精品解析：四川省通江中学2025-2026学年高三上学期11月月考数学试卷

四川省通江中学数学11月月考试卷 考试时间：120分钟  满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用含有量词的命题的否定的定义求解. 【详解】命题“”的否定是， 故选：D 2. “”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，再根据充要条件的判断方法判断即可. 【详解】由或，即， 因是的真子集， 故“”是“成立”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知集合，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据知道集合中的元素不能有4或7，必含有2和6，则可选出答案. 【详解】因为集合， 所以集合中的元素不能有4或7，必含有2和6 故选：B 4. 的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简，结合复数的定义求出. 【详解】，虚部为. 故选：C 5. 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式. 【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又， 所以， 又∵，∴，∴， 因为时函数取最大值， 所以，，又， ∴， ∴. 故选：C. 6. 设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解. 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 7. 向量为满足：在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据投影向量的定义求得，再利用数量积求模即可得解. 【详解】因为在方向上的投影向量为， 所以， ， ， . 故选：C. 8. 已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（ ） A. 3为的一个周期 B. 关于点对称 C. 是偶函数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据题目所给的两个等式，推导与的关系即可；对于B，证明是否成立即可；对于C，对含的表达式两边求导即可；对于D，结合周期性求解即可． 【详解】对于A，由，令，则，即函数关于点中心对称， 结合，， 所以， 因此，3是的一个周期，故A正确； 对于B，由A选项可知，且周期为3，令，得， 又因为，所以，也即关于点中心对称，故B正确； 对于C，由B选项可知，两边对x求导，得，即，因此是偶函数，故C正确； 对于D，由，令，得，即， 由周期为3，且，得， 由，令，可得， 进一步， 根据周期性， ，故D错误． 本题选择错误的，故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或者4分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z是方程的一个复数根 【答案】AC 【解析】 【分析】对复数进行化简可得，再逐一分析选项即可． 【详解】对于A，，所以，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故C正确； 对于D，将代入方程左边， 即，也即不是该方程的根，故D错误． 故选：AC． 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角的正弦公式，可求，判断A的真假；根据所给的角的取值范围，判断角的三角函数的符号，再结合同角三角函数的基本关系，可判断B的真假；利用同角三角函数的基本关系，可求，判断C的真假；结合两角差的余弦公式，可求的值，判断D的真假. 【详解】由，得：，即，所以，所以A正确； 又，，所以，则，所以，所以B错误； 联立，解得：，，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：AC 11. 定义：两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，得到或或同向或反向，A正确；B选项，时满足要求，时，两者不等；C选项，利用平行四边形面积公式得到C正确；D选项，根据叉乘和向量数量积公式化简得到，再平方后，利用基本不等式进行求解，得到答案. 【详解】A选项，， 所以或或，所以或或同向或反向， 故，A正确； B选项，，， 若，则，故， 若，则，此时，B错误； C选项，若四边形为平行四边形，则它的面积等于， 而，C正确； D选项，由题意得，， 两式平方相加可得，即， 又， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则复数___________. 【答案】0 【解析】 【分析】由复数的乘除运算可得. 【详解】， . 故答案为：0. 13. 若命题：“”的否定为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设得到命题：“”为真命题，再分和两种情况结合二次函数性质分析即可求解. 【详解】命题：“”的否定为假命题， 所以命题：“”为真命题， 当时不恒成立，不符合； 当时，则有. 所以满足题意的实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则____. 【答案】 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系及三角恒等变换公式化简后，利用等面积法与正弦定理将边化为角计算即可得解. 【详解】，同理， 故 ， 又，则， 由正弦定理可得， 化简得，故. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）首先利用三角函数的二倍角公式和和差倍角的正弦公式化简函数的解析式，从而得到其最小正周期. （2）根据的取值范围和正弦函数的性质可求得函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 . . 【小问2详解】 ∵，. 则当时，即时，取得最小值； 当时，即时，取得最大值. 16. 已知函数. （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若，求的极值. 【答案】（1） （2）极大值为0，极小值为. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，代入点斜式直线方程化简即可得解； （2）利用导数法求出单调区间，然后按照极值的定义求解即可. 【小问1详解】 当时， ，则， 所以，又切点，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，，则， 当时，或，当时，或，当时，， 列表如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，的极大值为， 当时，的极小值为. 17. 如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，． （1）求和的值，并用表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底表示，结合以及平面向量基本定理求出即可表示； （2）利用第一问求出，，再利用数量积的运算律以及向量夹角公式即可. 【小问1详解】 因为，，， 则，， 所以，， 所以，， 因为 ， 所以，解得， 所以， ； 【小问2详解】 因为，，， 所以，，， 因为，， 所以． ， ． 因为， 所以与夹角的余弦值为． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解. （2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得，而，所以. 【小问2详解】 （i）由，得，， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii）由得，得，则， 因此，即， 当且仅当时取等号，则，， 所以当时，的面积取得最大值. 19. 已知，其中. （1）当时，求证：是函数的极小值点； （2）求在上的最小值； （3）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，，函数的定义域为， 则， ∵在上单调递增，在上单调递增， ∴在上单调递增， ∵， ∴当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增， ∴是函数的极小值点. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到函数解析式及其定义域，求导数，讨论导数的单调性得到唯一的零点，由极值点定义得证. （2）求导数，从而得到函数的单调区间，找到端点和极小值点，从而得到函数在对应区间上的最小值. （3）由（2）可知在上的最小值，将题意进行转换.构造函数并求导数，由可知函数存在极小值点，表示出极小值得到新的不等式恒成立，结合极值点等量关系化简不等式.再构造函数并求导数，由得到函数的单调性以及其存在的唯一零点，从而求得满足不等式的的取值范围，由的取值范围求得参数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， 当时，，∴函数单调递增， 当时，，∴函数单调递减， ，，， ∴在上的最小值为. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，. 对任意，总存在，使得成立， 即对任意，使得恒成立， 即在上恒成立. 令，则， 由（1）可知在上单调递增， 又∵时，，时，， 故一定存在，使得， 即当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴， 又∵，即， 则恒成立. 令，， 则，， ∴，∴， 即函数在上单调递减，且， ∴， 则 令，，故函数在上单调递减， ∴. 【点睛】关键点睛，本题考查导数的应用.利用隐零点得到函数的最小值是本题的关键，然后构造函数解决不等式恒成立问题，从而求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省通江中学数学11月月考试卷 考试时间：120分钟  满分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则集合可以为（ ） A. B. C. D. 4. 的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 函数的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ） A. B. C. D. 7. 向量为满足：在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 已知定义在上的函数满足，且，，为的导函数，则下列说法错误的是（ ） A. 3为的一个周期 B. 关于点对称 C. 是偶函数 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或者4分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. z在复平面内对应的点位于第四象限 D. z是方程的一个复数根 10. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 定义：两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若四边形为平行四边形，则它的面积等于 D. 若，则的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数，则复数___________. 13. 若命题：“”的否定为假命题，则实数的取值范围为__________. 14. 已知的内角，，对应的边分别为，，，为边上的高，若，则____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数 （1）求的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 已知函数. （1）若，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若，求的极值. 17. 如图，在中，分别为边上的点，且，与交于点，记，，，． （1）求和的值，并用表示； （2）若，，，求与夹角的余弦值． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A； （2）D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 19. 已知，其中. （1）当时，求证：是函数的极小值点； （2）求在上的最小值； （3）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $