精品解析：河南省洛阳市嵩县2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年河南省洛阳市嵩县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数：，，，，其中最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 实数的平方根为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 如果是一个完全平方式，则实数的值是（ ） A. 16 B. －16 C. D. 5. 计算：（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，真命题的个数是（　　） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 对于实数a，b，现用“☆”定义新运算：，那么将多项式因式分解，其结果为 A. B. C. D. 9. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：______． 12. 若，，那么______． 13. 已知，则的值是______． 14. 如图所示，，，，，，则________． 15. 如图，用两个面积为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3） 17. 先化简，再求值：2x2y•（﹣2xy2）3+（2xy）3•（﹣xy2）2，其中 x=4，y=． 18. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号代表数的一种方法．请你解答下面用符号代表数问题．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的算术平方根． 19. 如图，点C是线段的中点，，．求证：． 20. 综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 21. 某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长． 方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离 问：（1）方案1是否可行？并说明理由； （2）方案2是否可行？并说明理由； （3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条　 　也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上． 22. 1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． （2）已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… （3）已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 23. （1）【问题发现】如图1，与中，，三点在同一直线上，，则______． （2）【问题提出】如图2，在中，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】如图3，四边形中，面积为12且的长为6，则的面积是______．（直接写结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省洛阳市嵩县八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个数：，，，，其中最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，比较负数的大小，绝对值越大，值越小，因此计算各数的绝对值并比较大小即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴， ∴， 故最小的数是 ． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键． 运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得． 【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误． B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确． C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误． D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误． 故选：B． 3. 实数的平方根为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方根，先得到，再求的平方根即可． 【详解】， ∴的平方根为， 故选：D． 4. 如果是一个完全平方式，则实数的值是（ ） A. 16 B. －16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 则， 所以， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式是解题关键． 5. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将系数、同底数幂分别相除即可得到答案. 【详解】, 故选：D. 【点睛】此题考查单项式除以单项式，正确掌握整式的除法法则是解题的关键. 6. 下列命题中，真命题的个数是（　　） ①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质对①②③进行判断，根据全等三角形的判定方法对④进行判断． 【详解】解：全等三角形的周长相等，故①正确；全等三角形的对应角相等，故②正确；全等三角形的面积相等，故③正确；面积相等的两个三角形不一定全等，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果，那么”的形式，有些命题的正确性用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 7. 如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小敏从水平位置下降时，小明离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得：，，利用已知条件判断出，得到，即可求出答案． 【详解】解：如图： ∵是和的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴小明离地面的高度支点到地面的高度，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法． 8. 对于实数a，b，现用“☆”定义新运算：，那么将多项式因式分解，其结果为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】仔细分析所给的新运算法则，再结合因式分解的方法即可得到结果. 【详解】由题意得：， 故选A. 9. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长 交 于点 平分， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 和 等底等高， ， ， ， ， 故选： 10. 电子文件的大小常用等作为单位，其中，，，某视频文件的大小约为，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查幂的乘法，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则． 根据题意及幂的运算法则即可求解． 【详解】解：依题意得． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 比较大小：______． 【答案】＜ 【解析】 【分析】根据无理数的估算确定，从而进行比较． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查实数的大小比较，掌握无理数的估算，正确进行比较是解题的关键． 12. 若，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘将要求的式子变形为，然后代入计算即可． 本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 13. 已知，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的运用，利用完全平方公式得到，即可求得的值． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 14. 如图所示，，，，，，则________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键． 根据，得出，即可证明，根据三角形全等的性质得，最后利用可求解． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，用两个面积为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是____． 【答案】， 【解析】 【分析】首先求出大的正方形的边长为，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：∵两个面积为的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形， ∴大的正方形的面积为， 边长为， 表示1的点A为圆心，向左向右移个单位， ∴与数轴的交点表示的实数是，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了数轴和实数，根据面积的关系得出大正方形的边长是解此题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）7 （2） （3）1 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的运算，平方差公式等知识点． （1）分别计算算术平方根和立方根，再进行有理数的混合运算； （2）利用同底数幂的乘法逆运算和积的乘方逆运算计算即可； （3）先将原式化为，再由平方差公式计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 17. 先化简，再求值：2x2y•（﹣2xy2）3+（2xy）3•（﹣xy2）2，其中 x=4，y=． 【答案】-8x5y7；﹣ ． 【解析】 【分析】根据整式的运算法则,即可解题. 【详解】解：原式=2x2y•（﹣8x3y6）+8x3y3•x2y4 =﹣16x5y7+8x5y7 =﹣8x5y7， 当 x=4，y=时，原式=﹣8×45×（ ）7=﹣ ． 【点睛】本题考查了整式的运算,属于简单题,熟悉幂的乘方是解题关键. 18. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号代表数的一种方法．请你解答下面用符号代表数问题．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分． （1）求的值； （2）若是的小数部分，求的算术平方根． 【答案】（1）10 （2）4 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，平方根，无理数的整数部分以及小数部分，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合的平方根是，是27的立方根，得，，因为是的整数部分，所以，代入计算，即可作答． （2）先根据是的小数部分，得出，然后得出，最后运算出的算术平方根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵的平方根是，是27的立方根， ∴，， ∵ ∴ ∵是的整数部分， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 则， ∴， ∴的算术平方根是． 19. 如图，点C是线段的中点，，．求证：． 【答案】 证明：∵点C是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点C是线段的中点得出，再利用证明即可得证，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】略 20. 综合与实践： 【问题情境】（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____； 【探究实践】 （2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____； （3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值； 【拓展应用】 （4）用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）14； （4）5或7 【解析】 【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果； （2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案； （3）由（2）的结论，把已知条件代入即可； （4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可； 【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是， ， 故答案为：； （2）边长为的正方形的面积为：， 分9部分来看，正方形的面积为， 两部分面积相等， ， 故答案为：； （3）由（2）知， ，， ． 的值为14； （4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：， 从因式分解的角度看，可分解为或， 或， 的值为5或7． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，因式分解中十字相乘法和完全平方公式在集合图形中的相关计算，解决此题的关键是要合理运用饮食分解的方法． 21. 某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接AC并延长AC至点D，连接BC并延长至点E，使DC＝AC，EC＝BC，最后量出DE的距离就是AB的长． 方案2：如图（2），过点B作AB的垂线BF，在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为AB间的距离 问：（1）方案1是否可行？并说明理由； （2）方案2是否可行？并说明理由； （3）小明说：“在方案2中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将“BF⊥AB，DE⊥BF”换成条　 　也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上． 【答案】 （1）可行， 理由：（1）在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE； （2）可行，理由： ∵BF⊥AB，DE⊥BF， ∴∠B＝∠BDE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE； （3）AB∥DE 【解析】 【分析】（1）利用SAS定理证明△ABC≌△DEC可得AB＝DE； （2）利用ASA定理证明△ABC≌△DEC可得AB＝DE； （3）AB∥DE，可得∠B＝∠BDE，利用ASA定理证明△ABC≌△DEC可得AB＝DE． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）只需AB∥DE即可， ∵AB∥DE， ∴∠B＝∠BDE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（ASA）， ∴AB＝DE， 故答案为：AB∥DE． 【点睛】本题考查三角形全等的应用，合理作出全等三角形，熟记判定是本题解题关键. 22. 1637年笛卡尔（R．Descartes，1596－1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 解：观察可知，当时，原式． ∴原式可分解为与另一个整式的积． 设另一个整式为．则， ∵， ∴ ∵等式两边同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式的过程中，观察可知，当______时，原式，所以原式可分解为______与另一个整式的积．若设另一个整式为．则______，______． （2）已知多项式（为常数）有一个因式是，求另一个因式以及的值． 下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为，则． …… （3）已知二次三项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为______，的值为______． 【答案】（1）；；； （2） 解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，则， ∵， ∴， ∴，解方程得，， ∴多项式（为常数）为， ∴因式分解为． （3）； 【解析】 【分析】（1）根据材料提示，当时，的值为，由此即可求解； （2）多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为，根据材料提示，即可求解； （3）多项式（为常数）有一个因式是，则另一个因式为，根据材料提示，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，的值为， ∴原式可分解为与另一个整式的积， 设另一个整式为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴， 故答案为：；；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：多项式（为常数）有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， ∴，解方程组得，， ∴多项式（为常数）为， ∴因数分解为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查因数分解，掌握整式的混合运算是解题的关键． 23. （1）【问题发现】如图1，与中，，三点在同一直线上，，则______． （2）【问题提出】如图2，在中，，过点作，且，求的面积． （3）【问题解决】如图3，四边形中，面积为12且的长为6，则的面积是______．（直接写结果） 【答案】（1）5；（2）8；（3）6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形（K型全等）． （1）由，得，可证明，即得，，故； （2）过作交延长线于，由，，得，即得，可证明，得，故； （3）过作于，过作交延长线于，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）， ， 在和中， ， ， ，， ； 故答案为：5； （2）过作交延长线于，如图： ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）过作于，过作交延长线于，如图： 面积为12且的长为6， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $