精品解析：山东省济宁市曲阜市2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期期中教学质量监测考试 八年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 4，5，10 C. 5，6，11 D. 8，7，14 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，那么点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 有两个角是的三角形是等边三角形 B. 若中，，则是直角三角形 C. 已知，，，则可以画出唯一确定的 D. 三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 5. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 如图，在中，，C、D、E三点在同一直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（　　）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第3个……按此作法继续下去，则第2025个三角形的底角度数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分．共15分． 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 12. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是________． 13. 已知是的三条边长，化简：__________． 14. 如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则________ ． 15. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，，交于点 E，平分．求的度数． 17. 如图，在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一个点D，使点D到边距离相等，且分别在上求作点M，N，使A，D关于直线对称；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，则与的周长和为　　　　　　．（如需画草图，请使用图2） 18. 如图，中，点．在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于轴对称的； （2）的面积是 ． （3）在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为 ． 19. 如图，，，点在边上，，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，在中，，，，垂足分别为，．为中点，与，分别交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 21. 如图，在中，，D是上一点，点E在的延长线上，且，连接交于点F，求证：． 22. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？ 在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究． 【提出问题】 在与中，，，，判断与是否全等？ 【探究1】 填空：如图，如果，那么与_______（填“一定”、“不一定”或“一定不”）全等，理由是：_______． 【探究2】 如图，如果，那么与是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例． 【探究3】 如图，已知， ①如果，那么这时与不一定全等，请利用尺规及图中给定的长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹） ②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果与一定全等，那么t的取值范围是_______． 23. 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）的取值范围是________； （2）【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； （3）【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中教学质量监测考试 八年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ） A. 3，4，8 B. 4，5，10 C. 5，6，11 D. 8，7，14 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 A中，3+4=7＜8，不能组成三角形； B中，4+5=9<10，不能组成三角形； C中，5+6=11，不能够组成三角形； D中，8+7=15>14，能组成三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 2. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 已知点，那么点关于轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握关于x轴对称的点的特征是解决本题的关键． 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴横坐标不变，纵坐标变为相反数， ∴的坐标为． 故选A． 4. 下列说法中，不正确的是（ ） A. 有两个角是的三角形是等边三角形 B. 若中，，则是直角三角形 C. 已知，，，则可以画出唯一确定的 D. 三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定、直角三角形的判定、全等三角形的判定以及角平分线的性质定理． 选项A和B根据三角形内角和定理判断正确；选项C根据HL定理可唯一确定三角形；选项D到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，因此不正确． 【详解】有两个角是的三角形，则第三个角也为，即为等边三角形，故A正确； ∵， ∴，故是直角三角形，故B正确； ∵，，， ∴根据定理，可唯一确定，故C正确； 到三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点，故D不正确； 故选：D． 5. 如图，在和中，已知，添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：， 当添加时，无法判断，故A选项符合题意； 当添加，则可根据判断，故B选项不符合题意； 当添加，则可根据判断，故C选项不符合题意； 当添加，则，则可根据判断，故D选项不符合题意； 故选：A． 6. 如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据题意、画出符合实际条件的图形以及掌握数形结合的思想是解答本题的关键． 根据题意并结合图形，分为等腰底边和为等腰的腰两种情况分别解答即可． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①为等腰底边时，符合条件的C点有0个； ②为等腰的腰时，符合条件的C点有8个； 故共有8个点． 故选：D． 7. 如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形综合，由条件可知，求出点P的坐标为，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，由点P的坐标知，，证明，得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由条件可知， 解得：， 则点P的坐标为， 过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， 由点P的坐标知，， ∴， ∴， ∴． 答案：D． 8. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，中，，为的中线， 设腰， ∵为的中线， ∴， ∵中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴等腰三角形的腰长为或， 故选：． 9. 如图，在中，，C、D、E三点在同一直线上，连接，以下四个结论：①；②；③；④平分．其中正确的是（　　）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键． 先证明，再利用全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确，，， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴平分，故④正确． 故选：D． 10. 如图，在第1个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第3个……按此作法继续下去，则第2025个三角形的底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角性质、规律型—图形的变化类等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 先根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出的度数，找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数． 【详解】解：在中， 是的外角， 同理得， 第个三角形中以为顶点的底角度数是 第2025个三角形的底角度数是：， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分．共15分． 11. 命题“对顶角相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 【解析】 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 12. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，理解全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：根据全等三角形的对应角相等，得 ． 故答案为： 13. 已知是的三条边长，化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值以及整式的加减运算，根据三角形的三边关系得出是解题的关键． 先根据三角形的三边关系判断：，然后化简绝对值，再进行整式的加减计算即可得． 【详解】解：∵是的三条边长， ， ， 故答案为：． 14. 如图，中，，和分别是和的垂直平分线，则________ ． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用整体思想求解是解题的关键．由线段垂直平分线的性质知，得，从而得出答案． 【详解】解：∵和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积．延长交于点E，先证明，得，再根据中线的性质即可得出结果． 【详解】解：延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：6． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 在中，，交于点 E，平分．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的内角和定理求出的度数，的度数，角平分线求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵交于点 E，平分， ∴，， ∴， ∴． 17. 如图，在中，． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在边上找一个点D，使点D到边距离相等，且分别在上求作点M，N，使A，D关于直线对称；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，则与的周长和为　　　　　　．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）24 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，掌握基本作图的作法是解决问题的关键． （1）根据尺规作图作角平分线和垂直平分线的作法作图即可； （2）由题意可证，进而得到，得到与的周长和，即可得解． 【小问1详解】 解：以点A为圆心，适当长为半径画弧交于两点，再分别以它们为圆心，适当长为半径画弧，交于一点，连接该点与点A，交于点D，再以点A，点D为圆心，适当长为半径画弧交于两点，连接两点分别交于M，N， 【小问2详解】 解：连接，设与交于点O， 由题意可知，是的垂直平分线， 则， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴与的周长和， ∵， ∴与的周长和 故答案为：24． 18. 如图，中，点．在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）在图中画出关于轴对称的； （2）的面积是 ． （3）在轴上找一点，使得的值最小，则点的坐标为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称变换和利用轴对称求最短路线问题； （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用割补法计算面积即可； （3）利用轴对称求最短路线的方法得出点，找到关于轴的对称点，连接交轴于点，根据为网格的对角线，可得点的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 的面积是 【小问3详解】 解：如图所示，找到关于轴的对称点，连接交轴于点，根据坐标可得 故答案为：． 19. 如图，，，点在边上，，和相交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据全等三角形的判定方法即可判断； （2）由（1）可知：，，从而可求出的度数，进一步可得答案． 【小问1详解】 证明：∵和相交于点， ∴， 在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中 ， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴. 20. 如图，在中，，，，垂足分别为，．为中点，与，分别交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质； （1）先证明是等腰直角三角形，得到，即可证明，得到； （2）先证明垂直平分，得到，再证明，得到． 【小问1详解】 证明：，， ，，， ，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：为的中点，， 垂直平分， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 21. 如图，在中，，D是上一点，点E在的延长线上，且，连接交于点F，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】过点作，交于点，则，．根据，得出，则，即可得．结合，得出．证明，即可证明． 【详解】证明：过点作，交于点，如图， 则，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 22. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形一定不能全等吗？ 在学完全等三角形的判定后，我们知道判定两个三角形全等的方法有：、、、以及共五种，而、都不能判定两个三角形全等．那么符合“”条件的两个三角形一定不能全等吗？下面我们来进行一下探究． 【提出问题】 在与中，，，，判断与是否全等？ 【探究1】 填空：如图，如果，那么与_______（填“一定”、“不一定”或“一定不”）全等，理由是：_______． 【探究2】 如图，如果，那么与是否一定全等？如果全等，请证明；如果不全等，请画出反例． 【探究3】 如图，已知， ①如果，那么这时与不一定全等，请利用尺规及图中给定的长度为4的线段，在图中直接画出满足条件且两个不全等的三角形；（不写作图过程，保留作图痕迹） ②填空：在①的条件下，改变、的长度，设，如果与一定全等，那么t的取值范围是_______． 【答案】[探究1] 一定，；[探究2]，证明见解析；[探究3]①见解析；②或 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法及性质，尺规作图作线段等知识点，理解并掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． [探究1]根据判断全等即可； [探究2]过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，先证，再证，得，进而可证明结论； [探究3]①根据作线段等于已知线段的步骤作图即可； ②结合①，找到临界位置：当，时；当以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，此时画出的三角形是唯一确定的；根据对应的值，即可求解． 【详解】解：[探究1]如果，那么与一定全等，理由是：． 故答案为：一定，； [探究2] ， 证明：如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； [探究3]①如图所示，即为所求， ②当，，时，显然由可知，， ∵，， ∴，即：此时； 以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，以为圆心，长为半径，画弧另一边只有一个交点，此时画出的三角形是唯一确定的， 此时，， 所以，此时， 当时，显然作出的三角形也是唯一确定的，那么与一定全等， 综上，当或时，与一定全等， 故答案为：或． 23. 【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决． （1）的取值范围是________； （2）【灵活运用】如图3，和中，，，，．点为的中点，试说明； （3）【问题拓展】如图4，是的中线，延长至点，使得，若，，试探究线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）详见解析 （3），，证明见解析 【解析】 【分析】（1）延长到，使，连接，构造，则可得．在中，根据三角形三边之间关系可得，进而可得． （2）延长至点，使，连接．构造，则可得，，进而可得，．再根据可得，则可得． （3）在的延长线上截取，连接，构造，则可得，，则可得，，进而可得．再根据证明，则可得，，故． 【小问1详解】 解：如图2，延长到，使，连接， ∵点为的中点， ∴ 在和中 ∴， ∴ 在中， ∴ 即 ∴ 即； 【小问2详解】 证明：延长至点，使，连接． ∵点为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； 【小问3详解】 解：，． 理由如下：如图，在的延长线上截取，连接， 则． ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $