第二章 章末总结(二) 一元二次函数、方程和不等式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了一元二次函数、方程和不等式的核心内容，通过知识体系建构中的结构化知识框图，将概念、性质及应用串联起来，清晰呈现三者间的内在逻辑联系，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于融合高频考点聚焦与高考真题溯源模块，通过教材溯源、题型分析及名师点津引导学生用数学思维探究问题本质，规范解答培养数学语言表达能力。章末过关检测卷设计分层练习，适配不同水平学生，教师可借此精准评估学情，提升复习效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第二章 一元二次函数、方程和不等式 3 目 录 高频考点聚焦 高考真题溯源 章末过关检测卷 知识体系建构 知识体系建构 高频考点聚焦 高考真题溯源 章末过关检测卷 33 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题型一　不等式的性质与应用 1．不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位． 2．掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养． 例1　若a>b，x>y，则下列不等式正确的是(　　 ) A．a＋x<b＋y B．ax>by C．|a|x≥|a|y D．(a－b)x<(a－b)y 解析：选C.因为当a≠0时，|a|>0，由x>y，得|a|x>|a|y，当a＝0时，|a|x＝|a|y，因此|a|x≥|a|y，故C正确； 选项A，B，D均不满足不等式性质，故不正确． 类题通法 不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法． (2) 应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法． 【迁移运用】 1.已知2<a<3，且－2<b<－1，则 eq \f(b2,a)的取值范围是________． 解析：因为－2<b<－1，所以1<b2<4. 因为2<a<3，所以 eq \f(1,3)< eq \f(1,a)< eq \f(1,2)， 所以 eq \f(1,3)< eq \f(b2,a)<2. 答案：{ eq \f(b2,a)| eq \f(1,3)< eq \f(b2,a)<2} 题型二　一元二次不等式的解法 1．掌握一元二次不等式及分式不等式的解法． 2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 例2　已知关于x的不等式2kx2＋kx－ eq \f(3,8)<0. (1)若不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<1))))，求实数k的值； (2)若不等式的解集为R，求实数k的取值范围． 解：(1)若关于x的不等式2kx2＋kx－ eq \f(3,8)<0的解集为{x|－ eq \f(3,2)<x<1}， 则－ eq \f(3,2)和1是2kx2＋kx－ eq \f(3,8)＝0的两实根， 由根与系数的关系得－ eq \f(3,2)×1＝ eq \f(－\f(3,8),2k)， 解得k＝ eq \f(1,8). (2)若关于x的不等式2kx2＋kx－ eq \f(3,8)<0解集为R， 则k＝0或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2k<0，,Δ＝k2＋3k<0，)) 解得k＝0或－3<k<0. 故实数k的取值范围为{k|－3<k≤0}． 类题通法 (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后分解因式变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应二次函数的零点，也是一元二次方程的根. 【迁移运用】 2.若不等式ax2＋5x－2>0的解集是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<2)))). (1)求a的值； (2)求不等式 eq \f(1－ax,x＋1)>a＋5的解集． 解：(1)依题意可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为 eq \f(1,2)和2. 由根与系数的关系得 eq \f(1,2)×2＝ eq \f(－2,a)， 解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式得 eq \f(1＋2x,x＋1)>3， 整理得 eq \f(－(x＋2),x＋1)>0，即(x＋1)(x＋2)<0， 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}． 题型三　基本不等式及其应用 1．基本不等式是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现． 2．熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养． 例3　(多选)已知正数x，y，满足x＋y＝2 ，则下列选项正确的是(　　 ) A． eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)的最小值是2 B．xy的最大值是1 C．x2＋y2的最小值是1 D．x(y＋1)的最大值是 eq \f(9,2) 解析：选AB.对于A，因为正数x，y，满足x＋y＝2，所以 eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＝ eq \f(1,2)(x＋y)( eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y))＝ eq \f(1,2)(2＋ eq \f(y,x)＋ eq \f(x,y))≥ eq \f(1,2)(2＋2 eq \r(\f(y,x)·\f(x,y)))＝2，当且仅当 eq \f(y,x)＝ eq \f(x,y)，即x＝y＝1时取等号，故A正确； 对于B，x＋y＝2≥2 eq \r(xy)，所以xy≤1，当且仅当x＝y＝1时等号成立，故B正确； 对于C，因为x＋y＝2，即y＝2－x，且0<x<2，x2＋y2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4＝2(x－1)2＋2，由抛物线的性质可得，当x＝1时，最小值为2，故C错误； 对于D，由C可得x(y＋1)＝－x2＋3x＝－(x－ eq \f(3,2))2＋ eq \f(9,4)，当x＝ eq \f(3,2)时，最大值为 eq \f(9,4)，故D错误． 类题通法 基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法． 【迁移运用】 3.(多选)(2025·安徽期中)已知正数a，b满足4a＋b＋ab＝12，则下列结论正确的是(　　 ) A．ab的最大值为4 B．4a＋b的最小值为8 C．a＋b的最小值为3 D． eq \f(1,a＋1)＋ eq \f(1,b)的最小值 eq \f(3,4) 解析：选ABD.因为正数a，b满足4a＋b＋ab＝12，所以12－ab＝4a＋b≥2 eq \r(4ab)＝4 eq \r(ab)，当且仅当4a＝b，即a＝1，b＝4时等号成立，解得0< eq \r(ab)≤2，所以0<ab≤4，故ab的最大值为4，故A正确； 12－(4a＋b)＝ab≤4，所以8≤4a＋b，所以4a＋b的最小值为8，当且仅当4a＝b，即a＝1，b＝4时等号成立，故B正确； 由4a＋b＋ab＝12可得(a＋1)(b＋4)＝16，所以a＋b＝(a＋1)＋(b＋4)－5≥2 eq \r((a＋1)(b＋4))－5＝3，当且仅当a＋1＝b＋4时等号成立，此时a＝3，b＝0，又b为正数，矛盾，故C错误； eq \f(1,a＋1)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(b＋4,16)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(b,16)＋ eq \f(1,b)＋ eq \f(1,4)≥2 eq \r(\f(b,16)·\f(1,b))＋ eq \f(1,4)＝ eq \f(3,4)，当且仅当 eq \f(b,16)＝ eq \f(1,b)，即a＝1，b＝4时等号成立，故D正确． 题型四　不等式恒成立问题 1．熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏． 2．掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例4　不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的最大值与最小值之和为(　　 ) A．3 B．－3 C．2 D．－2 解析：选A.x2－2x＋5＝(x－1)2＋4在x＝1时取得最小值4，故只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，即a的最小值为－1，最大值为4，最大值与最小值之和为3. 类题通法 解决不等式恒成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合． (2)分离参数法． (3)转化为最大(小)值问题． 【迁移运用】 4.已知当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　 ) A．a≥1 B．a>1 C．a≤1 D．a<1 解析：选D.因为1≤x≤2， 所以由x2－ax>0⇒x－a>0⇒a<x， 则有a<1. 1．(2024·上海卷)不等式x2－2x－3<0的解集为______． 　人教A版必修第一册P52例3. 　解一元二次不等式是高考中的常见题型，直接考查主要利用三个“二次”关系，结合图形解不等式，含参数时需要注意讨论参数对解集的影响，也常和函数、数列、集合等知识点结合，综合考查． 　解一元二次不等式的关键在于理解其与二次函数和一元二次方程的关系，一元二次方程的根就是不等式的临界点，也是函数图象与x轴交点的横坐标． 　 方程x2－2x－3＝0的解为x＝－1或x＝3，故不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－1<x<3}． 答案：{x|－1<x<3}． 2．(2024·全国甲卷)已知实数a，b满足a＋b≥3. (1)证明：2a2＋2b2>a＋b； (2)证明：|a－2b2|＋|b－2a2|≥6. 　人教A版必修第一册P39 探究． 　不等式在高考中是一个重要考点，题型多样，难度从基础到综合不等，本题是在学习了作差法比大小、基本不等式、绝对值不等式的基础上综合考查的． 　在运用基本不等式和处理绝对值不等式的过程中，都需要进行准确的代数运算，包括式子的化简、变形、求解等，把所给不等式问题转化为熟悉的形式． 　 (1)因为2a2＋2b2－(a＋b)2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0， 当a＝b时等号成立，则2a2＋2b2≥(a＋b)2， 因为a＋b≥3，所以2a2＋2b2≥(a＋b)2>a＋b. (2)|a－2b2|＋|b－2a2|≥|a－2b2＋b－2a2|＝|a＋b－(2a2＋2b2)|＝2a2＋2b2－(a＋b)≥(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)≥3×2＝6. 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设全集U为实数集R，已知集合M＝{x|x2－4>0}，N＝{x|x2－4x＋3<0}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　 ) A．{x|x<－2} B．{x|x>3} C．{x|1≤x≤2} D．{x|x≥3，或x<－2} 解析：选D.M＝{x|x2－4>0}＝{x|x>2，或x<－2}，N＝{x|x2－4x＋3<0}＝{x|1<x<3}， 又图中阴影部分所表示的集合是(∁UN)∩M，而∁UN＝ {x|x≥3，或x≤1}， 即(∁UN)∩M＝{x|x≥3，或x<－2}． 2．若a，b，c为实数，则下列命题错误的是(　　 ) A．若ac2>bc2，则a>b B．若a<b<0，则a2<b2 C．若a>b>0，则 eq \f(1,a)< eq \f(1,b) D．若a<b<0，c>d>0，则ac<bd 解析：选B.对于A，若ac2>bc2，则c2>0，∴a>b，A正确； 对于B，当a<b<0时，a2>b2，B错误； 对于C，当a>b>0时， eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，C正确； 对于D，当a<b<0，c>d>0时，ac<ad，ad<bd，即ac<bd，D正确． 3．设x∈R，则“x<3”是“x(x－2)<0”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.由x(x－2)<0得0<x<2，故“x<3”是“x(x－2)<0”的必要不充分条件． 4．关于x的不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是(　　 ) A．{x|1<x<3} B．{x|－1<x<3} C．{x|x<－1，或x>3} D．{x|x<1，或x>3} 解析：选C.不等式ax－b>0的解集是{x|x>1}，故a>0，a＝b，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，即(x＋1)(x－3)>0，故解集是{x|x<－1，或x>3}． 5．已知集合A＝{x∈R|x2－3x－4≤0}，B＝{x∈R|x≤a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围为(　　 ) A．{a|a>4} B．{a|a≥4} C．{a|a<4} D．{a|a≤4} 解析：选B.对于集合A，x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤4.由于A∪B＝B，所以A⊆B，故a≥4. 6．已知一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|－1<x<2}，则b－c＋ eq \f(4,a)的最大值为(　　 ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 解析：选A.因为一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|－1<x<2}， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,－1＋2＝－\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<0，,b＝－a，,c＝－2a，)) 所以b－c＋ eq \f(4,a)＝－a＋2a＋ eq \f(4,a)＝a＋ eq \f(4,a)＝－[(－a)＋ eq \f(4,－a)]≤－2 eq \r((－a)·\f(4,－a))＝－4， 当且仅当－a＝－ eq \f(4,a)(a<0)时，即当a＝－2时，等号成立． 因此，b－c＋ eq \f(4,a)的最大值为－4. 7．若两个正实数x，y满足2x＋y＝1且存在这样的x，y使不等式 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)<m2＋2m有解，则实数m的取值范围是(　　 ) A．{m|m<－4，或m>2} B．{m|－2<m<4} C．{m|m<－2，或m>4} D．{m|－4<m<2} 解析：选A.由题意， eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)＝( eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y))(2x＋y)＝4＋ eq \f(4x,y)＋ eq \f(y,x)≥4＋2 eq \r(\f(4x,y)·\f(y,x))＝8，当且仅当 eq \f(4x,y)＝ eq \f(y,x)，即y＝ eq \f(1,2)，x＝ eq \f(1,4)时等号成立．故若存在这样的x，y使不等式 eq \f(1,x)＋ eq \f(2,y)<m2＋2m有解，即m2＋2m>8⇔(m－2)(m＋4)>0⇔m>2或m<－4. 8．设|a|<1，则 eq \f(1,1－a)＋ eq \f(2,1＋a)的最小值为(　　 ) A．2 B． eq \f(3,2)－ eq \r(2) C．1 D． eq \r(2)＋ eq \f(3,2) 解析：选D.∵|a|<1，则1－a>0，1＋a>0， ∴ eq \f(1,1－a)＋ eq \f(2,1＋a)＝ eq \f(1,2)( eq \f(1,1－a)＋ eq \f(2,1＋a))(1－a＋1＋a)＝ eq \f(1,2)[3＋ eq \f(1＋a,1－a)＋ eq \f(2(1－a),1＋a)]≥ eq \f(1,2)(3＋2 eq \r(\f(1＋a,1－a)·\f(2(1－a),1＋a)))＝ eq \f(1,2)(3＋2 eq \r(2))＝ eq \r(2)＋ eq \f(3,2)， 当且仅当 eq \f(1＋a,1－a)＝ eq \f(2(1－a),1＋a)，即a＝3－2 eq \r(2)时，等号成立． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若a，b，c为实数，则下列命题不正确的是(　　 ) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a<b<0，则a2>ab>b2 C．若a<b<0，则 eq \f(1,a)< eq \f(1,b) D．若a<b<0，则 eq \f(b,a)> eq \f(a,b) 解析：选ACD.A选项中，若c＝0，则ac2＝bc2，故不成立； B选项中，a<b<0，在a<b中两边同时乘以a(a<0)，得a2>ab，若两边同时乘以b，得ab>b2，故a2>ab>b2，成立； C选项中，在a<b两边同时除以ab(ab>0)，可得 eq \f(1,b)< eq \f(1,a)，不成立； D选项中，令a＝－2，b＝－1，则有 eq \f(a,b)＝ eq \f(－2,－1)＝2， eq \f(b,a)＝ eq \f(1,2)， eq \f(b,a)< eq \f(a,b)，不成立． 10．已知不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1，或x>3}，则下列结论正确的是(　　 ) A．a<0 B．c<0 C．a＋b＋c>0 D．cx2－bx＋a<0的解集为{x|－ eq \f(1,3)<x<1} 解析：选ACD.因为ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－1，或x>3}，所以不等式对应的二次函数图象开口向下，所以a<0，A正确； 且－1，3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以－1＋3＝－ eq \f(b,a)，－1×3＝ eq \f(c,a)，即b＝－2a，c＝－3a>0，B错误； a＋b＋c＝a－2a－3a＝－4a>0，C正确； cx2－bx＋a<0即为－3ax2＋2ax＋a<0，不等式两边同除以－a得3x2－2x－1<0，解得－ eq \f(1,3)<x<1，所以cx2－bx＋a<0的解集为{x|－ eq \f(1,3)<x<1}，D正确． 11．下列说法正确的是(　　 ) A．x＋ eq \f(1,x)的最小值为2 B．x2＋1的最小值为1 C．3x(2－x)的最大值为3 D．x2＋ eq \f(3,x2＋2)最小值为2 eq \r(3)－2 解析：选BC.对于A，当x<0时，x＋ eq \f(1,x)<0，故选项A错误； 对于B，因为x2＋1≥1，即x2＋1的最小值为1，故选项B正确； 对于C，因为3x(2－x)＝－3(x－1)2＋3≤3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以3x(2－x)的最大值为3，故选项C正确； 对于D，因为x2≥0，所以x2＋2≥2>0，所以x2＋ eq \f(3,x2＋2)＝(x2＋2)＋ eq \f(3,x2＋2)－2≥2 eq \r((x2＋2)·\f(3,x2＋2))－2＝2 eq \r(3)－2，当且仅当x2＋2＝ eq \f(3,x2＋2)，即(x2＋2)2＝3时，等号成立，因为x2＋2≥2，所以(x2＋2)2≥4，即(x2＋2)2＝3不成立，故等号不成立，所以x2＋ eq \f(3,x2＋2)最小值不为2 eq \r(3)－2，故选项D错误． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．函数y＝x＋ eq \f(4,x－2)(x>2)的最小值是________． 解析：因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋ eq \f(4,x－2)＝(x－2)＋ eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r((x－2)·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝ eq \f(4,x－2)，即x＝4时取等号， 所以函数y＝x＋ eq \f(4,x－2)(x>2)的最小值是6. 答案：6 13．若a<b，d<c，并且(c－a)(c－b)<0，(d－a)(d－b)>0，则a，b，c，d由小到大的顺序排列是________． 解析：由a<b且(c－a)(c－b)<0，则a<c<b，由a<b且(d－a)(d－b)>0，则d>b或d<a， 综上，结合d<c，故d<a<c<b. 答案：d<a<c<b 14．若对∀x∈R，∃a>0，使得x2＋ax－a2≥x－am＋1成立，则实数m的取值范围为________． 解析：由x2＋ax－a2≥x－am＋1，得x2＋(a－1)x－a2＋am－1≥0. 由题意可得∃a>0，使得(a－1)2＋4(a2－am＋1)≤0成立， 即∃a>0，使得m≥ eq \f(5a,4)＋ eq \f(5,4a)－ eq \f(1,2)成立． eq \f(5a,4)＋ eq \f(5,4a)－ eq \f(1,2)≥2 eq \r(\f(5a,4)·\f(5,4a))－ eq \f(1,2)＝2，当且仅当a＝1时等号成立，故m≥2. 答案：{m|m≥2} 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)(1)比较3x2－x＋1与2x2＋x－1的大小； (2)已知c>a>b>0，求证： eq \f(a,c－a)> eq \f(b,c－b). 解：(1)由(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0， 可得3x2－x＋1>2x2＋x－1. (2) eq \f(a,c－a)－ eq \f(b,c－b)＝ eq \f(a(c－b)－b(c－a),(c－a)(c－b))＝ eq \f((a－b)c,(c－a)(c－b))， ∵c>a>b>0，∴a－b>0，c－a>0，c－b>0， ∴ eq \f((a－b)c,(c－a)(c－b))>0，∴ eq \f(a,c－a)> eq \f(b,c－b). 16．(15分)(1)已知x> eq \f(2,3)，求x＋ eq \f(2,3x－2)的最小值﹔ (2)已知x>0，y>0，且 eq \f(2,x)＋ eq \f(3,y)＝1，求3x＋y的最小值． 解：(1)x＋ eq \f(2,3x－2)＝ eq \f(1,3)(3x－2)＋ eq \f(2,3x－2)＋ eq \f(2,3) ≥2 eq \r(\f(1,3)(3x－2)·\f(2,3x－2))＋ eq \f(2,3)＝ eq \f(2\r(6)＋2,3)， 当且仅当 eq \f(1,3)(3x－2)＝ eq \f(2,3x－2)，即x＝ eq \f(2＋\r(6),3)时等号成立，所以x＋ eq \f(2,3x－2)的最小值为 eq \f(2\r(6)＋2,3). (2)3x＋y＝(3x＋y)( eq \f(2,x)＋ eq \f(3,y))＝9＋ eq \f(2y,x)＋ eq \f(9x,y)≥9＋2 eq \r(\f(2y,x)·\f(9x,y))＝9＋6 eq \r(2)， 当且仅当 eq \f(2y,x)＝ eq \f(9x,y)，即x＝2＋ eq \r(2)，y＝3 eq \r(2)＋3时等号成立． 所以3x＋y的最小值为9＋6 eq \r(2). 17．(15分)已知关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax. (1)a＝1，求不等式的解集； (2)a∈R，求不等式的解集． 解：(1)当a＝1时，ax2 －2≥2x－ax可化为x2－2≥2x－x， 即x2－x－2≥0，即(x＋1)(x－2)≥0，解得x≤－1或x≥2， 所以当a＝1时，ax2－2≥2x－ax的解集为{x|x≤－1，或x≥2}． (2)ax2－2≥2x－ax可化为ax2＋(a－2)x－2≥0， 当a＝0时，不等式可化为－2x－2≥0，则x≤－1； 当a≠0时，不等式可化为(ax－2)(x ＋1)≥0， 当a>0时，不等式进一步化为(x－ eq \f(2,a))(x＋1)≥0，所以x≥ eq \f(2,a)或x≤－1； 当a<0时，不等式进一步化为(x－ eq \f(2,a))(x＋1)≤0， 当－2<a<0时， eq \f(2,a)<－1，所以 eq \f(2,a)≤x≤－1； 当a＝－2时， eq \f(2,a)＝－1，所以x＝－1； 当a<－2时， eq \f(2,a)>－1，所以－1≤x≤ eq \f(2,a)； 综上，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a>0时，不等式的解集为{x|x≥ eq \f(2,a)，或x≤－1}； 当－2<a<0时，不等式的解集为{x| eq \f(2,a)≤x≤－1}； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a<－2时，不等式的解集为{x|－1≤x≤ eq \f(2,a)}． 18．(17分)国际上钻石的质量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其质量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54 000美元． (1)写出钻石的价值y关于钻石质量x的关系式； (2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的质量分别为m克拉和n克拉，试证明：当m＝n时，价值损失的百分率最大． (注：价值损失的百分率＝ eq \f(原有价值－现有价值,原有价值) ×100%；在切割过程中的质量损耗忽略不计) 解：(1)由题意可设价值与质量的关系式为y＝kx2， 因为3克拉的钻石的价值是54 000美元， 所以54 000＝k·32，解得k＝6 000， 所以钻石的价值与质量的关系式为y＝6 000x2. (2)证明：两颗钻石的质量分别为m，n克拉，则原有价值是6 000(m＋n)2， 现有价值是6 000m2＋6 000n2， 价值损失的百分率为 eq \f(6 000(m＋n)2－6 000m2－6 000n2,6000(m＋n)2)×100%＝ eq \f(2mn,(m＋n)2)×100%≤＝ eq \f(1,2)， 当且仅当m＝n时，等号成立． 所以当m＝n时，价值损失的百分率最大． 19．(17分)某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容： 例：求x3－3x(x>0)的最小值． 解：利用基本不等式a＋b＋c≥3 eq \r(3,abc)(a，b，c>0)，得到x3＋1＋1≥3x，于是x3－3x＝x3＋1＋1－3x－2≥3x－3x－2＝－2， 当且仅当x＝1时，取到最小值－2. (1)老师请你模仿例题，研究x4－4x(x>0)的最小值；(提示：a＋b＋c＋d≥4 eq \r(4,abcd)(a ，b, c，d>0)) (2)研究 eq \f(1,9)x3－3x(x>0)的最小值； (3)当a>0时，求x3－ax(x>0)的最小值． 解：(1)由x>0，结合提示可得x4＋1＋1＋1≥4 eq \r(4,x4)＝4x，当且仅当x＝1时取等号， 所以x4－4x＝x4＋1＋1＋1－4x－3≥4x－4x－3＝－3， 当且仅当x＝1时，等号成立， 所以当x＝1时，x4－4x(x>0)取最小值，最小值为－3. (2)由x>0， eq \f(1,9)x3＝ eq \f(1,9)x3＋3＋3－6≥3 eq \r(3,\f(1,9)x3×3×3)－6＝3x－6， 当且仅当x＝3时等号成立， 所以 eq \f(1,9)x3－3x≥－6，当且仅当x＝3时，等号成立， 所以 eq \f(1,9)x3－3x(x>0)的最小值为－6. (3)由a>0，x>0，知x3＝x3＋ eq \f(a\r(a),3\r(3))＋ eq \f(a\r(a),3\r(3))－ eq \f(2a\r(3a),9)≥3－ eq \f(2a\r(3a),9)＝ax－ eq \f(2a\r(3a),9)， 当且仅当x3＝ eq \f(a\r(a),3\r(3))时，即x＝ eq \f(\r(3a),3)时，等号成立， 所以x3－ax≥－ eq \f(2a\r(3a),9)，当且仅当x＝ eq \f(\r(3a),3)时，等号成立， 所以当x＝ eq \f(\r(3a),3)时，x3－ax(x>0)取到最小值，最小值为 eq \f(－2a\r(3a),9). $