云南省昭通一中教研联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（A卷）

昭通一中教研联盟2025年秋季学期高二年级期中考试·双向细目表 数学（A卷） 题号 题型 分值 试题内容 难易程度 备注 1 单选 5 数列的通项公式 易 2 单选 5 两直线的位置关系 易 3 单选 5 轨迹问题 易 4 单选 5 圆的标准方程 易 5 单选 5 数列新定义 中 6 单选 5 抛物线的简单几何性质 中 7 单选 5 空间中的距离问题 中 8 单选 5 双曲线的几何性质 难 9 多选 6 数列综合 易 10 多选 6 空间向量 中 11 多选 6 圆 难 12 填空 5 等差数列的基本量的运算 易 13 填空 5 基底 易 14 填空 5 抛物线 难 15 解答 13 数列求通项公式 易 16 解答 15 立体几何 易 17 解答 15 抛物线，面积问题 中 18 解答 17 等差数列综合 中 19 解答 17 圆锥曲线综合 难 命题 思想 达成目标 优秀率 及格率 平均分 15% 55% 95 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2025年秋季学期高二年级期中考试 数学（A卷）参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B A C D A 【解析】 1．因为，所以，故选B． 2．直线：，：，，则，解得或1，故选C． 3．因为，，所以，则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支，故选A． 4．根据题意知圆心为，半径为，故圆方程为，故选B． 5．当时，，，，，…，无穷数列周期性变化，周期为2，所以，故选A． 6．因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性，不妨设D点在第一象限，可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选C． 7．建立如图1空间直角坐标系，则， ( 图 1 )，，故点到直线的距离，故选D． ( 图 2 )8．如图2，函数的图象的两条渐近线为和，直线为其实轴，易得：渐近线与实轴所成的角为，则，，故选A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BCD AC ABD 【解析】 9．时，，时，，综上，，所以，数列是递减数列，故A错误；，故B正确；时，，故C正确；，所以当或时，取得最大值，故D正确，故选BCD． ( 图 3 )10．以为原点建立如图3所示空间直角坐标系，则有、、、、、、、；对A：、，设直线与直线所成的角为，则，故直线与直线所成的角为，故A正确；对B：由轴平面，则平面的法向量可为，又，则，设直线与平面所成角为，则，则，故B错误；对C：、，设平面的一个法向量为，则有，取，则，设平面与平面DCB的夹角为，又平面的一个法向量为，则，故平面与平面DCB的夹角为，故C正确；对D：、、，设平面的法向量为，则有，取，则，则点到平面的距离，故D错误， 故选AC． 11． 对于A：由图可知，曲线关于轴对称，A选项正确；对于B：明显是，到原点的距离最小，最小值为，所以B正确；对于C：，，所在的圆的方程分别为，，，曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故C错误；对于D：由对称性知：Ω截直线所得弦长可由所在的圆截得的弦长加上一个矩形的长4，而所在的圆的方程为，圆心，圆心到直线的距离，截得的弦长为，则所求弦长为，故D正确，故选ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 【解析】 12．在等差数列中，，，所以， ． 13．在平行六面体中，，，， ，如图4，，则 ． ． ( 图 4 )14．［方法一］：点差法 设，则，所以，所以，取AB中点，分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，因为，，因为为AB中点，所以平行于x轴，因为，所以，则，即． ［方法二］：【最优解】焦点弦的性质 记抛物线的焦点为F，因为，则以为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质可知，所以． ［方法三］：【通性通法】暴力硬算 由题知抛物线的焦点为，设直线的方程为，代入中得，设，则，同理有，由，即．又，所以 ，得． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）由题意对任意正整数，有， 令时，，即，可得； ……………………………………（2分） 令时，，即，可得． ………………………………………………（4分） 由，猜想：． …………………………………（6分） （2）由（1）可知； 当时，由得， 则， ………………………（8分） 即，即， ………………………………………（10分） 故时，， ………………………………（12分） 且也适合上式，所以． …………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） （1）证明：不妨设，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图5，………………………………………（2分） ( 图 5 ),，，， ，， ……………………………（4分） 因为， ………………………………………（6分） 所以． ………………………………………（7分） （2）解：,， ………………………………（9分） 易知平面的一个法向量为， ………………………………（11分） 设直线与平面所成角为，则 ， ……………………………（14分） 即直线与平面所成角的正弦值为． ………………………………………………（15分） （最后一句话不写也可不扣分1分，用几何法做酌情给分） 17．（本小题满分15分） 解：（1）因为双曲线E的渐近线方程为， 所以，解得， ………………………………………（1分） 从而，即， ………………………………………（3分） 所以右焦点为，从而，解得， ………………………………（5分） 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，． ………………………………………（7分）（一个方程一分） （2）由题意直线，它过抛物线的焦点，如图6， 联立抛物线方程得，化简并整理得， …………………………………（9分） ( 图 6 )显然，， 所以， ………………………………………（11分） 点到直线的距离为， …………………………………（13分） 所以，即的面积为． ………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1），，解得， …………………………………（1分） ， 又， ， ………………………………………（3分） 即，解得或， ………………………………………（5分） 当时，； 当时，． ………………………………………（7分） （2）为等差数列， ，即， ，即， 解得或， ………………………………………（9分） ，， 又，由等差数列性质知，， 即， ………………………………………（11分） ，即，解得或（舍去）． ………………………………………（13分） 当时，，解得； …………………………………………（15分） 当时，，解得，与矛盾，无解． 综上，． ………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） 解：（1）由题可知， 直线的方程为，可化为， …………………………………………（1分） 直线的方程为，可化为， …………………………………（2分） 则两式联立得，所以椭圆方程为． …………………………………（3分） （2）①设直线的方程为，，， …………………………………（4分） 与椭圆的方程：联立消去可得：， 则，，………………………………………（6分） 所以 ， …………………………………………………（8分） 代入，可得． ………………………（10分） ②易得，直线的斜率存在．设直线的方程为，，，如图7，联立直线与圆的方程， 消去可得， ( 图 7 )则， ………………………………………（12分） 所以 ， …………………………（14分） 代入，可得． ……………………（16分） 综上，直线恒过定点． ………………………………………（17分） 答案第6页，共7页 高二数学A卷ZT参考答案·第8页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $5,设*为实数，【x]为不韬过实数的最大整数，如[277]=2[-2.77]=-3记1x= 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的选项中，有 昭通一中教研联盟2025年秋季学期高二年级期中考试 x-[x],则1x的取值范围为[0.1)，现定义无穷数列1a,如下：a1=a,当4，≠0 多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 数学(A卷) 时，：当a0时：。0，若a尽，则ae 9,数列a,1的尚n项和为5，已知8=-n+9m,则下列说法正确的是 A.{a是递增数列 A3-1 a 民ae=-10 C当n>5时，a.<0 本试卷分第【卷（速择通）和第Ⅱ卷（非这择调》两部分，第「卷第1页至第3豌， C+ 第目卷第4夏至第6页。考试姑来后，请将本试卷和答题卡一并变回。满分150分，考该 D.当m=5时，S,取得最大值 用时120分钟 6.设0为坐标原点，直线x=4与抛物线C:y2■2r(P>0)交于D。E两点，若0D10E, 10.如图2，已知正方体ABCD-4,B,C,D,的棱长为2，则以下说法正确的是 则C的焦点坐标为 人直线BC,与线cD,所成的角为号 第1卷（选择题，共58分》 尽 台 注意事项： B直线4G与平面m所成角的余弦值为 【,答题前，考生务必用累色碱素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、患位号在答 C(1.0) D(2.0) 题卡上填写清楚 7.知图I,在棱长为4的正方体ABCD-A,B,CD,中，E为BC的中点.P为D,E的中点 C平c与平国的夹角销大小为号 2.每小题选出答米后，阁2B铅笔花答题卡上对应题的的答案标号涂黑.如需登动， 则点P到直线BB,的距离为 用橡皮擦干净后，再选涂其他器常标号.在议题卷上作答无数 A.5 D点4到平面C,D的距离为2,3 3 B.3 11.如图3，点A(4,0),(2,2),C(-2,2),D(-4,0),CD是以0D为直径的圆上 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， c.22 只有一项是符合题日要求的) 一段圆弧，C是以C为直径的圆上一段圆红，AB是以AO为直径的圆上一段图基， 1.已知数列10,1的通项公式为a,=2+2n-1(neN,)。则马的值为 D.13 三段纸构成曲线，耶 A.15 B.14 C.3 D.12 2已知直线4：陆+2025=0,4：(4-3r)x+ay-1=0,若4,15，则实数a的值为 &将双南线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟委两数的闲象知反比例函数)一 A,0 B.I C.0或1 D,1或2 “双勾两数=+“带”两数=等，它们的阔象都可以由某条双前线其 3已知A(0,-5),B(0,5),动点P满足|P4-|PB=6,则点P的轨迹是 A.双曲线的一支 B.双曲线 A关于y轴对称 D.射线 的角度后，得到丽数y=√3x-的图象.则双偏线C的离衣率e的值为 4已知圆心为(-3,2)的圆与y轴相切，则该圆的标准方程是 B.?上的点到原点的距离最小值为22 (x+3)2+(y-2)2■4 B.{x+3)2+(y-2)2■9 A6+2 B.2 C.卫与x轴图成的图形的面积等于6示 C(x-3)2+(y+2)2=4 D.(x-3)+(+2)2=9 C.6+5 D.4 D.截直线y=1所得弦长为4+23 高二数学A第1具（共6到 商二教学在工，第2项（共6或 高数学A整江第3（共6到 第Ⅱ卷（非选择题，共2分） 17.(本小题满分15分) 19.(本小题满分7分) 注意事项： 已细能物线G:m(0)的熊点与双商线：看云1(>0)的有他点重合，双 如图6，在矩形ABCD中，AB=4,BC=23,E,F,G,H分别是矩形闪条边的中点， 第Ⅱ基用黑色喉素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无数 线本的渐近线方程为x+,2y=0. 设0-A0尿，可-A正，北中0<1，直线即和c0的交点人在精明L,等片1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程； (a>6>0)上. 12已知S,是等差数列a1的前m项和，=3,4=-12，则5= (2)斜率为1且纵截距为-3的直线/与抛物线C交于A,B两点，0为坐标原点，求 (1)求梯圆L的方程： I3如用4.在平行大面体ABCD-A,B,CD,中，AB=4.AD=4, △4OB的面积 (2)设R0,一，过点R且斜率存在的动直线与葡圆交于从，N两点，直线 H,=6,∠BD=LB4,=∠DM,=号期4C,的长为 14已知点是斗和抛物线：广=6，过C的焦放且斜率为 。分别交国从：+)一号于5,1荷点，设直线仙，c心的斜半分别为 k, 的直线与C交于A,B两点.若LAWB=牙，则k= ①求证：k,·与为定值： ②直线ST是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由， 四、解答题（共T7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 记数列a,的前n项和为S,对任意正整数M,有2S=m,且1=2 (1)求41和马的值，并猜想a,的通项公式： (2)证明第(1)问猜想的通项公式. 18(本小题满分17分) 设等差数列a,的公差为山令6，=”，记S,T分别为数列1日，，6，的前n 项和 (1)若3如：=2a,S+T,=21,求0，的通项公式： 16(本小题满分15分) (2)若0<d<1,且6|为等差数列.且Tm-S=99.求d 如图5，在直棱柱ABC-A,B,C,中，BC=AB=AM,·∠ABC=0°，M是B,C,的中点， N是AC的中点 (1)正明：BA⊥AC,: (2)求直线N与平面BCCB,所成角的正弦值 高二数学A垂打·第4具〔共6到 商二教学在工，第5项（共6或 高数学A是江第6到（共6到