5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式-【金版新学案】2025-2026学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正切公式，通过问题导思利用已学的正弦、余弦公式推导公式，衔接前后知识，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生理解公式来源与结构特征。 其亮点是以问题链引导公式推导，结合tan255°求值、给值求角等例题培养逻辑推理和数学运算核心素养，规律方法总结助力学生掌握应用技巧，学生可提升推理运算能力，教师拥有系统的例题和评价资源便于教学。

　 第五章 单元学习十五　三角恒等变换 5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第3课时　两角和与差的正切公式 学习目标 1. 能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，培养逻辑推理的核心素养. 2. 能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值. 3. 熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用，培养数学运算的核心素养. 任务一　两角和与差的正切公式 1 任务二　给值求值问题 2 任务三　给值求角问题 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　两角和与差的正切公式 返回 (阅读教材P218，完成探究问题1、2) 问题1．你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示：tan(α＋β)＝＝.tan(α－β)＝＝. 问题2．如何由两角和的正切公式得到两角差的正切公式？ 提示：以－β代替tan(α＋β)中的β. 问题导思 1.两角和与差的正切公式 新知构建 名称 简记符号 公式 适用条件 两角和的 正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan αtan β≠1 两角差的 正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan αtan β≠－1 2.两角和与差的正切公式的变形与特例 (1)变形公式： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－. (2)公式的特例：tan＝；tan＝. 公式的结构特征及符号特征 (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. (2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 微提醒 (1)tan 255°等于 A.－2－ B.－2＋ C.2－ D.2＋ 典例1 tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75° ＝tan(45°＋30°)＝＝2＋.故选D. √ (2)化简等于 A. B. C.3 D.1 √ ＝＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝.故选B. (3)求值：tan 23°＋tan 37°＋tan 23° tan 37°＝_____. 因为tan 23°＋tan 37°＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)，所以原式＝－tan 23°tan 37°＋tan 23°tan 37°＝. 规律方法 正切公式的应用技巧 1.先从所要化简式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用公式，并注意整体代换. 2.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用，如“1＝tan＝tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而进行化简求值. 3.整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式. 对点练1．求值：(1)(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝____. (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋(tan 18°＋tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°＝2. 2 (2)＝____. －1 原式＝＝＝＝－1. 返回 任务二　给值求值问题 返回 (1)若tan(α－β)＝，tan(α＋2β)＝，则tan(2α＋β)＝ A. B. C. D. 典例2 √ tan(2α＋β)＝tan[(α－β)＋(α＋2β)]＝＝＝.故选A. (2)已知sin α＝，α∈，则tan＝ A.－7 B.7 C.－ D. √ 由题意得cos α＝－＝－，tan α＝＝－，则tan(－α)＝＝＝7.故选B. 规律方法 给值求值的解题策略 　　观察题目所给条件，运用同角三角函数的基本关系式直接求解得到对应角的正切值，然后运用正切的差角公式计算.同时要注意角的象限，正确判断三角函数值的正负. 对点练2．(1)已知tan α＋tan β＝3，sin(α＋β)＝2sin αsin β，则tan(α＋β)＝ A.4 B.6 C.－ D.－6 √ 已知sin(α＋β)＝2sin αsin β，则sin αcos β＋cos αsin β＝2sin αsin β，即tan α＋tan β＝2tan αtan β.又tan α＋tan β＝3，则tan αtan β＝，则tan(α＋β) ＝＝＝－6.故选D. (2)若tan＝，则tan α＝_____. 返回 tan α＝tan＝＝＝. 任务三　给值求角问题 返回 已知在平面直角坐标系中，α∈(0，2π)，其终边经过点P，求α的值. 解：由题意得tan α＝＝＝－＝－tan＝－tan ＝－. 因为sin －cos ＜0，sin ＋cos ＞0，α∈(0，2π)，所以α∈.所以α＝. 典例3 规律方法 解决给值求角问题的方法 　　关于求角问题，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出角的值. 对点练3．(1)在△ABC中，已知tan B＝，tan A＝，则C＝ A. B. C. D. 由题意得tan(A＋B)＝＝＝1，所以tan C＝tan[π－(A＋B)] ＝－tan(A＋B)＝－1.又C∈(0，π)，所以C＝.故选C. √ (2)已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，且α，β∈，则α＋β＝______. － 因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两个根，所以tan α＋tan β＝ －3，tan αtan β＝4，所以tan α＜0，tan β＜0.又因为α，β∈ ，所以α，β∈，所以α＋β∈(－π，0).所以tan(α＋β)＝＝＝，所以α＋β＝－. 课堂小结 任务再现 (1)两角和与差的正切公式.(2)给值求值问题．(3)给值求角问题 方法提炼 公式法、转化法 误区警示 公式中加减符号易记错 返回 随堂评价 返回 1.已知tan α＝－，则tan等于 A.－ B.－5 C. D.5 √ tan＝＝＝5.故选D. 2.已知α，β均为锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β＝___. tan(α＋β)＝＝＝1，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝. 3.已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β＝____. 由题意得tan α＝，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3. 3 4.＝_______. ＝＝＝tan(15°－45°)＝tan(－30°) ＝－tan 30°＝－. － 返回 课时分层评价 返回 1.tan＝，则tan(2 026π－α)＝ A.－ B. C. D.－ 由题意得tan＝＝，解得tan α＝－，故tan(2 026π－α)＝－tan α＝.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.化简的值等于 A.tan 42° B.tan 3° C.1 D.tan 24° √ 因为tan 60°＝，所以原式＝＝tan(60°－18°)＝tan 42°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于 A. B.2 C.1＋ D.不确定 √ 因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝＝－1，所以tan α＋tan β＝tan α·tan β－1，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.tan 18°tan 42°－tan 162°＋tan 42°＝ A. B.－ C. D.－ 原式＝tan 18°tan 42°＋tan 18°＋tan 42°＝tan 18°tan 42°＋tan(18°＋42°)(1－tan 18°tan 42°)＝tan 18°tan 42°＋(1－tan 18°tan 42°)＝.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知cos α＝－，则tan的可能取值为 A.－ B.－7 C. D.7 √ 因为cos α＝－，所以sin α＝±＝±，所以tan α＝±.当tan α＝时，tan(－α)＝＝；当tan α＝－时，tan＝＝7.故选CD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式中正确的是 A.A＋B＝2C B.tan(A＋B)＝－ C.tan A＝tan B D.cos B＝sin A √ √ 因为C＝120°，所以A＋B＝60°，所以2(A＋B)＝C，所以tan(A＋B)＝，所以A、B错误；因为tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝，所以tan A·tan B＝①，又tan A＋tan B＝②，所以联立①②解得tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故C、D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为____. tan(α＋β)＝＝＝1.又α，β都是锐角，知0＜α＋β＜π， 故α＋β＝. . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝_____. 因为2tan θ－tan＝7，所以2tan θ－＝7，即2tan θ－2tan2θ－tan θ－1＝7－7tan θ，即2tan2θ－8tan θ＋8＝0，即2(tan θ－2)2＝0，解得tan θ＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.tan＋tantantan＝____. tan＋tantantan＝tantantan＝＋tantan＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(10分)已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； 解：因为tan＝2， 所以＝2， 所以＝2，解得tan α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求的值. 解：因为tan α＝，tan β＝， 所以原式＝ ＝＝ ＝tan(β－α)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ(0°≤θ≤180°)的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一表高两次测量，第一次和第二次的太阳天顶距分别为α和β，若第一次测得晷影长是表高的3倍，且tan(α－β)＝，则第二次测量的晷影长是表高的 A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得tan α＝3，tan(α－β)＝，所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝，即第二次测量的晷影长是表高的倍.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知tan α＝lg(10a)，tan β＝lg，且α＋β＝，则实数a的值可以为 A.1 B.10 C. D. 因为α＋β＝，所以tan(α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg(10a)＋lg＝1－lg(10a)lg，1＝1－lg(10a)lg，所以lg(10a)lg＝0，所以lg(10a)＝0或lg＝0，解得a＝或a＝1.故选AC. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan ∠BAC＝______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，所以tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(10分)已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、三象限角，求tan 的值. 解：因为sin＝，且α－为第二象限角，所以cos＝－＝ －. 又cos＝－，且－β为第三象限角， 所以sin＝－＝－. 所以tan＝－，tan＝， 所以tan ＝tan＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)若tan(α－β)＝，tan β＝－，α，β∈(0，π)，则2α－β＝_____. 因为tan(α－β)＝，tan β＝－， 所以tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝＝＝＜1. 因为α∈(0，π)，所以0＜α＜，0＜2α＜. 又tan β＝－＜0，β∈(0，π)， － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0. 又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝＝＝1， 所以2α－β＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(15分)求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)的值. 解：tan 45°＝tan[θ＋(45°－θ)] ＝＝1， 整理得tan θtan(45°－θ)＋[tan θ＋tan(45°－θ)]＝1， 则(1＋tan θ)[1＋tan(45°－θ)]＝tan θ·tan(45°－θ)＋[tan θ＋tan(45°－θ)]＋1＝2， 所以(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]…[(1＋tan 22°)·(1＋tan 23°)]＝2×…×2＝222. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 第五章 三角函数 返回 $