4.3用乘法公式分解因式 同步练习 2025-2026学年浙教版数学七年级下册

4.3用乘法公式分解因式 同步练习 一．选择题（共8小题） 1．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（　　） A．3b（a2﹣2a） B．b（3a2﹣6a+1） C．3（a2b﹣2ab） D．3b（a﹣1）2 2．若x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，则a，b的值分别为（　　） A．9，1 B．﹣9，1 C．﹣9，﹣1 D．9，﹣1 3．下列因式分解正确的是（　　） A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c） B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x） C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2 D．a2+ab+b2＝（a+b）2 4．将代数式x2+4x﹣5因式分解的结果为（　　） A．（x+5）（x﹣1） B．（x﹣5）（x+1） C．（x+5）（x+1） D．（x﹣5）（x﹣1） 5．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（　　） A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1 6．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（　　） A．x2﹣2x+2 B．2x2﹣mx+1 C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1 7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（　　） A．被8整除 B．被m整除 C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除 8．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 二．填空题（共6小题） 9．把多项式3a3b﹣27ab3分解因式的结果是　 　． 10．因式分解：a2+3a+2＝　 　． 11．已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝　 　． 12．因式分解y2﹣x2﹣4x﹣4为　 　． 13．在实数范围内分解因式：a4﹣4＝　 　． 14．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝　 　． 三．解答题（共4小题） 15．分解因式： （1）﹣3x2+6xy﹣3y2； （2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）． 16．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：将式子x2+3x+2分解因式． 这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2， 所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2． 解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）． 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：x2﹣5x+6＝　 　； （2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是　 　． 17．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积． 18．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．分解因式3a2b﹣6ab+3b的结果是（　　） A．3b（a2﹣2a） B．b（3a2﹣6a+1） C．3（a2b﹣2ab） D．3b（a﹣1）2 解：3a2b﹣6ab+3b ＝3b（a2﹣2a+1） ＝3b（a﹣1）2． 故选：D． 2．若x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，则a，b的值分别为（　　） A．9，1 B．﹣9，1 C．﹣9，﹣1 D．9，﹣1 解：（bx﹣3）2＝b2x2﹣6bx+9， ∵x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2， ∴﹣6b＝﹣6，a＝9， 解得a＝9，b＝1， 故选：A． 3．下列因式分解正确的是（　　） A．12a2b﹣8ac+4a＝4a（3ab﹣2c） B．﹣4x2+1＝（1+2x）（1﹣2x） C．4b2+4b﹣1＝（2b﹣1）2 D．a2+ab+b2＝（a+b）2 解：A、原式＝4a（3ab﹣2c+1），不符合题意； B、原式＝（1+2x）（1﹣2x），符合题意； C、原式不能分解，不符合题意； D、原式不能分解，不符合题意， 故选：B． 4．将代数式x2+4x﹣5因式分解的结果为（　　） A．（x+5）（x﹣1） B．（x﹣5）（x+1） C．（x+5）（x+1） D．（x﹣5）（x﹣1） 解：x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1）． 故选：A． 5．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（　　） A．x+2 B．x﹣3 C．2x﹣1 D．2x+1 解：∵2x3+x2﹣13x+6 ＝2x3+x2﹣10x﹣3x+6 ＝x（2x2+x﹣10）﹣3（x﹣2） ＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2） ＝（x﹣2）（2x2+5x﹣3） ＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3）， ∴2x3+x2﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）． 故选：C． 6．下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（　　） A．x2﹣2x+2 B．2x2﹣mx+1 C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1 解：选项A，x2﹣2x+2＝0，△＝4﹣4×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，即x2﹣2x+2在数范围内不能分解因式； 选项B，2x2﹣mx+1＝0，△＝m2﹣8的值有可能小于0，即2x2﹣mx+1在数范围内不一定能分解因式； 选项C，x2﹣2x+m＝0，△＝4﹣4m的值有可能小于0，即x2﹣2x+m在数范围内不一定能分解因式； 选项D，x2﹣mx﹣1＝0，△＝m2+4＞0，方程有两个不相等的实数根，即x2﹣mx﹣1在数范围内一定能分解因式． 故选：D． 7．对于任何整数m，多项式（4m+5）2﹣9都能（　　） A．被8整除 B．被m整除 C．被（m﹣1）整除 D．被（2m﹣1）整除 解：（4m+5）2﹣9＝（4m+5）2﹣32， ＝（4m+8）（4m+2）， ＝8（m+2）（2m+1）， ∵m是整数，而（m+2）和（2m+1）都是随着m的变化而变化的数， ∴该多项式肯定能被8整除． 故选：A． 8．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 解：∵4×4＝16，（﹣4）×（﹣4）＝16，2×8＝16，（﹣2）×（﹣8）＝16，1×16＝16，（﹣1）×（﹣16）＝16， ∴4+4＝2m，﹣4+﹣4＝2m，2+8＝2m，﹣2﹣8＝2m，1+16＝2m，﹣1﹣16＝2m， 分别解得：m＝4，﹣4，5，﹣5，8.5，﹣8.5； ∴整数m的值有4个， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 9．把多项式3a3b﹣27ab3分解因式的结果是　3ab（a+3b）（a﹣3b）　． 解：原式＝3ab（a2﹣9b2）＝3ab（a+3b）（a﹣3b）． 故答案是：3ab（a+3b）（a﹣3b）． 10．因式分解：a2+3a+2＝　（a+1）（a+2）　． 解：原式＝（a+1）（a+2）． 故答案是：（a+1）（a+2）． 11．已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝　9000　． 解：∵x＝y+95，即x﹣y＝95， ∴原式＝（x﹣y）2﹣25＝9025﹣25＝9000， 故答案为：9000 12．因式分解y2﹣x2﹣4x﹣4为　（y﹣x﹣2）（y+x+2）　． 解：原式＝y2﹣（x2+4x+4） ＝y2﹣（x+2）2 ＝（y﹣x﹣2）（y+x+2） 故答案为：（y﹣x﹣2）（y+x+2） 13．在实数范围内分解因式：a4﹣4＝　（a2+4）（a+）（a﹣）　． 解：a4﹣4 ＝（a2）2﹣22 ＝（a2+2）（a2﹣2） ＝（a2+2）（a+）（a﹣）． 故答案为：（a2+2）（a+）（a﹣）． 14．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2024＝　2025　． 解：∵a2+a﹣1＝0， ∴a2＝1﹣a、a2+a＝1， ∴a3+2a2+2024， ＝a•a2+2（1﹣a）+2024， ＝a（1﹣a）+2﹣2a+2024， ＝a﹣a2﹣2a+2026， ＝﹣a2﹣a+2026， ＝﹣（a2+a）+2026， ＝﹣1+2026， ＝2025． 故答案为：2025． 三．解答题（共4小题） 15．分解因式： （1）﹣3x2+6xy﹣3y2； （2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）． 解：（1）﹣3x2+6xy﹣3y2 ＝﹣3（x2﹣2xy+y2） ＝﹣3（x﹣y）2； （2）（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1） ＝a2﹣b2+4b﹣4 ＝a2﹣（b﹣2）2 ＝（a+b﹣2）（a﹣b+2）． 16．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形，由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，可得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式． 例如：将式子x2+3x+2分解因式． 这个式子的常数项2＝1×2，一次项系3＝1+2， 所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2． 解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 上述分解因式x2+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）． 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：x2﹣5x+6＝　（x﹣2）（x﹣3）　； （2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数P的所有可能值是　±9或±6　． 解：（1）x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）． 故答案是：（x﹣2）（x﹣3）． （2）∵8＝1×8；8＝﹣8×（﹣1）；8＝﹣2×（﹣4）；8＝﹣4×（﹣2）， 则p的可能值为﹣1+（﹣8）＝﹣9；8+1＝9；﹣2+（﹣4）＝﹣6；4+2＝6． ∴整数p的所有可能值是±9，±6， 故答案为：±9或±6． 17．如图，在一块边长为a米的正方形空地的四角均留出一块边长为米的正方形修建花坛，其余的地方种植草坪．利用因式分解计算当a＝13.6，b＝1.8时，草坪的面积． 解：由图可得， 草坪的面积是：a2﹣4b2， 当a＝13.6，b＝1.8时， a2﹣4b2 ＝（a+2b）（a﹣2b） ＝（13.6+2×1.8）×（13.6﹣2×1.8） ＝17.2×10 ＝172， 即草坪的面积是172． 18．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　C　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　（x﹣2）4　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 解：（1）故选：C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9， 设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+1）（y+7）+9， ＝y2+8y+16， ＝（y+4）2， ＝（x2﹣4x+4）2， ＝（x﹣2）4； 故答案为：（x﹣2）4； （3）设x2+2x＝y， 原式＝y（y+2）+1， ＝y2+2y+1， ＝（y+1）2， ＝（x2+2x+1）2， ＝（x+1）4． 1 学科网（北京）股份有限公司 $