精品解析：四川省广安加德学校2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题

广安加德学校2022-2023学年上期高2022级期末 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.） 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C. D. 2. 某同学最近5年内学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ） A. y＝ax＋b B. y＝ax2＋bx＋c C. y＝aex＋b D. y＝aln x＋b 3. 若点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中既是奇函数，又是减函数的是（ ） A. B. C D. 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 7. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为（    ） A. B. C. 8 D. 2 8. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知，，那么的可能值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数均不为1，且满足，则下列关系式中恒成立的是（    ） A. B. C. D. 11. 已知为正数，，则下列说法正确的是（    ） A. B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 12. 已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 幂函数的图象经过点，则的值为______． 14. 已知，则______． 15. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 16. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________. 三、解答题（本大题共14小题，共168.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 设全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. （1）计算：； （2）若，求的值. 19. 2020年我国面对前所未知，突如其来，来势汹汹的新冠肺炎疫情，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数(单位：个)与发车时间间隔t近似地满足，其中． （1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1600个，试求发车时间间隔t的值； （2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益(结果取整数)． 20 已知函数f（x）＝x2－ax＋2． （1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值； （2）当时，若关于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围． 21. 已知函数． （1）若对任意，恒成立，求的取值范围； （2）设，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 22. 已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立. （1）判断在上的单调性； （2）解不等式； （3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安加德学校2022-2023学年上期高2022级期末 数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.） 1. 已知集合，则（    ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集. 【详解】由函数定义域可得：， 由值域可得，故. 故选：D 2. 某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ） A. y＝ax＋b B. y＝ax2＋bx＋c C. y＝aex＋b D. y＝aln x＋b 【答案】B 【解析】 【分析】从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，依此可得出答案. 【详解】从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数模型选择，解题的关键是看出函数的变化趋势，属于基础题. 3. 若点在角的终边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义进行求解. 【详解】由三角函数定义可知： 故选：B 4. 已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全称命题的否定转化为最值问题求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以在上有解，所以， 而一元二次函数在时取最大值， 即解得， 故选：A 5. 下列函数中既是奇函数，又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数、指数、一次函数的单调性判断BCD，根据定义判断的奇偶性. 【详解】因为在定义域内都是增函数，所以BCD错误；因为，所以函数为奇函数，且在上单调递减，A正确. 故选：A 6. 已知，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】将原式整理为，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， ，当且仅的，即时等号成立. 故选：A. 7. 已知扇形面积为8，扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为（    ） A. B. C. 8 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，利用扇形的弧长和面积公式，求得，则可求出扇形的周长. 【详解】解：设扇形的半径为r，弧长为l， 已知扇形的圆心角为2 rad，则， 扇形面积， 所以扇形的周长， 故选：A. 8. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据区间上函数值的符号判断即可. 【详解】由题意，，定义域为， 又， 所以函数为偶函数；故排除AD； 当时，令，解得，， 当时，，故排除C； 故选：B. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知，，那么的可能值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题干条件和同角三角函数的平方关系建立方程组，求出正弦和余弦，进而求出正切值. 【详解】因为①，又sin2α+cos2α=1②， 联立①②，解得或， 因为，所以或． 故选：BD 10. 已知实数均不为1，且满足，则下列关系式中恒成立的是（    ） A B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】A，B选项利用基本不等式的性质即可；C选项利用函数的单调性即可；取判断D选项即可. 【详解】实数均不为1，且满足， 所以， 故A选项正确； 由，所以， 所以， 所以， 所以成立，故B选项正确； 由函数在R上单调递减，且 所以，故C选项错误； 当时，， 故D选项错误； 故选：AB. 11. 已知为正数，，则下列说法正确的是（    ） A. B. 的最小值为1 C. 的最小值为8 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由结合基本不等式，求得的最大值，的最小值，判断选项正误. 【详解】因，为正数，， 所以，即，得， 所以，当且仅当时，等号成立. 同理，解得，当且仅当时，等号成立. 对于A，， 所以，当时，等号成立，所以A错误； 对于B，，当时，等号成立，所以B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D，设，则，所以， 即，则，得， 解得，所以D正确. 故选：BCD. 12. 已知函数的定义域是，当时，，且，且，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在上单调递减 C. D. 满足不等式的的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】令求出的值可判断A；令可得，利用函数单调性的定义证明单调性可判断B；由以及可判断C；通过计算可得，原不等式等价于，利用单调性求出的取值范围可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：令，得，所以，故选项A正确； 对于B：令，得，所以， 任取，，且，则， 因为，所以，所以，所以在上单调递减，故选项B正确； 对于C： = 故选项C不正确； 对于D：因为，由可得，所以，所以不等式等价于即，因为在上单调递减， 所以解得：，所以原不等式的解集为，故选项D正确； 故选：ABD 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 幂函数的图象经过点，则的值为______． 【答案】25 【解析】 【分析】设出幂函数，代入点求出解析式，再由解析式求函数值即可. 【详解】设， 因为图象经过点， 所以，解得， 所以，故. 故答案为：25 14. 已知，则______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】首先根据诱导公式求出，再利用同角三角函数关系式求出的值，从而可求出的值. 【详解】因为，所以，所以或， 当时，，； 当时，，. 故答案为：或. 15. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为，利用复合函数单调性的判断方法可知在上单调递减，由此得到；分别讨论、和的情况，根据一次函数单调性确定，由可解不等式求得的范围. 【详解】对任意的，总存在，使得成立，； ， 在上单调递减，单调递增， 在上单调递减，； 当时，，则，满足题意； 当时，上单调递减，， ，解得：； 当时，在上单调递增，， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 16. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断为奇函数，且在R上为增函数，然后将转化为，从而有，进而可求出m的取值范围 【详解】由题意可知，的定义域为R， 因为，所以为奇函数. 因为，且在R上为减函数， 所以由复合函数的单调性可知在R上为增函数. 又，所以， 所以，解得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共14小题，共168.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 设全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式可分别求得集合，根据补集和交集定义可求得结果； （2）解含参数的一元二次不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知，即，根据包含关系可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 由得：，解得：，即，； 当时，，解得：，即； . 【小问2详解】 由（1）知：； 由得：，即， 是的充分不必要条件，，， 且等号不会同时取到，解得：，即实数的取值范围为. 18. （1）计算：； （2）若，求的值. 【答案】（1）6；（2）. 【解析】 【分析】（1）由指数和对数运算性质结合诱导公式即可计算求解； （2）先由诱导公式化简，再结合和商数关系弦化切即可求解. 【详解】（1）原式 ； （2）若，则所求原式 . 19. 2020年我国面对前所未知，突如其来，来势汹汹的新冠肺炎疫情，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数(单位：个)与发车时间间隔t近似地满足，其中． （1）若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1600个，试求发车时间间隔t的值； （2）若平均每趟快递车辆每分钟的净收益(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益(结果取整数)． 【答案】（1） （2）发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元） 【解析】 【分析】（1）根据，分段讨论求解； （2）建立净收益函数得，求其最大值即可. 【小问1详解】 解：当时，，不满足题意，舍去． 当时，，即． 解得（舍）或． ∵且，∴． 所以发车时间间隔为5分钟． 【小问2详解】 由题意可得． 当，时，（元）， 当且仅当，即时，等号成立， 当，时，（元） 所以发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元）． 20. 已知函数f（x）＝x2－ax＋2． （1）若f（x）≤－4的解集为[2，b]，求实数a，b的值； （2）当时，若关于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系得出实数a，b的值； （2）不等式f（x）≥1－x2等价于，结合基本不等式得出实数a的取值范围． 【小问1详解】 若f（x）≤－4的解集为[2，b]，则的解集为[2，b] 所以，解得 【小问2详解】 由f（x）≥1－x2得对恒成立 即在区间恒成立，所以 又，当且仅当时，取等号 所以，即，故实数的取值范围为 21. 已知函数． （1）若对任意，恒成立，求的取值范围； （2）设，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）令，则，将问题转化为在R上恒成立，利用判别式小于0即可得到答案； （2）利用符合函数的单调性易得在上单调递增，利用单调性将问题转化为恒成立，求出的最小值即可. 【详解】解：令，则． （1）因为，所以， 则对任意，恒成立等价于对任意，恒成立. 故，解得或，即的取值范围为， （2）因为，所以， 因为图象的对称轴为，所以在上单调递增，即在上单调递增． 因为，所以，． 因为，所以． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以，故． 因为，所以的取值范围是． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集 ． 22. 已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立. （1）判断在上的单调性； （2）解不等式； （3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）可假设，且，计算，然后变形判断符号，可得结果. （2）根据函数单调性以及定义域，可得，然后计算，可得结果. （3）利用等价转化思想，可得，然后构造函数，根据一次函数的图象与性质，可得结果. 【详解】（1）在上单调递增. 任取，且，则. ∵为奇函数， ∴. 由已知得， 又， ∴，即， ∴在上单调递增. （2）由（1）可知：在上单调递增 所以 所以解集为： （3）∵，且在上单调递增， ∴在上，. 问题转化为， 即，对成立. 设， 即得或或 综上所述： 实数取值范围是. 【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，第（1）问中重点在于正确利用题干，第（2）问重点在于单调性应用，第（3）问中难点在于正确理解主元，属中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $