锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练-2025-2026学年 人教版九年级数学下册

锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形 专项训练 考点目录 锐角三角函数的定义 网格中的三角函数计算 特殊角的三角函数值 解三角形 考点一 锐角三角函数的定义 例1．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·湖南常德·期中）在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在Rt中，，于点，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在中，，那么下列锐角三角比中，正确的是（   ） A． B． C． D． 考点二 网格中的三角函数计算 例1．（2025·甘肃陇南·模拟预测）如图，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，由6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，都在格点上，则的值是（　　） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若的三个顶点都在网格的格点上，则的值为 ． 例4．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 ． 变式1．（2024·广东东莞·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值是（    ） A． B． C． D．2 变式2．（25-26九年级上·山东淄博·期中）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则的值为 ． 变式4．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点A，B，C是正方形网格中的格点，则的值为 ． 考点三 特殊角的三角函数值 例1．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．（2025·天津·一模）下列等式成立的是（    ） A．． B．． C．． D．． 例3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）计算 ． 例4．（25-26九年级上·湖南常德·期中）已知：，则锐角 ． 例5．（25-26九年级上·上海·月考）计算：． 例6．（24-25九年级上·江苏苏州·月考）计算：． 变式1．（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 变式2．（2025·天津南开·三模）下列各式的值等于的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）计算 结果是 ． 变式4．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考） ． 变式5．（24-25九年级上·山西太原·月考）计算：． 变式6．（25-26九年级上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2)． 考点四 解三角形 例1．（25-26九年级上·北京平谷·期中）在中，，为锐角且，．求的长． 例2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，求边的长． 例3．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，是的中线，，，．求： (1)的长； (2)的余弦值． 例4．（25-26九年级上·山西晋城·期中）如图，在中，，，． (1)求斜边的长． (2)求边的长． (3)求的值． 变式1．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，在中，，，，．求的长和的值． 变式2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，垂足为．若，，求： (1)的值； (2)的长． 变式3．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，，垂足是D． (1)如果，，求的长； (2)如果，求的正切值． 变式4．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点D、E分别是的边和的中点，连接、交于点G，连接， (1)求的值； (2)如果，，，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形 专项训练 考点目录 锐角三角函数的定义 网格中的三角函数计算 特殊角的三角函数值 解三角形 考点一 锐角三角函数的定义 例1.(25-26九年级上山东淄博期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D,则下列 结论不正确的是() D A.tand=AD B.sind=BD BC C.cosB=BC D.sin A=cos B CD B 【答案】A 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90,CD⊥AB, ∠A=∠DCB=90°-∠ACD,∠B=∠ACD=90°-∠BCD, A.tanA=CD ,故A选项错误，符合题意； AD B.因为4=DC8,所以血A=m∠DCB-股敌B选项正衡，不符合题意， C.cosB=BC ,故C选项正确，不符合题意； D.因为sinA= BC 4Bcos B=. BC B,所以sinA=cosB,故D选项正确，不符合题意； 故选：A. 例2.(25-26九年级上·湖南常德期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则下列三角函数表示正确的 是() A.cosA= 3 3 D.tan B= 4 B.sind=3 C.tan4=4 4 【答案】B 【详解】：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3, :AC=VAB2-BC2=V52-32=√16=4， 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 cosd=4C=4 一B专，故选项A错误，不符合题意， sin= B行故选项B正确，符合题意： BC 3 BC 3 tan =二，故选项C错误，不符合题意； AC 4 tan B= AC 4 故选项D错误，不符合题意， BC 3 故选：B. 变式1.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，在Rt ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,下列结论正确 的是() A.sinC=BD B.cosC=A CD C.sinB=A4 AB D.tanc= BD 【答案】A 【详解】解：∠BAC=90°，AD⊥BC, ∠ADB=∠ADC=90°， ∠B+∠C=∠B+∠BAD=90°， ∠C=∠BAD C,故C选项错误， .sin B=AC cosC=cos∠BAD-CD-4D, 故B选项错误； AC AB sinC=sin∠BAD=AB=BD BCAB 故A选项正确； tanC=tan∠BAD= BD 4D, 故D选项错误； 故选A. 变式2.(25-26九年级上·上海闵行期中)在RIAABC中，∠C=90°，AC=1,BC=2,那么下列锐角三角比中，正确 的是() A.sin4=5 C.cosB=25 D.tan B=2 5 【答案】C 【详解】解：∠C=90°，AC=1,BC=2, ·AB=VAC2+BC2=N5, 2 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 BC 2 25 A. sin= AB5 5 ，故此选项错误 BC B.tan =2,故此选项错误； AC C.cosB= BC 2 25 AB 55 ，故此选项正确： D. tan B= AC 1 故此选项错误。 故选：C. A B C 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 考点二 网格中的三角函数计算 例1.(2025甘肃陇南模拟预测)如图，ABC的三个顶点都在正方形网格的格点上，则s∠A的值为() B B.d C. 34 D. 5v67 3 61 【答案】D 【详解】解：标注点D,BD=5,AD=6, 根据勾股定理，得AB=√BD2+AD2=√6I, sin∠A= BD 5 561 AB 6161 故选：D B 例2.(25-26九年级上山东烟台·期中)如图，由6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.己 知菱形的一个角∠0AC为120°，A,B,C都在格点上，则tanZABC的值是() A A.3 B.3 C.5 D. 25 3 3 【答案】A 【详解】解：如图，连接EA,EC, 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 E 设菱形的边长为a,由题意得LAEF=30°，∠BEF=60°，AE=√5a,EB=2a, ∠AEC=90°， ∠ACE=∠ACG=∠BCG=60°， ∠ECB=180°， E、C、B共线， 在RtAEB中，tan∠ABC=AE-5a=V3 EB 2a 2 故选：A. 例3.(25-26九年级上山东淄博·期中)如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若ABC的三 个顶点都在网格的格点上，则si∠ACB的值为一· B 【答案)⑤ 【详解】解：如图，连接BD, B C 由勾股定理得BD=V?+12=√2，BC=V12+32=√10，CD=V22+2=2W2, :BD2+CD2=2+8=10=BC2, :△BDC是直角三角形， BDV2√5 sin∠ACB= BC10-5 故答案为：V5 例4.(25-26九年级上·江苏淮安期中)如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 J 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 tan∠ABC= 【答案】30.75 4 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D, A D 在△ABD中， ∠ADB=90°，AD=3,BD=4, AB=5, tan∠ABC=AD_3 BD4 故答案为：4 变式1.(2024广东东莞一模)如图，ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanA的值是() B A. c. D.2 5 【答案】C 【详解】解：如图，连接格点BD、CD, B 6 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 在Rt△ABD中，tanA=BD_4 ΓAD-3 故选：C. 变式2.(25-26九年级上山东淄博期中)如图，ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于(). ⊙ B.5 D.V10 10 【答案】D 【详解】解：由勾股定理可得：BC=√32+42=5，AC=√32+12=√0， AB=5, AB BC=5, ∴∠ACB=∠CAB, ∴.coS∠ACB=cOS∠CAB= 110 √1010 故选D, 变式3.(25-26九年级上山东青岛阶段练习)如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C都在格点上，则 tan∠BAC的值为 A 【答案】/0.5 【详解】解：如图，连接BC. B 根据勾股定理可得AC2=22+22=8, BC2=12+12=2, AB2=12+32=10, 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 AC2+BC2=AB2, .ABC是直角三角形，∠ACB=90°， tan∠BAC=BC=V21 故答案为：· 变式4.(25-26九年级上广东广州阶段练习)如图，点A,B,C是正方形网格中的格点，则tan∠BAC的值为 B 【答案】2 【详解】解：如图，连接BC, B 设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得 BC=V22+22=2√2，AB=V2+12=√2，AC=V32+12=V0, 故AC2=BC2+AB2, 故∠ABC=90°， 故tan∠BAC=B=2, 故答案为：2. 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 考点三 特殊角的三角函数值 例1.(25-26九年级上辽宁大连·月考)计算6tan45°-2c0s60°的结果是() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【详解】解：6tan45°-2cos60° =6x1-2 2 =6-1 =5. 故选：C. 例2.(2025天津.一模)下列等式成立的是() A.sin30°+sin30°=sin60°. B.c0s60°-30)=c0s60°-c0s30°. C. Cos30° =tan30°. sin30° D.sin230°+cos230°=1. 【答案】D 解】解：Ain30°+5in309+),5n60°=，则sim0+sm30≠sn60,敌该选项不符 B、cos(60°-30)=cos30°≠cos60°-cos30°，故该选项不符合题意； C、 c0s30°1 sin30°tan30 。≠tan30°，故该选项不符合题意； D、sin230°+cos230°=1，故该选项符合题意； 故选：D 例3.(25-26九年级上山东烟台期中)计算cos60°+sin45°-3tan30°+1-tan60= 【答案】0 【详解】解：cos60°+sin245°-3tan30°+1-tan60 1+2-5+(5- 24 锐角三角函数的定义、网格中的三角函数计算、特殊角的三角函数值、解三角形专项训练 +5+5-1 22 =1-1 =0. 故答案为：0. 例4.(25-26九年级上湖南常德·期中)已知：cosa·sin60°= 3 则锐角a=」 4 【答案】60° 【详解】：sin60=5, cosasin60°=5， 2 4 5 cos0· 24 521 cosa 452' :a为锐角， a=60°， 故答案为：60°. 例5.(25-26九年级上：上海月考)计算：3tan30°+2sin60°+2cos260°-， 23 +tan60°' 【答案】5+ 1)2 2 3 1+5 =5+5+?(5-刂 例6.2425九年级上江苏苏州月考)计第：5-+(202-+ -tan60°. 【答案】2 【详解】解：5-4+(202-+{日 -tan60° =V5-1+1+2-V5 =2 变式1.(2025·天津.中考真题)tan45°-√2cos45°的值等于() 10