5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦必修一第五章三角函数，支持PPT任意编辑（双击内容进入word文档编辑），以“合作探究—知识梳理—典例研析”为学习支架，帮助学生构建从问题探究到知识内化的学习脉络。 其亮点在于通过“合作探究”任务培养数学眼光（创新意识），“典例研析”提升数学思维（推理能力），“课后分层练”（如16道分层题目）强化数学语言表达（应用意识）。采用进阶式设计，学生能深化理解，教师可灵活编辑课件提高教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第五章 三角函数 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 34 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.5　三角恒等变换 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式 学习目标　1.用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，提升逻辑推理素养．(重点)2．能熟练运用二倍角的正弦、余弦、正切公式化简、求值和证明，提升数学运算素养．(重点、难点) 　二倍角的正弦、余弦、正切公式 问题1　在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α＝β，你能得出什么结论？ 提示：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α，tan2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α). 问题2　由正、余弦的二倍角公式如何推导正切的二倍角公式？ 提示：tan2α＝ eq \f(2sin αcos α,cos2α－sin2α)＝ eq \f(2tanα,1－tan2α). 1．二倍角公式 三角函数 公式 简记 正弦 sin2α＝ S2α 余弦 cos 2α＝cos2α－sin2α＝ ＝ C2α 正切 tan2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α) T2α 2sin αcos α 2cos2α－1 1－2sin2α 温馨提示 证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可. 2．二倍角公式的变式 (1)逆用：2sin αcos α＝sin 2α，2cos2α－1＝cos2α，1－2sin2α＝cos2α； (2)变形： ①cos2α＝ eq \f(1＋cos2α,2)，sin2α＝ eq \f(1－cos2α,2)； ②1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α. 例1　(链接教材：人教A版P223练习5) 求下列各式的值： (1)sin eq \f(π,12)cos eq \f(π,12)； (2)1－2sin2750°； (3) eq \f(2tan150°,1－tan2150°)； (4)cos20°cos 40°cos 80°. 解：(1)原式＝ eq \f(2sin \f(π,12)cos \f(π,12),2)＝ eq \f(sin \f(π,6),2)＝ eq \f(1,4). (2)原式＝cos (2×750°)＝cos 1 500°＝cos (4×360°＋60°)＝cos 60°＝ eq \f(1,2). (3)原式＝tan (2×150°)＝tan 300°＝tan (360°－60°)＝－tan 60°＝－ eq \r(3). (4)原式＝ eq \f(2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°,2sin 20°)＝ eq \f(2sin 40°·cos 40°·cos 80°,4sin 20°)＝ eq \f(2sin 80°·cos 80°,8sin 20°)＝ eq \f(sin 160°,8sin 20°)＝ eq \f(1,8). 类题通法 给角求值问题的两类解法 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 【迁移运用】 求下列各式的值： (1)cos eq \f(8π,7)·cos eq \f(16π,7)·cos eq \f(32π,7)； (2) eq \f(cos \f(5π,16),sin \f(π,16))－ eq \f(sin \f(5π,16),cos \f(π,16)). 解：(1)cos eq \f(8π,7)·cos eq \f(16π,7)·cos eq \f(32π,7)＝－cos eq \f(π,7)·cos eq \f(2π,7)·cos eq \f(4π,7) ＝－ eq \f(2sin \f(π,7)cos \f(π,7)cos \f(2π,7)cos \f(4π,7),2sin \f(π,7))＝－ eq \f(2sin \f(2π,7)cos \f(2π,7)cos \f(4π,7),4sin \f(π,7)) ＝－ eq \f(2sin \f(4π,7)cos \f(4π,7),8sin \f(π,7))＝－ eq \f(sin \f(8π,7),8sin \f(π,7))＝ eq \f(1,8). (2) eq \f(cos \f(5π,16),sin \f(π,16))－ eq \f(sin \f(5π,16),cos \f(π,16))＝ eq \f(cos \f(5π,16)cos \f(π,16)－sin \f(5π,16)sin \f(π,16),sin \f(π,16)cos \f(π,16)) ＝ eq \f(cos \f(3π,8),\f(1,2)sin \f(π,8))＝2· eq \f(cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,8))),sin \f(π,8)) ＝ eq \f(2sin \f(π,8),sin \f(π,8))＝2. 　正弦、余弦、正切的二倍角公式的应用 几种公式的灵活应用 ①sin 2x＝cos ( eq \f(π,2)－2x)＝cos [2( eq \f(π,4)－x)]＝2cos2( eq \f(π,4)－x)－1＝1－2sin2( eq \f(π,4)－x). ②cos2x＝sin ( eq \f(π,2)－2x)＝sin [2( eq \f(π,4)－x)]＝2sin ( eq \f(π,4)－x)cos ( eq \f(π,4)－x). 角度一　利用二倍角公式解决条件求值问题 例2　(链接教材：人教A版P221例5)已知sin ( eq \f(π,4)－x)＝ eq \f(5,13)，0<x< eq \f(π,4)，求sin (2x＋ eq \f(π,2))的值． 解：∵0<x< eq \f(π,4)，∴ eq \f(π,4)－x∈(0， eq \f(π,4)). 又sin ( eq \f(π,4)－x)＝ eq \f(5,13)，∴cos ( eq \f(π,4)－x)＝ eq \f(12,13). ∵cos 2x＝sin ( eq \f(π,2)－2x)＝2sin ( eq \f(π,4)－x)cos ( eq \f(π,4)－x)＝2× eq \f(5,13)× eq \f(12,13)＝ eq \f(120,169)， ∴sin (2x＋ eq \f(π,2))＝cos 2x＝ eq \f(120,169). 变式探究　(一题多解)若本例条件不变，求 eq \f(cos 2x,cos \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))的值． 解：(方法一)∵0<x< eq \f(π,4)，∴ eq \f(π,4)－x∈(0， eq \f(π,4)). 又sin ( eq \f(π,4)－x)＝ eq \f(5,13)，∴cos ( eq \f(π,4)－x)＝ eq \f(12,13). ∵cos 2x＝sin ( eq \f(π,2)－2x)＝2sin ( eq \f(π,4)－x)cos ( eq \f(π,4)－x)＝2× eq \f(5,13)× eq \f(12,13)＝ eq \f(120,169)，cos ( eq \f(π,4)＋x)＝sin [ eq \f(π,2)－( eq \f(π,4)＋x)]＝sin ( eq \f(π,4)－x)＝ eq \f(5,13)，∴原式＝ eq \f(\f(120,169),\f(5,13))＝ eq \f(24,13). (方法二)原式＝ eq \f(cos2x－sin2x,\f(\r(2),2)cosx－\f(\r(2),2)sin x)＝ eq \f((cos x＋sin x)(cos x－sin x),\f(\r(2),2)(cos x－sin x))＝ eq \r(2)(cos x＋sin x). 由已知得 eq \f(\r(2),2)cos x－ eq \f(\r(2),2)sin x＝ eq \f(5,13)， ∴cos x－sin x＝ eq \f(5\r(2),13)，因此(cos x－sin x)2＝ eq \f(50,169)， 即1－sin 2x＝ eq \f(50,169)， ∴sin 2x＝ eq \f(119,169)，因此1＋sin 2x＝ eq \f(288,169)，即(cos x＋sin x)2＝ eq \f(288,169)，而0<x< eq \f(π,4)， ∴cos x＋sin x＝ eq \f(12\r(2),13)， 故原式＝ eq \r(2)× eq \f(12\r(2),13)＝ eq \f(24,13). 类题通法 条件求值问题常有两种解题途径 (1)对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢． (2)对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论． 角度二　利用倍角公式化简与证明 例3　(1)(一题多解)化简sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－ eq \f(1,2)cos2α·cos 2β. 解：方法一(从“角”入手，“倍角”变“单角”)： 原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－ eq \f(1,2)(2cos2α－1)·(2cos2β－1) ＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－ eq \f(1,2)(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1) ＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－ eq \f(1,2) ＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－ eq \f(1,2)＝sin2β＋cos2β－ eq \f(1,2)＝ eq \f(1,2). 方法二(从“名”入手，“异名”化“同名”)： 原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－ eq \f(1,2)cos2αcos 2β ＝sin2α(sin2β－cos2β)＋cos2β－ eq \f(1,2)cos2αcos 2β ＝cos2β－sin2αcos2β－ eq \f(1,2)(1－2sin2α)cos2β ＝cos2β－ eq \f(1,2)cos2β＝cos2β－ eq \f(1,2)(2cos2β－1)＝ eq \f(1,2). 方法三(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)： 原式＝ eq \f(1－cos2α,2)· eq \f(1－cos 2β,2)＋ eq \f(1＋cos 2α,2)· eq \f(1＋cos 2β,2)－ eq \f(1,2)cos 2α·cos 2β ＝ eq \f(1,4)×(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ eq \f(1,4)×(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－ eq \f(1,2)cos 2α·cos 2β＝ eq \f(1,2). (2)求证： eq \f(1＋sin 2θ－cos 2θ,1＋sin 2θ＋cos 2θ)＝tan θ. 证明：左边＝ eq \f(1－cos 2θ＋sin 2θ,1＋cos 2θ＋sin 2θ)＝ eq \f(2sin2θ＋2sinθcos θ,2cos2θ＋2sinθcos θ) ＝ eq \f(2sin θ(sin θ＋cos θ),2cos θ(cos θ＋sin θ))＝ eq \f(sin θ,cos θ)＝tan θ＝右边， 所以等式成立． 类题通法 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法：左边－右边＝0，＝1；③分析法：从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件． 1．(2025·北京期中)已知sin α＝ eq \f(3,5)，则sin ( eq \f(π,2)－2α)＝(　　 ) A．－ eq \f(3,5) B． eq \f(4,5) C． eq \f(7,25) D． eq \f(14,25) 解析：选C.sin ( eq \f(π,2)－2α)＝cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×( eq \f(3,5))2＝ eq \f(7,25). 2．化简： eq \f(cos40°,cos 25°\r(1－cos 50°))＝(　　 ) A． eq \r(2) B．2 eq \r(2) C． eq \r(3) D． eq \r(3)－1 解析：选A. eq \f(cos 40°,cos 25°\r(1－cos 50°))＝ eq \f(cos (90°－50°),cos 25°\r(1－(1－2sin225°)))＝ eq \f(sin50°,\r(2)cos 25°sin 25°)＝ eq \f(2sin 50°,\r(2)sin 50°)＝ eq \r(2). 3．若 eq \f(4tan α,1－tan2α)＝2024，则tan 2α＝________． 解析：因为 eq \f(4tan α,1－tan2α)＝2024，所以2tan 2α＝2 024，所以tan 2α＝1 012. 答案：1 012 4．已知cos eq \f(α,4)＝ eq \f(3,5)，0<α<2π，求sin eq \f(α,2)，cos eq \f(α,2)，tan eq \f(α,2)的值． 解：由0<α<2π，得0< eq \f(α,4)< eq \f(π,2)，所以sin eq \f(α,4)＝ eq \f(4,5)， 所以sin eq \f(α,2)＝2sin eq \f(α,4)cos eq \f(α,4)＝2× eq \f(4,5)× eq \f(3,5)＝ eq \f(24,25)； cos eq \f(α,2)＝cos2 eq \f(α,4)－sin2 eq \f(α,4)＝( eq \f(3,5))2－( eq \f(4,5))2＝－ eq \f(7,25)； tan eq \f(α,2)＝ eq \f(sin \f(α,2),cos \f(α,2))＝ eq \f(\f(24,25),－\f(7,25))＝－ eq \f(24,7). 万能公式 (链接教材：人教A版P226练习1) (1)sin 2α＝ eq \f(2tan α,1＋tan2α)； (2)cos2α＝ eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)； (3)tan2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α). 名师点拨 由公式可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值，因此以上公式称为万能公式． 【基础巩固】 1．计算 eq \f(sin 20°cos 20°,cos2155°－sin2155°)的值是(　　) A． eq \f(1,2) B．－ eq \f(1,2) C． eq \f(\r(3),2) D．－ eq \f(\r(3),2) 解析：选A.原式＝ eq \f(\f(1,2)sin 40°,cos 310°)＝ eq \f(\f(1,2)sin 40°,cos 50°)＝ eq \f(\f(1,2)sin 40°,sin 40°)＝ eq \f(1,2). 2．已知sin θ＝ eq \f(\r(3),3)，则sin (θ＋ eq \f(π,4))cos (θ＋ eq \f(π,4))＝(　　 ) A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,6) C． eq \f(1,8) D． eq \f(1,12) 解析：选B.sin (θ＋ eq \f(π,4))cos (θ＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(1,2)sin (2θ＋ eq \f(π,2))＝ eq \f(1,2)cos 2θ＝ eq \f(1,2)(1－2sin2θ)＝ eq \f(1,2)×(1－2× eq \f(1,3))＝ eq \f(1,6). 3． eq \r(1＋cos100°)－ eq \r(1－cos 100°)＝(　　 ) A．－2cos 5° B．2cos 5° C．－2sin 5° D．2sin 5° 解析：选C.原式＝ eq \r(2cos250°)－ eq \r(2sin250°)＝ eq \r(2)(cos50°－sin 50°)＝2( eq \f(\r(2),2)cos 50°－ eq \f(\r(2),2)sin 50°)＝2sin (45°－50°)＝－2sin 5°. 4．已知α∈(0，π)，且cos (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(1,3)，则cos 2α＝(　　 ) A． eq \f(4\r(2),9) B．± eq \f(4\r(2),9) C． eq \f(7,9) D．± eq \f(7,9) 解析：选A.因为α∈(0，π)，cos (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(1,3)>0，所以α＋ eq \f(π,4)∈( eq \f(π,4)， eq \f(π,2))，则sin (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \r(1－cos2(α＋\f(π,4)))＝ eq \f(2\r(2),3)，则cos2α＝cos [2(α＋ eq \f(π,4))－ eq \f(π,2)]＝sin [2(α＋ eq \f(π,4))]＝2sin (α＋ eq \f(π,4))·cos (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(4\r(2),9). 5．已知sin 2α＝ eq \f(3,4)，且 eq \f(π,4)<α< eq \f(π,2)，则cos (α＋ eq \f(π,4))的值为(　　 ) A．－ eq \f(1,4) B． eq \f(1,4) C．－ eq \f(\r(2),4) D．－ eq \f(\r(3),4) 解析：选C.因为 eq \f(π,4)<α< eq \f(π,2)，所以sin α>cos α，即cos α－sin α<0，又sin 2α＝ eq \f(3,4)，则cos (α＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(\r(2),2)(cos α－sin α)＝－ eq \f(\r(2),2) eq \r((cos α－sin α)2)＝－ eq \f(\r(2),2) eq \r(1－sin 2α)＝－ eq \f(\r(2),2) eq \r(1－\f(3,4))＝－ eq \f(\r(2),4). 6．(数学文化)数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝ eq \f(\r(5)－1,2)的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则 eq \f(m\r(4－m2),2cos227°－1)等于(　　) A．4 B． eq \r(5)＋1 C．2 D． eq \r(5)－1 解析：选C.依题意，m＝ eq \f(\r(5)－1,2)＝2sin 18°， 所以 eq \f(m\r(4－m2),2cos227°－1)＝ eq \f(2sin18°\r(4－(2sin 18°)2),2cos227°－1)＝ eq \f(2sin18°\r(4cos218°),2cos227°－1) ＝ eq \f(4sin18°cos 18°,cos (2×27°))＝ eq \f(2sin 36°,cos 54°)＝ eq \f(2sin 36°,cos (90°－36°))＝ eq \f(2sin 36°,sin 36°)＝2. 7．(多选)下列计算正确的是(　　 ) A．sin 75°cos 15°－cos 75°sin 15°＝ eq \f(\r(3),2) B． eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝1 C．cos422.5°－sin422.5°＝ eq \f(\r(2),2) D．sin215°＋sin275°＋sin15°sin 75°＝ eq \f(3,2) 解析：选AC.sin 75°cos 15°－cos 75°sin 15°＝sin (75°－15°)＝sin 60°＝ eq \f(\r(3),2)，故A正确； eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝ eq \f(1,2)× eq \f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝ eq \f(1,2)tan45°＝ eq \f(1,2)，故B错误； cos422.5°－sin422.5°＝(cos222.5°＋sin222.5°)(cos222.5°－sin222.5°)＝cos45°＝ eq \f(\r(2),2)，故C正确； sin215°＋sin275°＋sin15°sin 75°＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos 15°＝1＋ eq \f(1,2)sin 30°＝ eq \f(5,4)，故D错误． 8．已知sin (α＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(3,5)，则sin (2α＋ eq \f(π,6))＝________． 解析：由sin (α＋ eq \f(π,3))＝ eq \f(3,5)，则cos (2α＋ eq \f(2π,3))＝cos [2(α＋ eq \f(π,3))]＝1－2sin2(α＋ eq \f(π,3))＝1－2×( eq \f(3,5))2＝ eq \f(7,25)，又sin(2α＋ eq \f(π,6))＝sin (－ eq \f(π,2)＋2α＋ eq \f(2π,3))＝－cos (2α＋ eq \f(2π,3))＝－ eq \f(7,25). 答案：－ eq \f(7,25) 9．已知tan α，tan β是一元二次方程x2－3x－3＝0的两个实数根，tan (2α＋2β)＝________． 解析：tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两个实数根， 则有tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝－3， 因此tan (α＋β)＝ eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝ eq \f(3,4)，tan (2α＋2β)＝ eq \f(2tan (α＋β),1－tan2(α＋β))＝ eq \f(\f(3,2),1－\f(9,16))＝ eq \f(24,7). 答案： eq \f(24,7) 10．已知tanα＝ eq \f(1,7)，tan β＝ eq \f(1,3)，且α，β都是锐角． (1)求sin 2α的值； (2)求α＋2β的值． 解：(1)由tan α＝ eq \f(1,7)，得sin 2α＝ eq \f(2sin αcos α,sin2α＋cos2α)＝ eq \f(2tanα,1＋tan2α)＝ eq \f(2·\f(1,7),1＋(\f(1,7))2)＝ eq \f(7,25). (2)由tanβ＝ eq \f(1,3)，得tan 2β＝ eq \f(2tan β,1－tan2β)＝ eq \f(2×\f(1,3),1－\f(1,9))＝ eq \f(3,4)，而tanα＝ eq \f(1,7)， 因此tan (α＋2β)＝ eq \f(tan α＋tan 2β,1－tan αtan 2β)＝ eq \f(\f(1,7)＋\f(3,4),1－\f(1,7)×\f(3,4))＝1， 又α，β为锐角，且tan α＝ eq \f(1,7)<1，tan β＝ eq \f(1,3)<1，则0<α< eq \f(π,4)，0<β< eq \f(π,4)， 因此0<α＋2β< eq \f(3π,4)，所以α＋2β的值是 eq \f(π,4). 【综合运用】 11．(多选)已知0<β<α< eq \f(π,4)，且sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，tan α＝5tan β，则(　　 ) A．sin αcos β＝ eq \f(5,6) B．sin βcos α＝ eq \f(1,12) C．sin 2αsin 2β＝ eq \f(5,36) D．α＋β＝ eq \f(π,6) 解析：选BCD.∵tan α＝5tan β，即 eq \f(sin α,cos α)＝ eq \f(5sin β,cos β)， ∴sin αcos β＝5cos αsin β， ∴sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝4cos αsin β＝ eq \f(1,3)， ∴cos αsin β＝ eq \f(1,12)，B选项正确， ∴sin αcos β＝ eq \f(5,12)，A选项错误， ∴sin 2αsin 2β＝2sin αcos α×2sin βcos β＝4sin αcos βsin βcos α＝4× eq \f(5,12)× eq \f(1,12)＝ eq \f(5,36)，C选项正确； sin (α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝ eq \f(5,12)＋ eq \f(1,12)＝ eq \f(1,2)， ∵0<β<α< eq \f(π,4)，∴0<β＋α< eq \f(π,2)，∴α＋β＝ eq \f(π,6)，D选项正确． 12．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝ eq \f(1,3)，cos αsin β＝ eq \f(1,6)，则cos (2α＋2β)＝(　　 ) A． eq \f(7,9) B． eq \f(1,9) C．－ eq \f(1,9) D．－ eq \f(7,9) 解析：选B.因为sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ eq \f(1,3)，而cos αsin β＝ eq \f(1,6)，因此sin αcos β＝ eq \f(1,2)， 则sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝ eq \f(2,3)， 所以cos (2α＋2β)＝cos [2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×( eq \f(2,3))2＝ eq \f(1,9). 13．(2025·宁夏银川阶段练习) eq \f(sin50°\r(1－cos 80°),\r(2)cos 10°)＝________． 解析： eq \f(sin 50°\r(1－cos 80°),\r(2)cos 10°)＝ eq \f(sin 50°\r(2sin240°),\r(2)cos10°)＝ eq \f(sin 50°sin 40°,cos 10°)＝ eq \f(cos 40°sin 40°,cos 10°)＝ eq \f(sin 80°,2cos 10°)＝ eq \f(cos 10°,2cos 10°)＝ eq \f(1,2). 答案： eq \f(1,2) 14．已知α为锐角，且tan eq (\f(π,4)＋α)＝3. (1)求tan α的值； (2)求 eq \f(\r(2)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))cos α－sin α,cos 2α)的值． 解：(1)因为tan eq (\f(π,4)＋α)＝3， 所以 eq \f(tan \f(π,4)＋tan α,1－tan \f(π,4)tan α)＝3，即 eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝3，解得tan α＝ eq \f(1,2). (2) eq \f(\r(2)sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,4)))cos α－sin α,cos 2α) ＝ eq \f(cos α(sin 2α＋cos 2α)－sin α,cos 2α) ＝ eq \f(2cos2αsinα＋cos 2αcos α－sin α,cos 2α)＝ eq \f(cos 2α(cos α＋sin α),cos 2α)＝cos α＋sin α. 因为α为锐角且tan α＝ eq \f(1,2)， 所以cos α＝2sin α. 由sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝ eq \f(1,5)， 所以sinα＝ eq \f(\r(5),5)，cos α＝ eq \f(2\r(5),5)， 可得cos α＋sin α＝ eq \f(3\r(5),5)，即原式＝ eq \f(3\r(5),5). 【创新探索】 15．(数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央．出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思为今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少？假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论： ①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③tan eq \f(θ,2)＝ eq \f(2,3)；④tan (θ＋ eq \f(π,4))＝－ eq \f(17,7). 其中所有正确结论的编号是(　　 ) A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 解析：选B.设BC＝x，则AC＝x＋1， 因为AB＝5，所以52＋x2＝(x＋1)2，所以x＝12，即水深为12尺，故芦苇长为13尺， 所以tan θ＝ eq \f(12,5).由tan θ＝ eq \f(2tan \f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))，解得tan eq \f(θ,2)＝ eq \f(2,3)(负值已舍去). 因为tan θ＝ eq \f(12,5)，所以tan (θ＋ eq \f(π,4))＝ eq \f(1＋tan θ,1－tan θ)＝－ eq \f(17,7).故正确结论的编号为①③④. 16．(2025·江苏徐州期中)由两角和差公式我们得到倍角公式cos 2θ＝2cos2θ－1，实际上cos3θ也可以表示为cos θ的三次多项式． (1)试用cos θ表示cos 3θ； (2)求sin eq \f(π,10)的值． 解：(1)cos 3θ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋θ))＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ＝(2cos2θ－1)cosθ－2sin2θcosθ＝2cos3θ－cosθ－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－cos2θ))cosθ＝4cos3θ－3cosθ. (2)由(1)得cos eq \f(3π,10)＝cos eq (3×\f(π,10))＝4cos3 eq \f(π,10)－3cos eq \f(π,10)＝sin eq \f(2π,10)＝2sin eq \f(π,10)cos eq \f(π,10)， 而cos eq \f(π,10)>0，所以4cos2 eq \f(π,10)－3＝2sin eq \f(π,10)， 所以4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－sin2\f(π,10)))－3＝2sin eq \f(π,10)，即4sin2 eq \f(π,10)＋2sin eq \f(π,10)－1＝0，所以sin eq \f(π,10)＝ eq \f(\r(5)－1,4). $