5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦三角函数，以“自主学习-合作探究-学以致用-课后分层练”为主线，通过知识梳理、典例研析搭建学习支架，帮助学生衔接新知与旧知，构建系统知识体系。 其亮点在于支持PPT任意编辑，结合探究任务引导数学思维，通过函数表达式y=1-1/2cosx及坐标轴刻度标注强化数学语言表达，分层练习适配不同学情。学生能提升探究能力，教师可高效开展个性化教学。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第五章 三角函数 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 自主学习·新知感悟 自主学习·新知感悟 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.4　三角函数的图象与性质 5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 学习目标　1.了解借助单位圆和三角函数定义作正弦函数图象的方法，提升数学抽象素养．(重点、难点)　2.理解y＝sin x与y＝cos x图象之间的关系，能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦函数的图象，提升直观想象素养．(重点)　3.会利用正弦(余弦)函数的图象解决简单的问题，提升数学运算素养．(重点) 你正在海边度假，海浪有规律地拍打着沙滩．我们把海浪的起伏看作一种周期性的运动，以海平面为基准线，设海浪的高度随时间t的变化关系可以用函数来表示． 问题1　如果用数学函数来描述海浪高度的变化，你觉得正弦函数和余弦函数哪一个更合适？为什么？ 提示：正弦函数和余弦函数都具有周期性，而海浪的运动是典型的周期运动．因为正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的图象都是呈周期性波动的曲线，参考初始时刻海浪的高度来选择哪个函数． 问题2　在这个海浪的情境中，你认为哪些量比较特殊？ 提示：海浪完成一次完整起伏所需要的时间；海浪偏离海平面的最大高度，也就是海浪的最大起伏程度． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P196～198，分析思考：教材探究正、余弦函数图象的过程？ 提示：先结合三角函数的定义利用单位圆作正弦函数[0，2π]上的图象，再利用诱导公式一扩展到实数集上，最后结合诱导公式五平移函数图象得到余弦函数图象． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)正弦函数y＝sin x的图象关于x轴对称．(　　 ) (2)函数y＝sin x与y＝sin (－x)的图象完全相同．(　　 ) (3)余弦函数y＝cos x的图象与x轴有无数个交点．(　　 ) (4)函数y＝cos x的图象与y＝sin x的图象形状和位置不一样．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　正弦函数、余弦函数的图象 问题3　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)? 提示：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0). 问题4　根据函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，你能想象y＝sin x，x∈R的图象吗？ 提示：根据诱导公式一，把x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，得y＝sin x，x∈R的图象． 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 R R 值域 [－1，1] [－1，1] ( eq \f(π,2)，0) ( eq \f(3π,2)，0) 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ，( eq \f(π,2)，1)， ，( eq \f(3π,2)，－1)， (0，1)， ，(π，－1)， ，(2π，1) (0，0) (π，0) (2π，0) 温馨提示 (1)“五点法”作图中的“五点”分别是函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点; (2)函数 y=sin x(x∈R)的图象向左平移 eq \f(π,2)个单位长度得到y=cos x(x∈R)的图象. 例1　(链接教材：人教A版P198思考)(多选)下列叙述正确的有(　　 ) A．y＝sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)中心对称 B．y＝cos x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π轴对称 C．正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围 D．余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象关于x轴对称 解析：选ABC.分别画出函数y＝sin x，x∈[0，2π]和y＝cos x，x∈[0，2π]的图象(略)，由图象观察可知A，B，C均正确． 类题通法 解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，知道两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 【迁移运用】 (多选)对于余弦函数y＝cos x的图象，有以下描述，其中正确的描述有(　　 ) A．将[0，2π]内的图象向左、向右无限延展 B．与y＝sin x的图象形状完全一样，只是位置不同 C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称 解析：选BCD.对于A选项，余弦函数y＝cos x的图象，是将[0，2π]内的图象向左、向右无限“重复”得到，是“重复”不是延展，因为延展可能是拉伸，不符合，故A选项错误； 对于B选项，正弦函数y＝sin x的图象向左平移 eq \f(π,2)个单位，会与y＝cos x的图象重合，故B选项正确； 对于C选项，当x＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)时，y＝cos x＝0，故余弦函数y＝cos x图象与x轴有无数个交点，故C选项正确； 对于D选项，余弦函数y＝cos x是偶函数，图象关于y轴对称，故D选项正确． 　“五点法”作正、余弦函数的图象 例2　(链接教材：人教A版P199例1)用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y＝1－sin x(0≤x≤2π)； (2)y＝－1＋cos x(0≤x≤2π). 解：(1)①取值列表如下： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 ②描点连线，如图所示． (2)①取值列表如下： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1＋cos x 0 －1 －2 －1 0 ②描点连线，如图所示． 变式探究　观察本例(1)中函数的图象，你能利用y＝sin x，x∈[0，2π]的图象通过变换得到么？ 解：将y＝sin x的图象关于x轴对称得到y＝－sin x，再向上平移1个单位得到y＝1－sin x的图象． 类题通法 “五点法”作图的步骤 “五点法”作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤： 　正弦函数、余弦函数图象的应用 角度一　零点(或方程解)的个数问题 例3　(1)(链接教材：人教A版P200练习4)函数f(x)＝sin x，g(x)＝cos x的图象在区间[－2π，π]的交点个数为(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A.分别作出f(x)＝sin x，g(x)＝cos x在区间[－2π，π]上的图象，如图所示， 由图象可知，f(x)＝sin x，g(x)＝cos x的图象在区间[－2π，π]的交点个数为3. (2)方程sin x＝lg x的实根有(　　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 解析：选C.在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝lg x的图象． 由图中可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1，10)(i＝1，2，3)是方程sin x＝lg x的解． 类题通法 求解与函数图象有关的交点问题的策略 (1)函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，并画出函数图象，然后利用数形结合法平移直线y＝k，求得参数的取值范围． (2)作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件． 角度二　利用函数图象解三角不等式 例4　(链接教材：人教A版P207练习1)不等式2sin x－1≥0，x∈[0，2π]的解集为(　　 ) A．[0， eq \f(π,6)] B．[0， eq \f(π,4)] C．[ eq \f(π,6)，π] D．[ eq \f(π,6)， eq \f(5π,6)] 解析：选D.因为2sin x－1≥0，所以sin x≥ eq \f(1,2). 在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝ eq \f(1,2)的图象．由函数的图象知，sin eq \f(π,6)＝sin eq \f(5π,6)＝ eq \f(1,2)，sin x≥ eq \f(1,2)的解集为[ eq \f(π,6)， eq \f(5π,6)]. 变式探究　(变条件)在本例中把“x∈[0，2π]”改为“x∈R”，求不等式2sin x－1≥0的解集． 解：因为在x∈[0，2π]上的解集为[ eq \f(π,6)， eq \f(5π,6)]，所以x∈R时，不等式的解集为{x| eq \f(π,6)＋2kπ≤x≤ eq \f(5π,6)＋2kπ，k∈Z}． 类题通法 用三角函数图象解三角不等式的方法 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象； (2)写出不等式在区间[0，2π]上的解集； (3)写出不等式的解集． 1．函数y＝2＋sin x，x∈(0，4π]的图象与直线y＝2的交点的个数是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2＋sin x，x∈(0，4π]和直线y＝2的图象如图所示，可得两图象的交点共有4个． 2．(多选)在同一平面直角坐标系中，函数y＝sin x，x∈[0，2π)与y＝sin x，x∈[2π，4π)的图象(　　 ) A．重合 B．形状相同，位置不同 C．两个正弦曲线关于点(2π，0)成中心对称 D．形状不同，位置不同 解析：选BC.根据诱导公式一：sin (x＋2π)＝sin x，所以y＝sin x，x∈[0，2π)与y＝sin x，x∈[2π，4π)的图象形状相同、位置不同，且两个正弦曲线关于点(2π，0)成中心对称，所以B，C正确，A，D错误． 3．不等式sin x<－ eq \f(1,2)，x∈[0，2π]的解集为________． 解析：作出y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示， 由图象可知，不等式sin x<－ eq \f(1,2)的解集为( eq \f(7π,6)， eq \f(11π,6)). 答案：( eq \f(7π,6)， eq \f(11π,6)) 4．利用“五点法”作出函数y＝－1－cos x(0≤x≤2π)的简图． 解：按五个关键点列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 －1－cos x －2 －1 0 －1 －2 描点连线，如图所示． 【基础巩固】 1．用五点法画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象时，下列哪个点不在函数图象上(　　 ) A．(π， eq \f(1,2)) B．( eq \f(π,2)，1) C．(π，0) D．(2π，0) 解析：选A.用五点法画y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点分别为：(0，0)，( eq \f(π,2)，1)，(π，0)，( eq \f(3π,2)，－1)，(2π，0)，所以选项A对应的点不在函数图象上． 2．函数y＝sin (－x)，x∈[－π，π]的图象是(　　 ) 解析：选D.因为y＝sin (－x)与y＝sin x的图象关于x轴对称，只有D符合题意． 3．函数y＝ eq \r(2cos x＋1)的定义域是(　　 ) A．[2kπ－ eq \f(π,3)，2kπ＋ eq \f(π,3)](k∈Z) B．[2kπ－ eq \f(π,6)，2kπ＋ eq \f(π,6)](k∈Z) C．[2kπ＋ eq \f(π,3)，2kπ＋ eq \f(2π,3)](k∈Z) D．[2kπ－ eq \f(2π,3)，2kπ＋ eq \f(2π,3)](k∈Z) 解析：选D.由2cos x＋1≥0，得cos x≥－ eq \f(1,2)，解得2kπ－ eq \f(2π,3)≤x≤2kπ＋ eq \f(2π,3)，k∈Z，所以函数的定义域是[2kπ－ eq \f(2π,3)，2kπ＋ eq \f(2π,3)](k∈Z). 4．在(0，2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是(　　 ) A．( eq \f(π,4)， eq \f(π,2))∪(π， eq \f(5π,4)) B．( eq \f(π,4)，π) C．( eq \f(π,4)， eq \f(5π,4)) D．( eq \f(π,4)，π)∪( eq \f(5π,4)， eq \f(3π,2)) 解析：选C.画出函数图象，如图所示，根据图象知x∈( eq \f(π,4)， eq \f(5π,4)). 5．(多选)函数y＝1＋sin x，x∈( eq \f(π,6)，2π)的图象与直线y＝t(t为常数)的交点可能有(　　 ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选ABC.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝1＋sin x，x∈( eq \f(π,6)，2π)的图象和直线y＝t，如图所示． 由图可知，当t>2或t<0时，交点个数为0；当0<t<1或 eq \f(3,2)<t<2时，交点个数为2；当t＝0或1≤t≤ eq \f(3,2)或t＝2时，交点个数为1.综上，交点个数可能为0，1，2. 6．方程x2＝cos x的实根有________个． 解析：求方程x2＝cos x的实根个数，即求函数y＝x2和函数y＝cos x的图象交点个数． 画出函数y＝x2和函数y＝cos x的图象，如图所示，观察可得交点个数为2. 答案：2 7．函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________． 解析：要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－ eq \f(1,2). 画出y＝sin x，x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的图象，如图所示． 当－ eq \f(π,6)<x< eq \f(7π,6)时，不等式sin x>－ eq \f(1,2)成立，故函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为{x eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋2kπ<x< eq \f(7π,6)＋2kπ，k∈Z}． 答案：{x|－ eq \f(π,6)＋2kπ<x< eq \f(7π,6)＋2kπ，k∈Z} 8．请用“五点法”作出下列函数在区间[－2π，2π]的图象： (1)y＝1－ eq \f(1,3)cos x； (2)y＝sin |x|. 解：(1)列表： x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π cos x 1 0 －1 0 1 1－ eq \f(1,3)cos x eq \f(2,3) 1 eq \f(4,3) 1 eq \f(2,3) 描点，连线可得函数在[0，2π]上的图象，将函数图象向左平移2π个单位长度，就可以得到函数y＝1－ eq \f(1,3)cos x，x∈[－2π，2π]的图象，如图所示． (2)列表如下， x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sin x 0 1 0 －1 0 sin |x| 0 1 0 －1 0 描点，连线，画出函数y＝sin |x|，x∈[0，2π]的图象，如下图所示， 因为y＝sin |x|是偶函数，利用函数的奇偶性画出x∈[－2π，2π]的完整的图，如下图所示． 【综合运用】 9．(2025·山东淄博期中)在(0，2π)内，使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　 ) A．( eq \f(π,4)， eq \f(3π,4)) B．( eq \f(π,4)， eq \f(π,2))∪( eq \f(5π,4)， eq \f(3π,4)] C．( eq \f(π,4)， eq \f(π,2)) D．( eq \f(5π,4)， eq \f(7π,4)) 解析：选A.y＝sin x以及y＝|cos x|的图象如图，由图可知，x∈( eq \f(π,4)， eq \f(3π,4)). 10．若函数f(x)＝sin x＋3|sin x|，x∈[0，2π]的图象与y＝k仅有两个不同交点，则k的取值范围是________． 解析：f(x)＝sin x＋3|sin x|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4sin x，0≤x≤π，,－2sin x，π<x≤2π，))则f(x)的图象如图所示， 由图知k的取值范围是(2，4). 答案：(2，4) 11．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，则该封闭图形的面积为________． 解析：观察题图可知：图形S1与S2，S3与S4都是两个对称图形，有S1＝S2，S3＝S4. 因此函数y＝2cos x的图象与直线y＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC的面积． ∵|OA|＝2，|OC|＝2π，∴S矩形OABC＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π. 答案：4π 12．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(cos x，－π≤x<0，,sin x，0≤x≤π.)) (1)作出该函数的图象； (2)若f(x)＝ eq \f(1,2)，求x的值； (3)若a∈R，讨论方程f(x)＝a的解的个数． 解：(1)f(x)的函数图象如下： (2)当－π≤x<0时，f(x)＝cos x＝ eq \f(1,2)，解得x＝－ eq \f(π,3)， 当0≤x≤π时，f(x)＝sin x＝ eq \f(1,2)，解得x＝ eq \f(π,6)或 eq \f(5π,6)， 综上，x＝－ eq \f(π,3)或 eq \f(π,6)或 eq \f(5π,6). (3)方程f(x)＝a的解的个数等价于y＝f(x)与y＝a的图象的交点个数， 则由(1)中函数图象可得， 当a>1或a<－1时，解的个数为0； 当－1≤a<0或a＝1时，解的个数为1； 当0≤a<1时，解的个数为3. 【创新探索】 13．已知f(x)是定义在(0，3)上的函数，图象如图所示，则不等式f(x)·cos x＜0的解集是(　　) A．(0，1) B．( eq \f(π,2)，3) C．(0，1)∪( eq \f(π,2)，3) D．(0， eq \f(π,2)) 解析：选C.当0＜x＜1时，f(x)＜0，而此时cos x＞0，满足f(x)·cos x＜0；当1＜x＜3时，f(x)＞0，由cos x＜0(x∈(1，3))，解得 eq \f(π,2)＜x＜3，故x∈(0，1)∪( eq \f(π,2)，3). 14．用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间． ①y>1；②y<1. (2)若直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点，求a的取值范围． 解：列表如下： x －π － eq \f(π,2) 0 eq \f(π,2) π sin x 0 －1 0 1 0 1－2sin x 1 3 1 －1 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图． (1)由图象可知，图象在直线y＝1上方部分时y>1，在直线y＝1下方部分时y<1， 所以①当x∈(－π，0)时，y>1；②当x∈(0，π)时，y<1. (2)如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的图象有两个交点时，1<a<3或－1<a<1，所以a的取值范围是(－1，1)∪(1，3). $