贵州省遵义市航天高级中学2023-2024学年高一上学期阶段性测试二数学试题

秘密★启用前 遵义市航天高级中学2023-2024学年高一上学期数学阶段性测试二 注意事项: 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列与的终边相同的角的集合中正确的是(    ) A. B. C. D. 2.给出下列五个命题： 若为真命题，则为真命题； 命题“，有”的否定为“，有”； “平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；  在锐角中，必有； 为等差数列，若，则 其中正确命题的个数为(    ) A. B. C. D. 3.已知函数，则(    ) A. B. C. D. 4.已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 5.已知函数，则函数的定义域为(    ) A. B. C. D. 6.已知定义在上的单调函数，对，都有，则函数的零点所在区间是(    ) A. B. C. D. 7.集合，，则(    ) A. B. C. D. 8.已知双曲线：的渐近线方程为，则的离心率为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法正确的有(    ) A. 角是第三象限角 B. 锐角都是第一象限角 C. 若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 D. 若一扇形面积为，弧长为，则其圆心角也为 10.若函数，数，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 11.下列命题中错误的有(    ) A. 若复数满足，则是虚数 B. 若复数，则其虚部不存在 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 若复数、满足，则 12.下列说法正确的是(    ) A. 集合，，对应关系：，则：是到的函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知，那么的最小值是        ． 14.已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为______． 15.函数的单调递减区间是   16.已知椭圆方程，当的最小值时，椭圆的离心率 ______． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知集合，，，全集 求； 若，求实数的取值范围． 18.本小题分 已知角的终边经过点． 求，，的值； 求的值； 已知、是锐角，且满足，求的值． 19.本小题分 已知函数，． 讨论的单调性； 当时，求证：． 20.本小题分 已知函数． Ⅰ求的值域； Ⅱ若的图象与直线交点的横坐标由小到大依次是，，，求数列的前项的和． 21.本小题分 已知函数的图象经过点，其中且， Ⅰ求的值； Ⅱ若函数，解关于的不等式． 22.本小题分 已知函数． 若，求函数在区间的值域； 若函数在上为增函数，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：， 对于，角度和弧度混用，不符合要求，故A，B错误； 对于，当时，不成立，故D错误； 与的终边相同的角的集合为： ． 故选：． 利用终边相同的角的定义直接求解． 本题考查相同的角的集合的求法，考查终边相同的角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】  【解析】【分析】 根据“或命题”与“且命题”的真假判定方法即可得出． 根据命题的否定定义即可判断出结论． “平面向量与的夹角为钝角”“”；反之不成立，平面向量与的夹角可能为平角．即可判断出正误． 因为在锐角三角形中，可得，有，利用单调性与诱导公式可得，同理，即可判断出正误； 若等差数列为常数列，则不一定成立． 本题考查了简易逻辑的判定、不等式的性质、三角函数求值、等差数列的性质、平面向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】 解：若为真命题的条件是、至少有一个是真命题，而为真命题的条件为、两个都是真命题，所以当、一个真一个假时，为假命题，所以不正确； 命题“，有”的否定为“，有”；因此不正确； “平面向量与的夹角为钝角”“”；反之不成立，平面向量与的夹角可能为平角． “平面向量与的夹角为钝角”的必要不充分条件是“”；因此不正确． 因为在锐角三角形中，，有， 所以有，即，同理， 故，所以正确； 若等差数列为常数列，则不一定成立，命题不正确． 综上可得：只有正确． 故选：． 3.【答案】  【解析】解：， 则． 故选：． 根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值． 本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题的关键是对数运算性质的应用，是基础题． 4.【答案】  【解析】解：由，得或， 即：或； 由，解得． 是的充分不必要条件，或， 即或． 实数的取值范围是或． 故选：． 分别求解一元二次不等式化简与，再由已知转化为两不等式解集的关系，进一步转化为关于的不等式求解． 本题考查充分必要条件的判断及其应用，考查一元二次不等式的解法，考查数学转化思想方法，属于基础题． 5.【答案】  【解析】解：函数， ，解得， 函数的定义域满足， 即． 函数的定义域为． 故选：． 先求出函数的定义定义域为，从而得到函数的定义域满足，由此能求出函数的定义域． 本题考查函数的定义域的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用． 6.【答案】  【解析】解：根据题意，对任意的，都有， 又由是定义在上的单调函数， 则为定值， 设， 则， 又由， 即， 解得：， 则，， ， 即， 则方程的解可转化成方程的解， 令， 而，， 方程的解所在区间为， 方程的解所在区间为， 故选：． 由设，则，又由，求出，则方程的解可转化成方程的解，根据零点存在定理即可判断． 本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出，考查转化思想的应用，属于中档题． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题． 先利用一元二次不等式的解法求出集合，再由集合交集的定义求解即可． 【解答】 解：因为集合，， 则 故选：． 8.【答案】  【解析】解：双曲线：的渐近线方程为，即， 而曲线的渐近线方程为， 即， 所以双曲线的离心率． 故选：． 由曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得的值，进而求出该双曲线的离心率的值． 本题考查双曲线渐近线的求法及双曲线的性质的应用，属于基础题． 9.【答案】  【解析】解：，为第三象限角，A正确； 锐角为第一象限角，B正确； 若，， 则，， 所以为第一象限角或第三象限角，C正确； 若一扇形面积为，弧长为，则，即， 所以圆心角为，D错误． 故选：． 结合象限角的概念检验选项A，，，结合扇形的弧长及面积公式检验选项D即可． 本题主要考查了象限角的判断，还考查了弧长及面积公式的应用，属于基础题． 10.【答案】  【解析】解：因为，数， 所以，，， 以此类推， ：，A正确； ：，B错误； ：，C正确； ：，D错误． 故选：． 由已知定义及函数解析式先寻求函数值的规律，进而检验各选项即可判断． 本题以新定义为载体，主要考查了函数值的求解，属于基础题． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查命题的真假的判断，复数的运算以及性质的应用，是基础题． 利用复数的运算法则判断；复数的概念判断；充要条件判断；复数的运算法则判断． 【解答】 解：复数满足，令，，所以，是虚数，所以A正确； 复数，则其虚部为，不是不存在，所以不正确； “”等价于，所以可得“”，反之不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确； 复数、满足，则与是共轭复数，所以不正确； 故选：． 12.【答案】  【解析】解：当时，， 故：是到的函数，A正确； 令，解得，故函数的定义域为，B正确； 令，则， 所以，此时函数在上单调递增，故， 故函数值域为，C错误； ，把换成得，， 联立可得，，D正确． 故选：． 选项，求出，利用函数定义作出判断；选项，根据抽象函数定义域法则得到，解得，得到定义域；选项，令，得到，得到函数值域；选项，把换成得，，根题目条件联立得到答案． 本题主要考查函数的性质，定义、解析式的求解，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：当时，， 当且仅当，即时取等号． 故答案为：． 由已知结合基本不等式即可求解． 本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了指数函数的单调性，属于基础题． 根据函数的单调性得到关于的方程，解出即可． 【解答】 解：当时，在上单调递增， 当时，取到最小值，当时，取到最大值， ， 解得：负值舍去， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】试题分析：因为，，所以，或． 抛物线开口向上，对称轴方程为， 根据复合函数的单调性的性质，知函数的单调递减区间是． 故答案为． 考点：二次函数、对数函数的单调性，复合函数的单调性． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了椭圆的简单性质及基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生基本运算的能力． 根据均值不等式，进而根据求得原式的最小值，此时，和的关系，进而求得此时的离心率． 【解答】 解：当且仅当，即时取等号．此时 故答案为． 17.【答案】解：由集合，， 得或，； ，，．   【解析】利用补集概念求出，然后利用交集运算求解； 先求出，再由结合数轴求解的范围． 本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题． 18.【答案】，，；  ；  ．  【解析】因为角的终边经过点， 由三角函数的定义：，，； ； 因为，，所以， 因为，所以， 所以， 所以 ． 应用三角函数的定义计算求解； 应用诱导公式结合弦化切计算求值； 应用两角和正弦公式结合同角三角函数关系计算求值． 本题考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式，两角和正弦公式以及同角三角函数关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 19.【答案】当时，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增．   根据第一问知，当时，， 设函数，，导函数， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，  ， 因此，则， 所以  【解析】中，，导函数， 当时，，函数在上单调递增； 当时，时，时，， 在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 证明：根据第一问知，当时，， 设函数，，导函数， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，则， 所以． 求出函数的导数，分类讨论导数正负情况即可求出函数单调性． 由求出函数的最小值，再构造函数，利用导数证明不等式． 本题考查导数的综合应用，属于中档题． 20.【答案】解：Ⅰ 所以的值域为 Ⅱ由正弦曲线的对称性、周期性可知 ，，   【解析】利用辅助角公式对函数化简可得，结合正弦函数的性质可求． 由正弦曲线的对称性、周期性可知，，，代入等差数列的前项和公式可求． 本题主要考查了辅助角公式的应用，正弦函数的值域的求解，正弦函数的对称性及周期性的应用，还考查了数列的求和公式的运用． 21.【答案】解：Ⅰ函数的图象经过点， ，解得． Ⅱ，， 则为定义在上的偶函数， 在上单调递减，在上单调递增， 不等式等价为不等式． 即， 平方得， 解得． 即不等式的解集为．  【解析】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用函数奇偶性和单调性的性质将函数进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题． Ⅰ根据指数函数过的点，代入即可求的值； Ⅱ根据函数的奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可． 22.【答案】解：， ， ， 在上递增，在上递减，在上递增． ，，，， 的值域为， 因为在上为增函数，所以  【解析】可以去掉绝对值符号，转化为分段二次函数，利用闭区间上求最值的方法，可以求得函数在区间的值域； 同上，先去掉绝对值符号，转化为分段的二次函数，利用配方法与函数的单调性可以求得的取值范围． 本题考查绝对值函数的单调性质，求值域及利用性质求参数的范围，解决的关键是先去掉绝对值符号，转化为分段的二次函数，再利用配方法与函数的单调性解决． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $