山东省青岛市即墨区第一中学2025-2026学年高三上学期数学周测4

高三数学周测4 一、单选题 1.已知集合A={xeZk2-3≤0}，B={红，2}，则AUB=（) A. B.{-2,-1,01,2}C.{-2,-1,1,2 D.{-1,0,1,2} 2.已知复数z满足(1-i)z=21,则z的虚部为() A.i B.-i C.1 D.-1 3.已知平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0),园=1，则2a+=（) A.√21 B.2W5 C.4 D.12 4.若mge则cg2a（) A. c. D.-2 5.设等比数列{a}的各项均为正数，其前n项和为Sn,则S,+S>2S。”是数列{a}是递增数 列”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知圆台的上下底面半径之比为1：2，它的内切球（与圆台的上下底面以及每条母线都相 切的球)表面积为4π；则该圆台的体积为() A.牙 B. C.3π D. 10元 3 7.函数f()血-3x所有零点的和等于（) A.6 B.7.5 C.9 D.12 8.已知数列a}a满足4=3，a4-a=2,4b,=(←1)（二+），若数列，的前n项和为7，不等 a.a 式3江<3-5)(n∈N)恒成立，则的取值范围为() A.(0+回 B.+ c. D.3 二、多选题 9.等差数列{a}中，4>0，则下列命题正确的是（) A.若a+a2=4,则S。=18 试卷第1页，共4页 B.若S>0,S6<0,则a>ag C.若4+a=5,4+a4=9,则a+a=17 D.若a=S0,则S>0,S。<0 10.如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,且DC=2AB=2AD=4,O为BD的中点，沿BD将 △ABD翻折，使得点A到达A'的位置，构成三棱锥A'-BCD(如图2)，则() D< 图1 图2 A.在翻折过程中，AD与BC可能垂直 B.在翻折过程中，二面角4-5C-D的最大值为君 C.当三棱锥-BCD体积最大时，AD与CO所成角大于兮 D.点P在平面D内，且直线PC与直线BC所成角为云，若点P的轨迹是椭园或园，则 三棱锥A-BCD的体积的取值范围是 √325 3’3 11.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=C,则下列说法正 确的有() A.f(2x)=2f(x)g(x) B.「g(x)]-[f(x)]=-1 C若-2+g2>0,则>号 D.方程f(x)=m有两个不相等的实数根，则>1 三、填空题 12.设实数a>0,函数f()=10+口为奇函数，则f(lg3) 10*-a 13.已知数列{a}的所有项均为正整数，a= ,当a,为偶数 若a=1,则a所有可能的值 a+1,当a为奇数 为 试卷第2页，共4页 14.已知函数=21，若正数m,加满足ff仙)-山，则如+片的最小值为 四、解答题 15.VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 bcosC=ac-2 ccosB, (1)求c; (2)若D为AB中点，CD=√2，∠ACB=60°，求VABC的面积 16.已知数列{a}的前n项和为S,4=2,且满足(n-2)Sn=nSn1-a(n≥2) (I)求数列{a}的通项公式； ②已知函数f倒L+1+六，求f0 1a2 a 17.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD=2AB=2BC=2,点P在底面的 射影点Q在线段AC上 (I)过A作AH⊥PC,H为垂足，证明：AH⊥面PCD: (2)若PA=PD=2,证明：AQ=DQ,并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值 试卷第3页，共4页 18.已知数列{a,}的前n项和为S,8=心+3”，数列}的各项均为正数，且 2 b=2,2b2-(bn1-2)b.-b1=0 (1)求数列{a},b}的通项公式： ab. n为奇数 (2)设cn=(2-3n)b. n为偶数’求数列c,}的前2n项和1. (3)若对于任意的neN,不等式a.-(a,-1)(n+2)-6<0恒成立.求实数的取值范围. 19.已知函数f(x)=lnx-x+2,e为自然对数的底数 ()若此函数的图象与直线x=}交于点卫，求该曲线在点P处的切线方程： (2)若h(x)=a2+(a-3)e-f(e)+2有两个零点，求实数a的取值范围： 3)当<e时，(1+ae2-af(y≤xe2-l,求实数a的取值范围. 试卷第4页，共4页 《高三数学周测4》参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 7 6 9 10 答案 D O A D ACD ABD 题号 11 答案 BCD 15.1)因为2 bcosC=ac-2 c cos B,由正弦定理可得2 sin B cosC=csinA-2 cosBsinC,则2sin(B+C)=csinA, 所以2sinA=csinA,因为在VABC中，simA>0,所以c=2. (2)因为∠ACB=60,所以cos∠ACB=号，由2bc0sC=c-2x6sB及c=2得6=2a4csB 在△BCD中，利用余弦定理得coB=BC+BD-CD_+12,所以b=2a-4cosB=2a-4+1-22 2BC.BD 2a 2a a 所以ab=2,所以vABC的面积为)abin∠ACB=×2xY5- 2 2 22 16.（1)因为(n-2)Sn=nSn-1-an,a.=Sn-S1,所以当n≥2时，(n-2)Sn=nS1-Sn+Sn1,化简得 加小成-a-及所拟*及-受受转风=4代人得 8.=234n+12x”0+少-n+1）,所以当≥2时，a,=3-31=nm+1）-nm-1)=2n. 12n-1 2 当n=1时，4=2符合上式，所以数列{a}的通项公式为a.=2n. 肉为倒台中品立，求与相了倒安+号一 2nn+1 所以 m-品品女4好品}日e 17.(1)连接PQ,PQL平面ABCD,所以PO⊥CD.在△ACD中， AC2=AD2+CD2-2AD.CD.coS∠ADC=5-4cos∠ADC.同理，在VABC中，有AC2=2-2coS∠ABC 1 又因为∠A8C+∠ADC=180°，所以cs∠ADC=7,所以∠ADC=60°，AC=V5,故AC2+CD=AD,即 AC⊥CD.又因为PQ∩AC=Q,PQ,ACc平面PAC,所以CD⊥平面PAC.因为CDc平面PCD,所以平 面PCD⊥平面PAC.因为H∈AC,ACc平面PAC,则H∈平面PAC,又因为A∈平面PAC, 所以AHc平面PAC,又因为平面PCD∩平面PAC=PC,AH⊥PC,平面PCD⊥平面PAC, 所以AH⊥平面PCD. (2)连接BD,因为PQL平面ABCD,DOC面ABCD,所以DO L PO,由勾股定理得DO=√PD2-PQ2, 答案第1页，共4页 同理可得AQ⊥PQ,即AQ=√PA2-PQ2,因为PA=PD=2,所以AQ=DQ,故2为AC,BD的交点，且 由平行线性质狗号品=2.有到40号4c29点.放P04025.过C作直线0的平 3 3 3 行线l,则1，AC,CD两两垂直，如图，以C为原点建立如图所示空间直角坐标系， B 则DI,00),P526 33 设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),则 m.CD=x=0 m:96:2v2=0 令z=1,解得x=0,y=-2W2,故m=(0,-2W2,1), 元AP-25+2v6 设平面PAB的法向量为n=(x,y,),则 320 m9-2 ,令x=6, -z=0 -V+ 3 解得y=-√2，三=-1，故i=（V6,-V2,-1,设平面PAB与平面PCD所成角为6， 则cos6= 流列 4-1 1 网同-22驴+1x√-√2+66°干13，放平面P1B与平面2cD所成角的余弦值为 18.1)因为数列a}的前n项和为S=心十3，当n=1时，4=S=1+3=2, 2 2 (n-1)2+3(n-1 2 =nH,a=2也满足上式，所以a。=n+1: 因为2b-(bn1-2)b-b1=0,所以（亿n+1X2b-b1)=0,由数列b}的各项均为正数得2b,-b1=0,即 b1=2b,又b=2,所以数列b}为首项为2且公比为2的等比数列，所以b,=2x2”1=2”: (2)当n为奇数时，Cn=4,·bn=+):2,记A,=C+C3+Cs+…+Cm1,则有 A=2×2+4×2+6×2+…+(2)×22m-1①，4A=2×2+4×2+…+(2n-2)×22-1+(2m×22m+1②， 答案第2页，共4页 ①-@得：-3A,=4+2×(22+25+2++2)）-(20)×221=4+2×8-2 -(2n水22m,所以 1-4 A-青+1204×4，当u为偶数时，c,-2-30血-23222 99 an-1'a4+1 na+2）ni+2,记B,=c+6+c。++c, 则信信借 22m+2 22 22n+2 220H -2 2n+22 n+1 所以2.-+8-品12g42 9 n+1 (3)由4=n+1与-(a-1)(n+2)-6<0恒成立，可得n(n+1)-n(n+2)-6<0恒成立， 所以2>心+n6恒成立，即求心+”-6的最大值，设f0侧=心+”6=1-+6 n2+2n n2+2n n2+2n n(n+2)' f0n+)-f⑩= a*0+)nm+2)n++2+>0,所以单调递增，又t6>0,所 n+7 n+6 2+13n+18 (n+2) 以f00=1-n+6 <1,所以≥1. n(n+2) 190)fw1,所以日1，又日=2=1日 ee e 所以该自线在点P处的切线方程为-月c-):),即y=e-: e (2)因为f(x)=lnx-x+2,f(e*)=lne-e+2=x-e+2, h(x)=ae2x+(a-3)e-（x-e+2)+2=ae2x+(a-2)e-x, 令e*=t(t>0),则x=lnt,所以g(t)=at2+(a-2)t-lnt, 题意可转化为g(t)=at2+(a-2)t-lnt有两个零点， g'0=2m+a-2-12m+a-2r-12+1)@-1), t t 当t>0时，2t+1>0, 若a≤0，则at-1≤0，则g'(t)<0,所以g(t)在(0，+o)上单调递减， 所以g(t)在(0，+o)上至多一个零点，故不成立： 若a>0,令g0=0可得1=， 令g(0<0可得0<1<1，令g0)>0可得1>1 答案第3页，共4页 所以g0在Q月上单调进减，在[口)上单调滋湖， 1 当t趋近0时，g(t)趋近正无穷，当t趋近正无穷时，g(t)趋近正无穷， 所以要使g(t)=t2+(a-2)t-lht有两个零点， 则g-8日k0.即s合)-a[日+(a-2-ha1aha<0 令m(a)=1-二+lna(a>0),则m(a)在(0，+o)上单调递增， 又因为m(1)=0,所以由(a)<0可得0<a<1. 故实数a的取值范围为：0<a<1. (3)不等式-ae-a≤e-1可整理为-aegh产1s0, 令p0言，p号，所以当cQ).P>0,P年调适指 当x∈A,+w),p'(x)<0,p(x)单调递减，所以p(x)≤p(I)=e,又x>e-2, 所gs4言ead小，则a=d占令c0)eaeD, wo-naaaw-asaag 则0w=2141-2nx-+ 令q=2hx-x+1，(x∈0，e, 则g)=21-上-x1)<0,《∈Q,e,所以q(田单调递减，q)<q=0, xX- x2 所以)<0,5（单调递减，s(9)<s0=0,所以血<红-xe0,eD, 血02a-,)=11 所以1>x 血+x-少下所以(y单调递减，)≥g=1- e-1 所以as1- e-1 答案第4页，共4页