精品解析：山东省济宁市曲阜市2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024～2025学年度第一学期期中教学质量监测考试 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，64分；共100分．考试时间为120分钟． 2.答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3.答第Ⅱ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5.填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1. 2023年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形； 选项D能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三线，根据高线，中线，角平分线的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，， 故选项A，C，D正确，选项B错误； 故选B． 3. 如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 12米 C. 16米 D. 22米 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系得到，根据的范围判断即可． 【详解】解：如图：连接， 根据三角形的三边关系得： ， 即：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，能正确运用三角形的三边关系是解此题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 全等的两个三角形的面积相等 B. 两个等腰直角三角形全等 C. 面积相等的两个三角形是全等三角形 D. 周长相等的两个三角形是全等三角形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理以及性质是解题关键．根据全等三角形的性质和判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、全等的两个三角形的面积相等，说法正确，符合题意； B、两个等腰直角三角形角度相等，三边不一定相等，所以不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； D、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，说法错误，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，，过点C作，垂足为D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，是解题的关键． 根据全等的性质，得到，进而推出，再利用直角三角形的两个锐角互余，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 6. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，结合小明书上的三角形还保留两个完整的角以及夹边，进行作答即可． 【详解】解：结合图形，得小明书上的三角形还保留两个完整的角以及夹边， ∴小明画图的依据是， 故选：A． 7. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据等腰三角形的定义以及构成三角形的条件分类讨论，分析即可求解． 【详解】解：依题意，若长的边为腰，则三角形的底边长为， 三边分别为，，，而，不能构成等腰三角形； 若长的边为底，则三角形的腰长为， 三边分别为，7，7，而，能构成等腰三角形， ∴三角形的腰长为， 故选：B． 8. 如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABD+∠ACD的值为（　　） A 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠A=50， ∴∠ABC+∠ACB=180°-50°=130°. ∵∠D=90， ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°. ∴∠ABD+∠ACD =(∠ABC+∠ACB)-( ∠DBC+∠DCB) =130°-90° =40°. 故选C. 9. 如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于F，若，的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线性质，根据垂直平分线的性质可得，即可得出，根据的周长即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是的垂直平分线， ∴， 又∵的周长为， ∴， ∴， 故选D． 10. 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 A. 1：1：1 B. 1：2：3 C. 3：7：4 D. 6：7：8 【答案】D 【解析】 【分析】过O点分别作BC、AB、AC的垂线OF、OE、OD，利用角平分线性质可以得到OF=OE=OD，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【详解】 如图，过O点分别作BC、AB、AC的垂线OF、OE、OD ∵OC是∠BCA的角平分线 ∴OF=OD 同理OD=OE ∴OE=OF=OD ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=::=AB:BC:CA=6:7:8 所以答案为D选项． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键． 11. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【详解】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 12. 如图，已知和关于直线对称；如图，在射线上取点，连接，；如图，在射线上取点连接，，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，图形类的规律探索，根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴．， 在和中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵． ∴， 在中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分． 13. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，理解三角形的稳定性是解题关键．根据“三角形具有稳定性”，即可获得答案． 【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做依据是三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 14. 已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是_____． 【答案】（1，2）． 【解析】 【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出点P坐标． 【详解】∵P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），∴点P坐标是（1，2）． 故答案为（1，2）． 【点睛】本题考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键． 15. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角，然后根据正多边形内角与外角的互补，求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得的度数． 【详解】解：图中五边形为正六边形， ， ， 正方形中， ， ， 故答案为：． 16. 已知的三边长为，，，的三边长为，，．若与全等，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边相等即可求解． 【详解】∵与全等， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，代入求值，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 17. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形的性质得出，根据可证明，由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答．证明是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵, ∴． 故答案为：． 18. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 三、解答题：共7小题，共52分． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）直接作出的垂直平分线得出即可； （2）根据等边对等角求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则，由此即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的尺规作图等知识点． 20. 如图，是中边上的高，平分，若．求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角的性质，先由三角形高的定义得到，再根据三角形的内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，利用求出的度数，根据三角形的外角的性质求出即可． 【详解】解：∵是中边上高， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，． 21. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，，相交于点M，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据线段间的数量关系得出，再由全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 22. 已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； （2）化简． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【小问1详解】 解：的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； 【小问2详解】 解：由三角形三边关系得：， ，， ． 23. 如图，由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C都在格点上（正方形的顶点）． （1）画出关于直线l的轴对称图形； （2）在网格图中画出点Q，使与全等； （3）直线l上总共存在 个点P，使为等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）结合全等三角形的判定可确定点的位置． （3）结合等腰三角形的判定，当以为底时，直线上存在1个点，使△为等腰三角形，当以为底时，直线上存在1个点，使为等腰三角形，当以为底时，直线上存在2个点，使为等腰三角形，进而可得答案． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：如图，点，均满足题意． 【小问3详解】 解：当以为底时，直线上存在1个点，使为等腰三角形； 当以为底时，直线上存在1个点，使为等腰三角形； 当以为底时，直线上存在2个点，使为等腰三角形． 综上所述，直线上总共存在4个点，使为等腰三角形． 故答案为：4． 24. 阅读下面材料： “百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”（图①），它见证了中国人民解放军海军的发展历程，六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律.观测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标． 请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论（两次反射原理）. 已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与0°刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线交于点C，所在直线与水平线交于点Ｄ，六分仪上刻度线与0°刻度线的夹角，观测角为．（请注意小贴士中的信息） 猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析． 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，再由各角之间的关系及等量代换得出，由三角形外角的性质及三角形内角和定理即可证明． 【详解】解：；理由如下： ∵， ∴（两直线平行内错角相等）， ∵， ∴（等量代换）， ∵（对顶角相等）， 又∵（小贴士已知）， ∴， ∵是的外角， ∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），即， ∴． 【点睛】题目主要考查平行线的性质，三角形外角的性质及内角和定理，理解题意，找出图中各角之间的关系是解题关键． 25. 数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： （1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点为中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论； （2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并把下面理由补充完整． 理由如下：过点作，交于点． （3）【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】（1） （2），见解析 （3）． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）过点E作，交于点F，由为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）作，交的延长线于点F，则，同理可得，由求出的长即可． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下， 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； 【小问3详解】 解：如图3所示，作，交的延长线于点F，则， 同理可得：是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，而， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期期中教学质量监测考试 八年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，第Ⅰ卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，64分；共100分．考试时间为120分钟． 2.答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3.答第Ⅱ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5.填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 1. 2023年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为估计池塘岸边A、B距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，A、B间的距离可能是（ ） A. 4米 B. 12米 C. 16米 D. 22米 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 全等的两个三角形的面积相等 B. 两个等腰直角三角形全等 C. 面积相等的两个三角形是全等三角形 D. 周长相等的两个三角形是全等三角形 5. 如图，，过点C作，垂足为D，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ） A B. C. D. 7. 用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若一边长是，则腰长为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠A＝50°，则∠ABD+∠ACD的值为（　　） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 9. 如图，中，，是垂直平分线，垂足为D，交于F，若，的周长为，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是60、70、80，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于 A. 1：1：1 B. 1：2：3 C. 3：7：4 D. 6：7：8 11. 如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 12. 如图，已知和关于直线对称；如图，在射线上取点，连接，；如图，在射线上取点连接，，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共64分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分． 13. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是______． 14. 已知点P关于y轴的对称点P1的坐标是（﹣1，2），则点P的坐标是_____． 15. 将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边与正方形的边在同一条直线上，则的度数是______． 16. 已知的三边长为，，，的三边长为，，．若与全等，则的值为_______． 17. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是______． 18. 如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为______． 三、解答题：共7小题，共52分． 19. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于； （2）连接，求证：平分． 20. 如图，是中边上的高，平分，若．求和的度数． 21. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，，相交于点M，，，，求证：． 22. 已知的三边长是． （1）若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； （2）化简． 23. 如图，由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，点A、B、C都在格点上（正方形的顶点）． （1）画出关于直线l轴对称图形； （2）网格图中画出点Q，使与全等； （3）直线l上总共存在 个点P，使为等腰三角形． 24. 阅读下面材料： “百年器象——清华大学科学博物馆筹备展”上展出了一件清华校友捐赠的历史文物“Husun型六分仪”（图①），它见证了中国人民解放军海军的发展历程，六分仪是测量天体高度的手提式光学仪器，它的主要原理是几何光学中的反射定律.观测者手持六分仪（图②）按照一定的观测步骤（图③显示的是其中第6步）读出六分仪圆弧标尺上的刻度，再经过一定计算得出观测点的地理坐标． 请大家证明在使用六分仪测量时用到的一个重要结论（两次反射原理）. 已知：在图④所示的“六分仪原理图”中，所观测星体记为S，两个反射镜面位于A，B两处，B处的镜面所在直线自动与0°刻度线保持平行（即），并与A处的镜面所在直线交于点C，所在直线与水平线交于点Ｄ，六分仪上刻度线与0°刻度线的夹角，观测角为．（请注意小贴士中的信息） 猜想与的数量关系，并说明理由． 25. 数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： （1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点为的中点时，确定线段与的数量关系，请你直接写出结论； （2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并把下面理由补充完整． 理由如下：过点作，交于点． （3）【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$