4.3 第1课时 平方差公式（配套word）-【全效学习】2024-2025学年七年级下册数学（浙教版·新教材）

本讲义聚焦“用平方差公式分解因式”核心知识点，衔接整式乘法中平方差公式的逆用，通过公式辨析、几何验证、提公因式与公式综合应用等学习支架，构建从基础到综合的知识脉络。 资料以几何直观（如第3题图形面积验证公式）、运算能力（如第8题简便计算）、推理意识（如第15题规律探究）为特色，实例丰富。课中辅助教师突破重点，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升因式分解应用能力。

4.3　用乘法公式分解因式 第1课时　平方差公式 1.下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　(　C　) A.a2＋b2 B.2a－b2 C.－b2＋a2 D.－a2－b2 2.下列因式分解中，错误的是(　C　) A.4x2－25＝(2x＋5)(2x－5) B.a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b) C.4x2－y2＝(2x＋1)(2x－1) D.x2y－9y＝y(x＋3)(x－3) 3.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形。根据图形的变化过程写出的一个正确的等式为(　D　) 第3题图 A.a2－2ab＋b2＝(a－b)2 B.a2－ab＝a(a－b) C.a2－b2＝(a－b)2 D.a2－b2＝(a＋b)(a－b) 4.a3－9a分解因式的结果是(　A　) A.a(a－3)(a＋3) B.a(a2＋9) C.(a－3)(a＋3) D.a2(a－9) 5.分解因式： (1)2a2－2＝　2(a＋1)(a－1)　；  (2)2x2－8＝　2(x＋2)(x－2)　；  (3)9x2－1＝　(3x＋1)(3x－1)　；  (4)2mx2－32my2＝　2m(x＋4y)(x－4y)　；  (5)3y4－3x4＝　3(y2＋x2)(y＋x)(y－x)　。  6.已知x，y满足方程组则x2－4y2的值为　－15　。  【解析】 x2－4y2＝(x－2y)·(x＋2y)＝5×(－3)＝－15。 7.分解因式： (1)2a3－8ab2； 解：原式＝2a(a2－4b2)＝2a(a＋2b)(a－2b)。 (2)4x2－(y－2)2； 解：原式＝(2x＋y－2)(2x－y＋2)。 (3)m2(m－n)＋n2(n－m)。 解：原式＝(m－n)(m2－n2)＝(m－n)2(m＋n)。 8.用简便方法计算： (1)49.62－50.42； (2)。 解：(1)原式＝(49.6＋50.4)×(49.6－50.4) ＝100×(－0.8) ＝－80。 (2)原式＝× ＝2×。 9.先化简，再求值：(2a＋3b)2－(2a－3b)2，其中ab＝1。 解：原式＝(2a＋3b＋2a－3b)(2a＋3b－2a＋3b)＝4a·6b＝24ab。 当ab＝1时，原式＝24ab＝24。 10.先分解因式，再求值：4x2(a－2)＋a2(2－a)，其中x＝1，a＝102。 解：原式＝(a－2)(4x2－a2)＝(a－2)(2x＋a)(2x－a)。 当x＝1，a＝102时， 原式＝(102－2)×(2＋102)×(2－102) ＝100×104×(－100) ＝－1 040 000。 11.若(2 0242－4)(2 0232－4)＝2 026×2 022×2 021m，则m的值为(　C　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 12.用简便方法计算： (1)8×7582－2582×8； 解：原式＝8×(7582－2582) ＝8×(758＋258)×(758－258) ＝8×1 016×500＝4 064 000。 (2)。 解：原式＝ ＝。 13.如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b(cm) 的正方形，利用因式分解计算当a＝13.2，b＝3.4时的剩余部分的面积。 第13题图 解：剩余部分的面积为a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)。 当a＝13.2，b＝3.4时， 原式＝(13.2＋2×3.4)×(13.2－2×3.4) ＝20×6.4＝128(cm2)。 答：剩余部分的面积为128 cm2。 14.已知58－1能被20~30之间的两个整数整除，则这两个整数各是多少? 解：∵58－1＝(54)2－12 ＝(54＋1)(54－1) ＝(54＋1)(52＋1)(52－1) ＝(54＋1)×26×24， ∴这两个整数分别是26和24。 15.观察下列式子因式分解的做法： ①x2－1＝(x－1)(x＋1)； ②x3－1＝(x－1)(x2＋x＋1)； ③x4－1＝(x－1)(x3＋x2＋x＋1)。 (1)观察规律，尝试对x5－1进行因式分解： x5－1＝　(x－1)(x4＋x3＋x2＋x＋1)　。  (2)观察(1)中的结果，猜想xn－1＝　(x－1)·(xn－1＋xn－2＋…＋x＋1)　(n为正整数)。  (3)试求26＋25＋24＋23＋22＋2＋1的值。 解：(3)根据题中规律，可得27－1＝(2－1)·(26＋25＋24＋23＋22＋2＋1)， ∴26＋25＋24＋23＋22＋2＋1＝27－1＝127。 16.[几何直观]许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52。 (1)42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2 024呢? (2)设2n－1和2n＋1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n＋1和2n－1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么? (3)如图，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积。 第16题图 解：(1)42不能表示成两个连续奇数的平方差，2 024能表示为两个连续奇数的平方差。 (2)是.理由如下： ∵a＝(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n， ∴a是8的倍数。 (3)S阴影部分＝992－972＋952－932＋912－892＋…＋72－52＋32－12 ＝(99＋97)(99－97)＋(95＋93)(95－93)＋(91＋89)(91－89)＋…＋(7＋5)(7－5)＋(3＋1)(3－1) ＝(99＋97＋95＋…＋3＋1)×2 ＝×2 ＝5 000。 学科网（北京）股份有限公司 $