精品解析：浙江省杭州市拱墅区文晖实验学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

杭州市文晖实验学校2025-26学年第一学期11月期中诊断 九年级数学 2025年11月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效． 4．考试结束，只上交答题卷． 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 2. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 4. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点在边上，交于点，连接，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，AB是的弦（非直径），点C是弦AB上的动点（不与点A，B重合），过点C作垂直于OC的弦DE．设的半径为r，弦AB的长为a，，则弦DE的长（　　　） A. 与r，a，m的值均有关 B. 只与r，a的值有关 C. 只与r，m的值有关 D. 只与a，m的值有关： 10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，，存在，求b的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6个小题，每题4分，共24分． 11. 若，则的值为______． 12. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 13. 已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为_________． 14. 如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为120°，则扇面外端的长为________cm，折扇扇面的面积为__________．（结果保留） 15. 如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 16. 如图，E是等边内一点，，连接交于，若，则的值为____________． 三、解答题：（本题共7个小题，6，8，8，10，10，12，12，共66分．） 17. 已知教室的粉笔盒里现有2支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． （1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ （2）用画树状图或列表的方法，求出老师先拿出一支白色粉笔，放回后，再拿出一支红色粉笔的概率． 18. 已知二次函数． （1）若该抛物线经过点，，求抛物线的对称轴； （2）若对于任意，的最小值为1，的最大值为5，求a和b的值． 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 20. 如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 21. 如图，在中，D，E是上两点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 22. 某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定． （1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价） （2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． （3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 23. 设二次函数（，a、b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 … y … p 1 q 1 … （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，y有最小值为，求a的值； （3）求的最大值． 24. 已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：是中点； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市文晖实验学校2025-26学年第一学期11月期中诊断 九年级数学 2025年11月 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前，在答题卷上填写班级、姓名、试场号、座位号． 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效． 4．考试结束，只上交答题卷． 一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是【 】 A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【详解】随机事件. 根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断： 抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件.故选B. 2. 二次函数的图象与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代入求值是关键． 根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：当时，． ∴二次函数的图象与y轴的交点坐标是． 故选：B． 3. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】求出DF的长度，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∵DF＝DE＋EF＝9 ∴AC＝×AB＝12. 故答案选D. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 4. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 5. 凸透镜成像的原理如图所示，．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则物体被缩小到原来的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证出四边形为矩形，得到，再根据，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【详解】解：∵， ， ， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即 ∴物体被缩小到原来的． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，从实际问题中找到相似三角形并利用相似三角形的性质进行解答是解题的关键． 6. 如图，中，点C在上，，分别为、所对的圆周角．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求出，再根据弧、圆周角的关系求解即可． 【详解】解：解：连接，如图： ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 将二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟记函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”是解决问题的关键．根据二次函数图象的平移法则“左加右减、上加下减”直接求解即可得到答案． 【详解】解：将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线为：， 故选：B． 8. 如图，在中，点在边上，交于点，连接，交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，灵活运用平行线判定相似三角形是解题的关键．根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”，得到和，再利用相似三角形的对应边成比例，联立方程求出的长度． 【详解】解：设， ， ∴，, ， ， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ， 解得：，（舍去）， ， 解得：． 故选：． 9. 如图，AB是的弦（非直径），点C是弦AB上的动点（不与点A，B重合），过点C作垂直于OC的弦DE．设的半径为r，弦AB的长为a，，则弦DE的长（　　　） A. 与r，a，m的值均有关 B. 只与r，a的值有关 C. 只与r，m的值有关 D. 只与a，m的值有关： 【答案】D 【解析】 【分析】连结AD，BE，由同弧所对圆周角相等∠DAB=∠BED，∠D=∠B，可得△ADC∽△WBC，由性质可得，由OC⊥DE可得DC=CE，由，AC+BC=a可求，可求 DE=2CD=即可． 【详解】解：连结AD，BE， ∴∠DAB=∠BED，∠D=∠B， ∴△ADC∽△WBC， ∴， ∵OC⊥DE，DE是弦， ∴DC=CE， ∴， ∵，AC+BC=a， ∴， ∴， ∴DC=， ∴DE=2CD=， ∴DE只与m、a有关系， 故选择：D． 【点睛】本题考查圆周角性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，比例中项，掌握圆周角性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理的应用，利用比例中项得到DE的关系式是解题关键． 10. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，若对于，，存在，求b的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象和分类讨论思想是解题的关键． 由抛物线方程可知，对称轴为，且开口向上，根据求出的取值范围，根据进行分类讨论，根据的最小值大于的最大值，列出不等式，求解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 抛物线 的对称轴为，且开口向上， 由于，随的增大而减小， 令得，， 令得，， 则的取值范围为， 由于，进行分类讨论： ①当时，随的增大而增大， 令得，， 令得，， 则的取值范围为， 由于对于，，存在， 则， 解得； ②当时，在上，随的增大而减小，在上，随的增大而增大， 则的最小值为， 由于对于，，存在， 则， 这显然成立； ③当时，随的增大而减小， 令得，， 令得，， 则的取值范围为， 由于对于，，存在， 则， 解得； 综上所述，b的取值范围为, 故选：C． 二、填空题：本题共6个小题，每题4分，共24分． 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 12. 某兴趣小组通过实验研究一批绿豆的发芽率，实验结果如下表所示： 每批粒数 100 300 400 600 1000 2000 3000 发芽的粒数 90 280 352 554 930 1864 2793 发芽频率 估计这批绿豆中每一粒绿豆发芽的概率是________．（保留小数点后2位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键在于理解频率稳定性定理，分析实验数据的变化趋势，并据此做出合理的概率估计；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；据此判断即可. 【详解】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的概率大约是． 故答案为：． 13. 已知线段，若线段是线段和的比例中项，则线段的长为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了成比例线段，根据比例中项的定义，线段是线段和的比例中项，则，代入数值计算即可． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∴（线段长度取正值）． 故答案为：4． 14. 如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为120°，则扇面外端的长为________cm，折扇扇面的面积为__________．（结果保留） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据弧长计算公式可求出弧AB的长，再根据已知求出骨柄长减去扇面的宽，然后根据扇形面积计算公式计算即可． 【详解】解：如图所示： ∵OA=30cm，AC=18cm， ∴OC=12cm， ∵∠AOB=120°， ∴==20． =300， =48， ∴300-48=． 故答案为：20，． 【点睛】本题考查了弧长计算和扇形的面积计算，能熟记公式是解题的关键． 15. 如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了“二次函数的图象与性质”，理解题意，找到对应点的坐标是解题关键． 根据题意，通过距离关系，得到对应点的坐标，根据点坐标求解析式，解析式与y轴的交点纵坐标即为设计高度的值． 【详解】解：由题意，得，即，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， 令，得， ∴这个装饰物设计高度为5． 故答案为： 5． 16. 如图，E是等边内一点，，连接交于，若，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过作平行线构造相似三角形，结合线段比例推导边长关系． 设线段长度，作平行线得线段比例；证明三角形相似得边长关系；利用勾股定理计算与的长度，进而求比值． 【详解】解：作，分别与、相交于点M、N，设， ∵ ，， ∴，， ∴， ∴ ， 由知， ∴， ∴，得． ∵ ，， ∴， ∴ ，， ∴ ，则，又， ∴ ，得． ∴ ． 作，垂足为点H，， ∴， 在中，由勾股定理：， ∴ 故答案为：． 三、解答题：（本题共7个小题，6，8，8，10，10，12，12，共66分．） 17. 已知教室的粉笔盒里现有2支白色粉笔，1支红色粉笔，1支黄色粉笔，每支粉笔除颜色外均相同． （1）现从中任取一支粉笔，则取出黄色粉笔的概率是多少？ （2）用画树状图或列表的方法，求出老师先拿出一支白色粉笔，放回后，再拿出一支红色粉笔的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率的求解，包括画树状图或列表求解概率，熟练掌握概率的求解公式是解决本题的关键． （1）根据总的粉笔数和黄色粉笔的数量求解概率即可； （2）画出树状图或列出表后，由列表结果求解概率即可． 【小问1详解】 解：一共4支粉笔，1支黄色粉笔， ∴取出黄色粉笔的概率是：； 【小问2详解】 解：列表： 第二次 第一次 白色1号 白色2号 红色 黄色 白色1号 白1，白1 白1，白2 白1，红 白1，黄 白色2号 白2，白1 白2，白2 白2，红 白2，黄 红色 红，白1 红，白2 红，红 红，黄 黄色 黄，白1 黄，白2 黄，红 黄，黄 树状图： 先拿出白色，再拿出一支红色的概率是． 18. 已知二次函数． （1）若该抛物线经过点，，求抛物线的对称轴； （2）若对于任意，的最小值为1，的最大值为5，求a和b的值． 【答案】（1）抛物线的对称轴为 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据二次函数的对称性即可求解； （2）分4种情况讨论的最值，根据题意列出方程组，即可求出a和b的值． 【小问1详解】 解：∵该抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 解：∵二次函数， ∴函数图象开口向上，对称轴为， ①若，即， 当时，取得最小值1；当时，取得最大值5； ∴， 解得（舍去）； ②若，即， 当时，取得最小值1；当时，取得最大值5； ∴， 解得或（舍去） ∴，； ③若，即， 当时，取得最小值1；当时，取得最大值5； ∴， 解得（舍去）或（舍去）； ④若，即， 当时，取得最小值1；当时，取得最大值5； ∴， 解得（舍去）； ∴综上所述，，． 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． （1）在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） （2）在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】（1） 如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， （2） 如图， 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【小问1详解】 ，， ， ，， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 点即为所求作的点． 20. 如图，，是的两条弦，，作，交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质． （1）由得到，即可得证； （2）连接，由，，得到，推出，设的半径为，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，连接， ，， ， ， 设的半径为， ， ， 在中，， ， ， 的半径为． 21. 如图，在中，D，E是上两点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）根据“两组对应角分别相等的三角形相似”证明即可； （2）根据相似三角形的性质列出相应的比例式，再代入相关数据进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 因为，， 所以． 22. 某玩具店销售一款玩具，已知该玩具成本为20元，经试销发现，该玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间近似满足函数关系式：，为了保证利润，规定． （1）当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为多少？（销售额销售量销售单价） （2）求销售该玩具每天的利润w（元）的最大值． （3）该店为响应“助力防控，回馈社会”活动，决定每卖出一个玩具就捐赠a元（），若每天扣除捐款后仍可获最大利润196元，则a的值为多少？ 【答案】（1）该玩具每天的销售额为600元 （2）销售该玩具每天的利润最大值为225元 （3）的值为2 【解析】 【分析】（1）先求出时y的值，再根据“销售额＝销售量销售单价”计算即可； （2）根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出w与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，结合x的范围即可求出w的最大值． （3）设每天扣除捐款后的利润为, 根据“利润=（销售单价成本）销售量”列出z与x之间的函数关系式，再根据抛物线的顶点的坐标，可得时，，结合a的范围即可求出a的值． 【小问1详解】 解：当元时，． ． 答：当销售单价为30元时，该玩具每天的销售额为600元． 【小问2详解】 解： ∵， ∴当时，． 答：销售该玩具每天的利润最大值为225元． 【小问3详解】 解：设每天扣除捐款后的利润为,则 ， 当时,达到最大值．将代入得： 即， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴． 答：的值为2． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23. 设二次函数（，a、b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 … y … p 1 q 1 … （1）若时，求二次函数的表达式； （2）当时，y有最小值为，求a的值； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2）2或 （3）17 【解析】 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式、二次函数的最值问题，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由表可得，二次函数的对称轴为，进而得到，再分和两种情况讨论，即可求解； （3）由（2）得，用含的代数式分别表示出的值，再利用二次函数的性质即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：由题意得，二次函数经过点和， 则， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由表可得，二次函数经过点和， ∴二次函数的对称轴为， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为， 当时，二次函数图象开口向上， ∵ ∴当时，y有最小值为， ∴， 解得； 当时，二次函数图象开口向下， ∵， ∴当时，y有最小值为， ∴， 解得； ∴综上所述，a的值为2或； 【小问3详解】 解：由（2）得，， 当时，，即； 当时，，即； ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为17． 24. 已知是的外接圆，是直径，点是上的一点，连接，，并延长交的延长线于点，过点作与的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，，求证：是中点； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 证明：是直径， ， ， ， ， ， 又， ． （2） 证明：如图，连接， ，， ， ， ， ， 又， ， ， 是中点． （3） 【解析】 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，结合同角的余角相等，再结合圆周角定理完成角的等量代换； （2）通过线段比例关系证明三角形相似，结合圆周角与圆心角的关系，推导弧的等量关系； （3）借助相似三角形的性质求出圆的半径，再利用相似三角形对应线段成比例计算线段长度，再结合勾股定理建立方程求解目标线段的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）得， ， ， 即的半径为， ，， 是直径， ， ， 又， ， ， ， 又， ， ，即， 解得：， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了圆的性质（直径与圆周角、圆周角定理）、相似三角形的判定与性质，同角的余角相等以及勾股定理的应用，熟练掌握圆的相关定理与几何计算方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $