广东省领航高中联盟2025-2026学年高二上学期12月检测考试数学试题

绝密★启用前 广东省2025一2026学年领航高中联盟12月高二检测考试 数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第三章第二节。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的： 士=1的离心率为 1.双曲线48 A.2 B.3 C.√2 D.√3 2.过点(-1,0)的直线1的倾斜角为3，则1在y轴上的截距为 A.√3 B.-√3 ·3 D.、3 3 3.在空间直角坐标系O-xyz中，已知A(1,1,0),B(2,-1,1),若点C与点B关于平面yOz对称，则 AC= A.（-3,-2,1) B.（3,2,-1) C.(1,-1,1) D.(-1,1,-1)》 椭圆C:+1b>0仅经过P(2,3),P2,-3),P(-2,3)中的一-个点，则C的短 A.2 B.4 C.√6 D.26 5.已知直线l1:x+my-2m=0与直线l2:mx-y+m-3=0交于点P,则 A.点P为定点 B.直线l,可能同时经过第三、四象限 C.直线l,可能不经过第三象限 D.存在定点Q,使得PQ为定值 广东·高二数学第1页（共4页） 6.若直线y=ax(a>0)与圆C1:(x-2)2+y2=2及圆C2:(x-5)2+y2=5共有2个公共点，则a的取值范 围是 A0, B.( c分 D.（1,4) 7.已知三棱锥P-ABC的体积为5，△BCP是边长为4的正三角形，点D为PB的中点，点Q满足 A0=2xAD+yA元+(a-x)A正，且x+y+z=1,则Ad1的最小值为 4.53 5 B. c.53 .53 .16 12 4 12 ,x2y2 8.已知双曲线C: =1(a>1),C的右支上存在两点A,B,使得线段AB的中点是M(3Ja,-√a). a a-1 若过C的右焦点F且垂直于x轴的直线与C的右支分别交于点P,Q,则|PQ的取值范围是 c(o.a) D./14 14,+o∞ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知曲线E:mx2+ny2=1,则 A.E可能是椭圆 B.E不可能是双曲线 C.E不可能是圆 D.E可能是两条直线 10.下列结论正确的是 A.若{a,b,c}为空间的一组基底，则a-b,b-c,c-a也能构成空间的一组基底 B.若{a,b,c}为空间的一组基底，则不存在入，∈R,使得c=Aa+b C.若a为直线l的一个方向向量，n为平面a的法向量，则an台l⊥ D.若a=(2,0,3),b=(1,3,m),则对任意实数m,a,b不共线 11.已知点P(xo,yo),圆0：x2+y=r(r>0),定义直线l:xx+yoy=r2为点P的“伴随线”，则下列结论 正确的有 A.若点P在圆O上，则点P的“伴随线”1与圆O相切 B.若点P在圆O外，过点P作两直线与圆O分别相切于点A,B,则直线AB为点P的“伴随线” C.若点P在圆O内，则点P的“伴随线”1与圆O相交 D.若点P1,P2在圆O上，它们的“伴随线”分别为l1,l2,且11，l2垂直，则PP2=√2 广东·高二数学第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在空间直角坐标系O-yz中，点M(2√2，-2,1)到y轴的距离为 3.已知椭圆C+1,点AO,),B1,),若点P是C上动点，则PA+PB的最大值为 14.已知0≤m≤4，则m+2的取值范围是 √/4-m-4 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知直线1，：ay-1=0与x轴交于点A2,0 ,原点为0. (1)若直线2过点0，且与平行，求2的一般方程； （2)若圆C过点0，B(-2,0)两点且与1，相切，求圆C的标准方程. 16.(15分)已知F(-3,0),F2(3,0),动点P满足PF-PF2=4,点P的轨迹为C. (1)求C的方程； (2)若点M在C上，且MF,⊥MF,求△MF,F,的面积 17.（15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD/BC,PA⊥AB,PA=AD=1,PB=BD=√5，点 E为PC的中点，BE=2PC, (1)证明：平面PAB⊥平面PBC; (2)若BC=3,求直线BE与平面PCD所成角的正弦值. A B 广东·高二数学第3页（共4页） 18.（17分)如图，在三棱柱ABC-PQR中，点D为AB的中点，记AB=a,AC=b,AP=c. (1)用a,b,c表示DR; (2)若三棱锥P-ABC是棱长为2的正四面体，求DR|; (3)若三棱锥P-AC是正三棱锥，且异面直线DR与AC所成角的余弦值大于)，求c(a,c)的 取值范围. D t 19.(17分)已知椭圆C:,+ go>>0经过点M2.0且C气圆D。的腳客野方2 和为 (1)求C的方程； (2)已知N(-2,0),过点C的右焦点且斜率不为0的直线与C交于点A,B. (i)若A,B分别在第一、四象限，求四边形AMBN面积S的取值范围； (ii)若直线AN,BM的倾斜角分别为a,B,且sin(a+B)=4 cos acos B,求直线AN与直线BM 的交点Q到直线AB的距离 广东·高二数学第4页（共4页）广东省2025一2026学年领航高中联盟12月高二检测考试 数学参考答案及评分细则 1.【答案D 【解行1风线号 =1中a=2,6=22,==25,所以离心率e=二=25=5.故选D. a 2 2.【答案】B 【解折1由题知1的斜率为m行-厅，所以1的方程为=-5(+1).令x=0,得y=-.放选B 3.【答案】A 【解析】由点C与点B关于平面0z对称，得C(-2,-1,1),所以AC=(-3,-2,1).故选A. 4.【答案】B 【解析】因为P,P2关于x轴对称，C也关于x轴对称，所以P,P2要么都在C上，要么都不在C上，所以C经过 B,代人得23 令+行=1，b=2,所以C的短轴长为2b=4.故选B. 5.【答案】D 【解析】点P随m的变化而变动，故A错误：直线l1的方程可化为x+m(y-2)=0,该直线经过点A(0,2),不可能 同时经过第三、四象限，故B错误；直线2的方程可化为m(x+1)-(y+3)=0,该直线经过点B(-1,-3),点B在 第三象限，故C错误；易得AP1BP,取AB的中点Q,则|PQ=)AB为定值，故D正确，故选D. 6.【答案】C √a2+1 【解析】直线y=ax(a>0)与C,C2共有2个公共点，则该直线与C,相交，与C2相离，所以 5a 5, Va +1 a<1.故选C 7.【答案】C 【解析】如图，由点D为PB的中点，可得AB+AP=2A,所以Ad=2xAd+yAC+(2-x)A币=xA店+yAC+:A正.因为 +:=1,所以点Q在平面BCP内，d的最小值就是三棱锥A-BCP的高A,由V袋+o=V我c,得}： 4=5得=55 454故选C. 8.【答案】D 【解析】设A(x1,y),B(x22),由线段AB的中点为M(3a,-√a),则x≠x号且x+x2=6a,y1+y2=-2a.因为 名1，至名-1，两式相减整理得，，即.2-所以303所以直 a a-1 ’aa-1 x-x2x+x2 ax-x2 6a a x1-x2 a 广东·高二数学第1页（共6页） 线仙的斜率为3一3因为直线B与C的右支有2个文点，所以33。口三，】 ,厅3,8把t=3a 号1，科=V,所以->-8，解得a>号综上得>号02=26月流a的 a 塔大而增大.又当a=时，2清22） 74 14 .故选D. 9.【答案】AD(每选对1个得3分) 【解析】当m=2,n=1时，E为椭圆，故A正确：当m=l,n=-1时，E为双曲线，故B错误：当m=n=1时，E为圆， 故C错误；当m=1,n=0时，E为两条直线x=±1，故D正确.故选AD. 10.【答案】BCD(每选对1个得2分) 【解析】因为a-b+b-c+c-a=0,所以a-b,b-c,c-a共面，不能构成空间的基底，故A错误：若存在入∈R,使得 场则a,b,c共面，不满足题意故B正确：易得C正确：因为二≠气，所以对任意实数m,“,b不 D正确.故选BCD. 11.【答案】ABD(每选对1个得2分) 【解析】当点P在圆0上时，x+y=r2,圆心O到1的距离d= 三=r,故A正确；设A(x1,y1),B(x2,y2),则圆 +y 0在点A,B处的切线方程分别为x1x+yy=r2,xx+y2y=2.因为点P在这两条切线上，所以x1xo+yyo=r2,x2x+ y2。=r2,所以点A(x1y),B(x2,为2)都在直线xx+y3=2上，所以直线AB的方程为xx+yy=2,故B正确：当 点P在圆0内时，x后+y<r2,圆心0到1的距离d= >r,“伴随线”1与圆0不相交，故C错误：设 √x品ty P(33),P2(x4,y),易知l:xx+yy=r2,2x4x+yay=r2,因为l1,b垂直，所以x3x4+yy4=0,所以0P·0P= x3x+yy=0,OP1⊥OP2,所以|PP2=√2r,故D正确.故选ABD. 12.【答案】3 【解析】点M(22,-2,1)到y轴的距离为W(22)2+12=3. 13.【答案】4+5 【解析】由题知，A是C的上焦点，设C的下焦点为F,则|PA+|PB|=|PB|-|PF+4≤|BF|+4=4+√5，当且仅 当点P为BF延长线与C的交点时取等号. 14答米刘可小 【解析1设=4-m,y=m,则+y=4(x≥0，y≥0)，瓜+2表示圆弧+y=4(x≥0，y≥0)上的点与点 4-m-4 ②连线的斜率，连线过(2,0)，(0,2)时斜率最大为-，连线与圆弧相时斜率最小为，所以m+名 4 4-m-4 取位范周是子小 【评分细则】 、4题答案用集合或不等式3≤一4下 ≤-1表示也正确 广东·高二数学第2页（共6页） 15解：(1)把420代人a1=0.得a=2.(2分) 所以直线l,的斜率k,=2,直线l,:2x-y-1=0.(3分) 因为2，所以3的斜率2=2，(5分) 所以l2的方程为y=2x,即2x-y=0.(7分) (2)解法一：设圆C的标准方程为(x-m)2+(y-n)2=r2(r>0), m2+n2=r2, 由题意可得 （-2-m)2+n2=f(9分) 12m-n-1| =r, 5 m=-1, rm=-1, 1 解得n=2,或 =-2'(12分) =5, 5 r= 2 所以圆C的方程为4-25或a+户时-(5分) 解法二：因为圆C过原点O,B(-2,0), 所以点C在线段OB的垂直平分线x=-1上，(8分) 设圆C的方程为(x+1)2+(y-b)2=r2(r>0), 由圆C过点0，得2=+1，(10分) 由圆C与1，相切，得b+3到=，即2+66+9=562+5， 整理得2沙-36-2=0，解得6=2或6=(12分) 当6=2时.5，当6=2时，=子 4 所以C衡方程为e户(-2=5或+1少-（5分 【评分细则】 1.第(1)小题2的方程不写成一般式扣1分，第(2)小题圆的方程不写成标准方程扣1分： 2.第(2)小题解法一中，解方程组，解对一组给1分，解对两组给3分： 3.如用其他解法，若正确，也给满分。 16.解：(1)由双曲线的定义及|PF,-|PF2|=4<6=|F,F2|,可得点P的轨迹C是焦点在x轴上的双曲线，(2分) 设其标准方程为号茶=1(o>0.6o0》. 则2a=4,a=2,a2+b2=32,b=5,(6分) 所以C的方程为号苦-1(？分) (2)设MF,=m,MF,=n. 由双曲线的定义得|m-n=4,(9分) 因为MF1⊥MF2,所以m2+n2=|F,F2P=36,(11分) 所以△MF,F,的面积为2mn= 1(m2+n2)-(m-n)2_36-16=5.(15分) 4 4 【评分细则】 如用其他解法，若正确，也给满分 广东·高二数学第3页（共6页） 17.(1)证明：由PA=AD,PB=BD,AB=AB 可得△ABD≌△ABP,∠PAB=∠DAB,(1分) 因为PA⊥AB,所以AD⊥AB,(2分) 又ADBC,所以AB⊥BC.(3分) 因为点E为心的中点，5=心 所以PB⊥BC.(4分) 因为AB∩PB=B,AB,PBC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,(6分) 又BCC平面PBC, 所以平面PAB⊥平面PBC.(7分) (2)解：由(1)知，BC⊥平面PAB,AD∥BC,所以AD⊥平面PAB, 因为PAC平面PAB,所以AD⊥PA, 所以AB,AD,AP两两垂直 以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，(8分) 则B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),C(2,3,0), 所以1，号成(1，号)(9分) D°=(0，-1,1)，D元=(2,2,0)，(10分) 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,),则 ·币=0即=0，(1分) n.D元=0,2x+2y=0, 取z=1,得n=(-1,1,1),(12分) 设直线BE与平面PCD所成角为6，则sin0= 1B3-4 7 .(14分) BE V2*3 所以直线E与平面PD所成角的正弦值为严（(15分) 【评分细则】 1.第(I)小题证明BC⊥平面PAB时不写ABOPB=B扣1分； 2.若手写向量不加箭头，无论有多少处只扣1分： 3.如用其他解法，若正确，也给满分。 18解：(1)DC=-=b之，(2分) 成=Dc+d=Dc+=ba+e.(4分) 广东·高二数学第4页（共6页）》 (2)因为三棱锥P-ABC是棱长为2的正四面体， 所以|a=b|=|c|=2,a·b=a·c=b·c=2×2×cos60°=2.(5分) 因为成=6c,6分) 所以-√02ac=+好a*e2-a6-a·c+2bc 1 =√4+1+4-2-2+4=3.(8分)） (3)由三棱锥P-ABC是正三棱锥，设|a=x,c|=y,则|b=x, 则cs(a,c〉=c0s(b,c=是，(9分) 则a.b=X2cs60°=2，a:c=b·c=y‘22.(10分 2 因为D派=b2a+c, 所以顾-bo=6ca6ae+2h 成.花-6宁b=606be字宁=寻.(4分》) 设异面直线DR与AC所成的角为O, 5 |D尿.A元 则cos0= 4t1 2,(15分) D派1cx+· 解得之⑤ ,(16分) 2y10 所以cos(a,c)的取值范围是 1.(17分) 10 【评分细则】 1.第(3)小题cos(a,c)的取值范围用不等式表示，只要结果正确不扣分； 2.如用其他解法，若正确，也给满分 19.解：(1)由椭圆C经过点M,得a=2,(1分)》 4-b26-47 由C,D的离心率平方之和为2得，462：(2分) 解得2=3.(3分) 所以C的方程为4与=1.(4分) (2)设A(x1,y),B(x2,2),直线AB的方程为x=my+1, 与=1联立得(3m2+4)y2+6my-9=0,且△>0，(5分) 43 6m 9 所以+=3m产+4：=3nm+4(6分） 广东·高二数学第5页（共6页）】 ()因为A,B分别在第一、四象限， 6m2 所以，=m(t)+2>0, +2>0, 3m2+4 xx2=(my1+1)(my2+1)>0, 9m26m2 (3m2+43m+4l>0, 解得m<宁(7分) 四边形AWBv的面积S=宁Nl:=2G-4 6m} 3n+4,(9分) 24√m2+1 =23m2+4 25 设1=m+,则1≤1<3， 24t 则S 24/1631 312+1 31+- 所以s的取值范围是656 5,6(10分) (由3n=3n4得0.(1分) 6m 9 y 所以mg-+2--2》m-.m（12分) tan B y2 y2(x1+2)y2(my1+3)myiy2+3y2 x2-2 2(%+)y 13 2+221 3 393,(13分) 2(0t)+3y:2+之 由题知cos acos B≠0，由sin(a+B)=sin acos B+cos asin B=4 cos ceos B, 得tan a+tan B=4,(14分) 与ana.1」 与n合亏联立得ana=1,amB=3,(15分) 所以直线AN,BM的方程分别为y=x+2,y=3(x-2), 两式联立得Q(4,6),(16分) 直线+2与片号1联立得号另引。 x2 Y2 代入x=my+1,求得直线AB的方程为4x+3y-4=0, 所以点Q到直线AB的距离为16+18-4=6.(17分) 5 广东·高二数学第6页（共6页）