2.1认识一元二次方程 课件 2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念及一般形式，课堂导入通过复习方程、一元一次方程的定义与辨析，结合“元”“次”概念的回顾，搭建从一次方程到二次方程的认知支架，引导学生从实际问题中抽象出方程模型。 其亮点在于以问题驱动探究，通过矩形地毯铺设、梯子滑动等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，议一议环节通过化简方程归纳共同特点，发展推理意识。采用实例探究与典例辨析结合的教学方法，课堂小结清晰梳理概念与一般形式，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学方案，提升教学效率。

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第 1 课时 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型． 2．理解一元二次方程及其相关概念． 一、学习目标 【教学目标】 1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型． 2．理解一元二次方程及其相关概念． 1．什么是方程？什么是一元一次方程？ 二、复习引入 答：含有未知数的等式叫做方程．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫做一元一次方程．通常标准形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）． 【复习引入】 师生活动：教师提出问题，学生完成解答． 设计意图：通过复习方程和一元一次方程的概念为下面学习一元二次方程的概念作知识准备． 3 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 解：（1）（4）． 二、复习引入 2．指出下列方程哪些是一元一次方程？ （1）3x+4=1； （2）6x-5y=7； （3） ； （4） ； （5）x2-70x+825=0； （6） ； （7）x(x+5)=150； （8） ． 师生活动：教师提出问题，学生完成解答． 4 二、复习引入 答：“元”是指方程中含有的未知数； “次”是指方程中含有的未知数的次数． 3．什么是“元”？什么是“次”？ 师生活动：教师提出问题，学生完成解答． 设计意图：通过复习方程和一元一次方程的概念为下面学习一元二次方程的概念作知识准备． 5 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 想一想 1．幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，那么这个宽度应是多少米？ 如果设这个宽度为x m，那么你能列出怎样的方程？ 答： (8-2x)(5-2x)=18． 三、探究新知 【探究新知】 师生活动：教师出示问题，引导学生只列方程，不解方程． 6 2．观察等式：102+112+122=132+142．你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数呢？根据题意，你能列出怎样的方程？ 答：x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2． 三、探究新知 师生活动：教师出示问题，引导学生只列方程，不解方程． 7 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 3．如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？如果设梯子底端滑动x m，你能列出怎样的方程？ 答：(x+6)2+72=102． 三、探究新知 师生活动：教师出示问题，引导学生只列方程，不解方程． 设计意图：对于具体问题情境的选择，既注意了力求贴近学生的生活实际，又关注了数学本身的要求，让学生体会一元二次方程是数学内部发展和实际问题解决的必然结果。感受到研究一元二次方程是现实生活的需要，进一步提高学生学习的积极性． 8 议一议 ： 方程(8-2x)(5-2x)=18，x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2及 (x+6)2+72=102有什么共同特点呢？ 答：方程(8-2x)(5-2x)=18可化为2x2-13x+11=0， x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2可化为x2-8x-20=0， 方程(x+6)2+72=102可化为x2+12x-15=0． 三、探究新知 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师引导学生先将上述方程化简，然后再观察、讨论它们的共同特点． 设计意图：旨在通过对三个方程共性的分析，抽象出一元二次方程的概念。教学中，应先引导学生根据已有的方程知识和经验，将上述三个方程进行化简，并整理成一般形式；然后让学生对整理后的方程进行观察与思考。本部分由特殊例子出发，由特殊到一般探索出一元二次方程的定义及其相关概念． 9 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 共同特点是： （1）都只含有一个未知数x； （2）都可化为ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)； （3）未知数的最高次数都是2； （4）等号两边都是整式． 归纳：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且 未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 三、探究新知 教师归纳． 10 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 其中ax2是二次项，a是二次项系数； bx是一次项，b是一次项系数； c是常数项． 三、探究新知 设计意图：由特殊例子出发，由特殊到一般探索出一元二次方程的定义及其相关概念． 11 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 解：（2）是一元二次方程； （1）（3）（4）不是一元二次方程； （1）是一元一次方程， （3）是分式方程， （4）是二元二次方程． 四、典例精析 例1 下列方程中哪些是一元二次方程？为什么？ （1）3x+2=5x-3；（2）4y2=5y；（3） ； （4）x2+y=2． 【典例精析】 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答． 设计意图：加深对一元二次方程概念的理解． 12 例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）x2=0； （2）4x+1=x2； （3）2x2= -3x+1；（4）x(x+3)= -2． 解：（1）x2=0化为一元二次方程的一般形式仍为x2=0； （2）移项，得一元二次方程的一般形式为x2-4x-1=0； 四、典例精析 （3）移项，得一元二次方程的一般形式为2x2+3x-1=0； （4）去括号，移项，得一元二次方程的一般形式为x2+3x+2=0． 师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表板演，讲解出现的问题． 13 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 方程 二次项系数 一次项系数 常数项 x2=0 1 0 0 4x+1=x2 1 -4 -1 2x2= -3x+1 2 3 -1 x(x+3)= -2 1 3 2 四、典例精析 设计意图：加深对一元二次方程概念的理解． 14 A 五、课堂练习 1．下列关于x的方程： （1）(m-3)x2- -2=0； （2）k2x+5k+6=0； （3） ；（4） ． 其中是一元二次方程的个数是（ 　 ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【课堂练习】 师生活动：教师找学生代表回答，讲解出现的问题． 15 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 2．下列关于x的方程中，一元二次方程的个数有（ ）． ① ； ② ； ③ kx2-3x+1=0； ④ x2-x2(x2+1)-3=0； ⑤ (k+3)x2-3kx+2k-1=0． A．0 B．1 C．2 D．3 B 五、课堂练习 3．将方程2x2=1-3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）． A．2，1，-3 B．2，3，-1 C．2，3，1 D．2，1，3 B 五、课堂练习 师生活动：教师找学生代表回答，讲解出现的问题． 17 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 4．将方程(x-1)(x+3)=12化为ax2+bx+c=0的形式后， a，b，c的值分别为（ ）． A．1，-2，-15 B．1，-2，-15 C．1，2，-15 D．-1，2，-15 C 5．若方程 是一元二次方程， 则m=______． 4 五、课堂练习 师生活动：教师找学生代表回答，讲解出现的问题． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 18 答：方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式为 5x2+36x-32=0．其中二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为-32． 6．把方程(3x+2)2=4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 五、课堂练习 师生活动：教师找学生代表回答，讲解出现的问题． 19 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 答：（1）∵ k2－1≠0 ∴k ≠±1； （2）∵k2－1=0且k+1≠0 ∴k＝1． 7．已知关于x的方程 (k2-1)x2+2(k+1)x+3(k-1)=0 （1）当k为何值时，方程 (k2-1)x2+2(k+1)x+3(k-1)=0 是关于x的一元二次方程． （2）当k为何值时，方程 (k2-1)x2+2(k+1)x+3(k-1)=0 是关于x的一元一次方程． 五、课堂练习 师生活动：教师找学生代表回答，讲解出现的问题． 20 　　本节课我们主要学习了： 　　1．一元二次方程的概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程． 　　2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)．其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 六、课堂小结 【课堂小结】 师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容． 设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 21 海伦公式的教学重点应该放在如何拼接上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过代数思想的学习，可以培养学生的几何化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握等比数列的关键在于理解如何复习，这是解决相关问题的基本功。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握一元二次方程的关键在于理解如何实验，这是解决相关问题的基本功。 再 见 $