零下(-)”,“水位上升(+)”则“水位下降(-)”等. (1)0是正数和负数的分界. (2)非负数包含正数和0. (3)-a不一定是负数,如-(-2)=2是正数. 1.(冀教八上P71练习T2变式)下面各数中:0.,,,0,,-1,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间依次多一个0),无理数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;正数有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　;负数有　　　　;既不是正数,也不是负数的有　　　　.  2.(人教七上P4练习T3变式)大年三十,米米一家在家庭微信群里抢红包,米米抢到了35元,微信账单显示+35元,妈妈发出了一个66元的红包,那么妈妈的微信账单会显示　　　　元,爸爸的微信账单显示+20元,表示　　　　　　.  考点二　实数的相关概念 ❶ 数轴 (1)三要素: (2)实数与数轴上的点是③　　　　的.  ❷ 相反数 定义 只有④　　　　不同的两个数互为相反数  几何 意义 在数轴上,表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,且到原点的距离⑤　　　　,即表示这两个数的点关于⑥　　　　对称  性质 (1)非零实数a的相反数为⑦　　　　,特别地,0的相反数是⑧　　　　.  (2)实数a,b互为相反数⇔a+b=⑨　　　　,=⑩　　　(b≠0)  ❸ 绝对值 定义 一般地,数轴上表示数a的点与　　　　的距离叫做数a的绝对值.数a的绝对值表示为　　　　  几何 意义 数轴上表示这个数的点到原点的距离,离原点越远的点表示的数的绝对值越　　　  性质 |a|=绝对值具有非负性 绝对值相等的两个数相等或互为相反数,即若|a|=|b|,则a=b或a+b=0. ❹ 倒数 定义 乘积是1的两个数互为倒数 性质 (1)非零实数a的倒数是　　　　.  (2)实数a,b互为倒数⇔ab=　　　  特殊情况 　　　　没有倒数,倒数等于它本身的数是　　　　  3.(北师七上P32随堂练习T2变式)如图,数轴上有A,B,C,D四个点,请回答下列问题: (1)到原点距离相等的两个点是　　　　和　　　　.  (2)点A位于-5和-4的正中间,则点A表示的数的倒数是　　　　.  (3)点D表示的数的相反数是　　　　.  (4)点B表示的数的绝对值是　　　　.  (5)若数轴上存在一点P,使BP=2BD,则点P表示的数是　　　　.  4.(人教七上P30练习T3变式)的倒数是　　　　,  0.5的倒数是　　　　,  -1的倒数是　　　　.  5.(冀教七上P56复习题A组T2改编)若a,b互为相反数,c,d互为倒数,m的绝对值为2. (1)直接写出a+b,cd,m的值. (2)求m+3cd+的值. 考点三　科学记数法 　　用科学记数法把一个数表示成a×10n的形式时,关键是确定a和n的值. ❶ 确定a的值:　　　　≤|a|<　　　　.  ❷ 确定n的值:当原数的绝对值≥10时,n为　　　　,n的值等于原数的整数位数减1或原数变为a时小数点向左移动的位数;当0<原数的绝对值<1时,n为　　　　,n的绝对值等于原数中左起第一个非零实数前0的个数(包括小数点前面的0)或原数变为a时小数点向右移动的位数.  ❸ 将用科学记数法表示的数a×10n还原成原数:当n为正整数时,只需将a的小数点向右移动n位,如果a中的位数不够,那么用“0”补位;当n为负整数时,只需在a前补|n|个0,小数点在第一个0后. 对于含计数(量)单位的数用科学记数法表示时,可先把计数(量)单位转换为数字,然后用科学记数法来表示.常考的计数单位有1千=103,1万=104,1亿=108等;常考的计量单位有1 mm=10-3 m,1 μm=10-6 m,1 nm=10-9 m等. 6.(1)用科学记数法表示下列各数: ①2 440 000=　　　　.  ②0.000 000 004 5=　　　　.  ③=　　　　.  ④2×105+6×105=　　　　.  ⑤12亿=　　　　.  (2)361 000 000用科学记数法表示为3.61×10n,则n的值为　　　　.  7.将6.5×107还原成原数为　　　　,将6.05×10-7还原成原数为　　　　.  考点四　近似数和精确度 ❶ 近似数:与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数,如:π取3.14,身高约168 cm,这里说的3.14和168都是近似数. ❷ 精确度:近似数与准确数的接近程度可以用精确度来表示.一个近似数四舍五入到哪一位就说这个近似数精确到哪一位. 实际生活情境中有时还用到进一法和去尾法,如租车等取整数的情形. 8.用四舍五入法,对下列各数按要求取近似数. (1)0.632 8精确到0.01为　　　　.  (2)130.96精确到十分位为　　　　.  (3)1 249 882精确到千位为　　　　.  考点五　平方根、算术平方根、立方根 平方根 实数a(a≥0)的平方根为　　　　;正数有两个平方根,且互为　　　　;0的平方根为　　　　;负数没有平方根  算术平 方根 实数a(a>0)的算术平方根为　　　　;0的算术平方根为　　　　;负数没有算术平方根  立方根 实数a(a为任意实数)的立方根为 (1)算术平方根等于它本身的数是0,1;立方根等于它本身的数是0,±1. (2)所有的数都有一个立方根,且与原数同号. 9.填空: (1)81的平方根是　　　　;  的算术平方根是　　　;  -27的立方根是　　　　.  (2)=　　　　;  ±=　　　　;  =　　　　.  考点六　非负数 非负数 在实数范围内,正数和0统称为非负数,常见的非负数: (1)任意实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0. (2)任意实数a的偶次方是非负数,即a2n≥0,n为正整数. (3)任意非负数a的n次算术根是非负数,即≥0(a≥0),常考≥0(a≥0) 非负数 的和 若几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0,如: (1)若a2+b2=0,则a=0且b=0. (2)若|a|+|b|=0,则a=0且b=0. (3)若=0,则a=0且b=0. (4)若a2+|b|+=0,则a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　  10.若|a-2|++(c-4)2=0,则a-b+c=　　　　.  11.若=n2+2n+1=0,则mn=　　　　.  如图,在数轴上a,b,c三个数所对应的点分别为A,B,C.已知b是最小的正整数,且a,c满足|a+2|与(c-7)2互为相反数,请回答问题: (1)a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　.  (2)点A与点B之间的距离为　　　　个单位长度.  (3)若将数轴折叠,使点A与点C重合,则点B与数　　　　对应的点重合.  (4)若将OB(O为原点)分成200等份,则离原点最近的点表示的数用科学记数法可表示为　　　　.  (5)点P为一动点,其表示的数为x,当点P在A,B之间(包括A,B)运动时,请化简式子:|x+2|-|x-1|-|x+5|.(请写出化简过程) (6)若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点C以每秒1个单位长度的速度向右运动,假设经过t秒,点B与点C之间的距离为BC,点A与点B之间的距离为AB,则BC=　　　　,AB=　　　　,并求出BC-AB的值.  (1)∵|a+2|与(c-7)2互为相反数, ∴|a+2|+(c-7)2=0. (2)根据(1)中A,B表示的数确定距离的值. (3)因为将数轴折叠,使点A与点C重合,由(1)知a,c,则可求出AC的中点.根据点B和与点B重合的点的中点与点A和点C的中点相同,即可求出与点B重合的点. (4)根据题意知此数是绝对值小于1的分数,先将分数化成小数,再用科学记数法表示. (5)根据点P的位置,可以确定x的范围,然后根据|a|的符号法则得出结果. (6)数轴上两点M,N表示的数分别是m,n,则M,N两点之间的距离MN=|m-n|. 命题点一　实数的分类及正负数的意义 ❶ (2019·河北)规定:(→2)表示向右移动2,记作+2,则(←3)表示向左移动3,记作(　　) A.+3 B.-3 C.- D.+ ❷ (2025·广州)下列四个选项中,负无理数的是(　　) A.- B.-1 C.0 D.3 命题点二　实数的相关概念 ❸ (2025·青岛)-6的相反数为(　　) A.-6 B.6 C.- D. ❹ (2025·连云港)-5的绝对值是(　　) A.5 B.-5 C. D. ❺ (2025·资阳)已知数轴上点A所表示的数是,则与点A相距2个单位长度的点表示的数是(　　) A.+2或-2 B.2+或2- C.+2 D.-2 ❻ (2021·河北)如图,将数轴上-6与6两点间的线段六等分,这五个等分点所对应数依次为a1,a2,a3,a4,a5,则下列结论正确的是(　　) A.a3>0 B.|a1|=|a4| C.a1+a2+a3+a4+a5=0 D.a2+a5<0 命题点三　科学记数法 ❼ (2023·河北)光年是天文学上的一种距离单位,一光年是指光在一年内走过的路程,约等于9.46×1012 km,下列正确的是(　　) A.9.46×1012-10=9.46×1011 B.9.46×1012-0.46=9×1012 C.9.46×1012是一个12位数 D.9.46×1012是一个13位数 ❽ (2022·河北)某正方形广场的边长为4×102 m,其面积用科学记数法表示为(　　) A.4×104 m2 B.16×104 m2 C.1.6×105 m2 D.1.6×104 m2 ❾ (2019·河北)一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为(　　) A.5×10-4 B.5×10-5 C.2×10-4 D.2×10-5 ❿ (2020·河北)已知光速为300 000 km/s,光经过t s(1≤t≤10)传播的距离用科学记数法表示为a×10n km,则n可能为(　　) A.5 B.6 C.5或6 D.5或6或7 ⓫ (2021·河北)某书店新进了一批图书,甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书,共付款Q元. (1)用含m,n的代数式表示Q. (2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书,用科学记数法表示Q的值. 命题点四　近似数和精确度 ⓬ (2024·河北样卷)5.0×102精确到(　　) A.十分位 B.个位 C.十位 D.百位 命题点五　平方根、算术平方根、立方根 ⓭ (2025·青海)4的算术平方根是　　　　.  ⓮ (2025·长春)8的立方根是　　　　.  命题点六　非负性的应用 ⓯ (2025·广安)在平面直角坐标系中,已知点A的坐标为(a,b),且a,b满足(a-2)2+|b+3|=0,则点A在第　　　　象限.  【详解答案】 教材考点·深度梳理 ①无限不循环小数　②0　③一一对应　④符号　⑤相等　⑥原点　⑦-a　⑧0　⑨0　⑩-1　原点　|a|　大　a -a　　1　0　±1　1　10　正整数　负整数　±　相反数　0　　0　0　0 0 即时练 1.,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间依次多一个0) 0.,,,0.202 002 000 2…(相邻两个2之间依次多一个0) ,-1　0 2.-66　抢到了20元红包 3.(1)B　D　(2)-　(3)-2　(4)2 (5)-10或6 4.　2　- 5.解:(1)a+b=0,cd=1,m=±2. (2)当m=2时,原式=2+3×1+=2+3+0=5; 当m=-2时,原式=-2+3×1+=-2+3+0=1. 综上,m+3cd+的值为5或1. 6.(1)①2.44×106　②4.5×10-9 ③10-4　④8×105　⑤1.2×109 (2)8 7.65 000 000　0.000 000 605 8.(1)0.63　(2)131.0　(3)1.250×106 9.(1)±9　2　-3　(2)6　±0.9　-2 10.9　解析:∵|a-2|++(c-4)2=0,∴a-2=0,b+3=0,c-4=0,∴a=2,b=-3,c=4,∴a-b+c=2-(-3)+4=9. 11.2　解析:∵=n2+2n+1=0, ∴m+2=0,n2+2n+1=(n+1)2=0, ∴m=-2,n=-1,∴mn=-2×(-1)=2. 重点难点·一题串讲 例:解:(1)-2　1　7　(2)3　(3)4 (4)5×10-3 (5)根据题意可得-2≤x≤1, ∴原式=x+2+x-1-x-5=x-4. (6)6+t　3+t 解析:经过t秒,点A表示的数是-2-t,点C表示的数是7+t,∴BC=7+t-1=6+t,AB=1-(-2-t)=3+t. BC-AB=6+t-(3+t)=3. 河北中考·考向体验 1.B　2.A　3.B　4.A 5.A　解析:数轴上点A表示的数是,与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧.当该点在点A右侧时,表示的数为+2.当该点在点A左侧时,表示的数为-2.因此,该点表示的数为+2或-2.故选A. 6.C　解析:-6与6两点间的线段的长度=6-(-6)=12,六等分后每个等分的线段的长度=12÷6=2,∴a1,a2,a3,a4,a5表示的数分别为-4,-2,0,2,4,A.a3=0,故该选项错误;B.|-4|≠2,故该选项错误;C.-4+(-2)+0+2+4=0,故该选项正确;D.-2+4=2>0,故该选项错误.故选C. 7.D　解析:9.46×1012=9 460 000 000 000,是一个13位数.故选D. 8.C　解析:(4×102)×(4×102)=16×104=1.6×105(m2).故选C. 9.D　解析:=0.000 02=2×10-5.故选D. 10.C　解析:当t=1时,光的传播距离为1×300 000=3×105(km),则n=5;当t=10时,光的传播距离为10×300 000=3×106(km),则n=6.∵1≤t≤10,∴n可能为5或6.故选C. 11.解:(1)由题意可得Q=4m+10n. (2)当m=5×104,n=3×103时,Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. 12.C　13.2　14.2 15.四　解析:∵(a-2)2+|b+3|=0,∴a-2=0,b+3=0,∴a=2,b=-3,∴点A的坐标为(2,-3),在第四象限. 学科网（北京）股份有限公司 $