2026年中考数学一轮复习考点探究基础练 （河北） 第五章　四边形

第二讲　平行四边形 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(2025·山西)如图,在▱ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是(　　) A.OE=AD B.OE=BC C.OE=AB D.OE=AC 2.(2025·保定阜平县一模)如图,在▱ABCD中,BE⊥AB交对角线AC于点E.若∠2=130°,则∠1的度数为(　　) A.30° B.40° C.45° D.50° 3.(2025·石家庄长安区一模)根据所标数据,不能判定下列四边形是平行四边形的是(　　) A B C D 4.(2025·沧州盐山县模拟)现有一张平行四边形纸片ABCD,AD>AB,要求用尺规作图的方法在边BC,AD上分别找点M,N,使得四边形AMCN为平行四边形,甲、乙两位同学的作法如图所示,下列判断正确的是(　　) A.甲对、乙不对 B.甲不对、乙对 C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对 5.(2025·武安二模)如图,在平面直角坐标系中,已知点A在x轴正半轴上,且OA=1,点B在y轴负半轴上,且OB=2.若点C(-1,3),D是象限内的一点,则使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标为(　　) A.(0,5) B.(2,-5) C.(-2,1) D.(2,-5)或(-2,1) 6.(2025·河北模拟)如图所示,在正八边形ABCDEFGH的内部,作▱ABIG,则∠1=　　　　.  7.(2025·新疆)如图,在▱ABCD中,∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE=　　　　.  8.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,连接BE,若△ABE的周长为15,则▱ABCD的周长为　　　　.  9.如图,在▱ABCD中,∠C=120°,AB=2,点P是BC边上的动点,连接AP,DP,E,F分别是AD,PD的中点,则EF的最小值是　　　　.  10.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E. (1)求证:BE=CD. (2)若BF恰好平分∠ABE,连接AC,DE,求证:四边形ACED是平行四边形. (3)若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求平行四边形ABCD的面积. 1.(2025·保定莲池区一模)如图,P是▱ABCD内任意一点,连接PA,PB,PC,PD,得到△PAB,△PBC,△PCD,△PDA,设它们的面积分别是S1,S2,S3,S4,则下列结论错误的是(　　) A.若S1=S3,则点P在边AD,BC的中点的连线上 B.若点P在∠BAD的平分线上,则 C.若S1=S2,则点P在线段BD上 D.若S1=2S3,点P在线段BD上,则S4=2S2 2.(2025·武安二模)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=3,∠B=60°,E是对角线AC上的动点,连接DE,则DE的最小值为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·常州)如图,在▱ABCD中,E是AD上一点,DE=2AE,CE,BA的延长线相交于点F,若AB=2,则AF=　　　　.  4.(2025·陕西)如图,在▱ABCD中,AB=6,AD=8,∠B=60°.动点M,N分别在边AB,AD上,且AM=AN,以MN为边作等边三角形MNP,使点P始终在▱ABCD的内部或边上.当△MNP的面积最大时,DN的长为　　　　.  5.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16 cm,DC=13 cm,BC=21 cm,动点P从点B出发,以每秒2 cm的速度在BC上向点C运动,到点C后立即返回,动点Q从点A出发,以每秒1 cm的速度在线段AD上向点D运动.点P,Q分别从点B,A同时出发,当点Q运动到点D时,点P随之停止运动,设运动时间为t s.求当t为何值时,四边形PQDC是平行四边形. 【详解答案】 基础夯实 1.C　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,点O是对角线AC的中点,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵点E是边AD的中点,∴OE是△ACD的中位线,∴OE=CD=AB,故A,B,D错误,不符合题意;C正确,符合题意.故选C. 2.B　解析:∵BE⊥AB,∴∠ABE=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAE=∠1,∵∠2=∠BAE+ ∠ABE,∴∠2=∠1+∠ABE,∴∠1=130°-90°=40°.故选B. 3.C　解析:A.根据对角线互相平分能判定该四边形是平行四边形,故本选项不符合题意;B.根据两组对边分别相等能判定该四边形是平行四边形,故本选项不符合题意;C.根据题图可知,一组对边相等,另一组对边平行,不能判定该四边形是平行四边形,故本选项符合题意;D.由两组内错角相等,可得两组对边分别平行,根据两组对边分别平行能判定该四边形是平行四边形,故本选项不符合题意.故选C. 4.C　解析:甲:由作图可知,BM=BA,DN=DC,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,AD∥BC, ∴BM=DN,∴CM=AN,CM∥AN,∴四边形AMCN为平行四边形;乙:由作图可知,AM平分∠BAD,CN平分∠BCD,∴∠BAM=∠DAM,∠BCN=∠DCN,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=DC,AD=BC,AD∥BC, ∴∠DAM=∠BMA,∠DNC=∠BCN,∴∠BAM=∠BMA,∠DNC=∠DCN,∴AB=BM,CD=DN,∴BM=DN, ∴AN=CM,AN∥CM,∴四边形AMCN为平行四边形.故选C. 5.D　解析:如图, ∵点A在x轴正半轴上,且OA=1,点B在y轴负半轴上,且OB=2,∴点A(1,0),点B(0,-2),当AC∥BD,AB∥CD时,四边形ABDC为平行四边形,点D的坐标为(-2,1);当AC∥BD,AD∥BC时,四边形ADBC为平行四边形,点D的坐标为(2,-5);当AB∥CD,AD∥BC时,四边形ABCD为平行四边形,点D的坐标为(0,5),不符合题意,舍去.综上所述,点D的坐标为(2,-5)或(-2,1).故选D. 6.45°　解析:延长BA,GH交于点P,如图. ∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠BAH=∠AHG=∠FGH=×(8-2)×180°=135°, ∴∠PAH=∠PHA=180°-135°=45°,∴∠P=180°-∠PAH-∠PHA=90°. ∵四边形ABIG是平行四边形,∴GI∥AB,∴∠HGI=180°-∠P=90°,∴∠1=∠FGH-∠HGI=45°. 7.2　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,且AD=2,∴BC=AD=2,AB∥CD,∴∠DCE=∠BEC,∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,∴∠BCE=∠BEC,∴BE=BC=2. 8.30　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,AB=CD,AD=BC,∵△ABE的周长为15,∴AB+BE+AE=15,∵OE⊥BD,∴OE是线段BD的垂直平分线,∴BE=ED,∴AB+BE+AE=AB+AD=15,∴▱ABCD的周长=2(AB+AD)=2×15=30. 9.　解析:如图,过点A作AN⊥BC于点N, ∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=120°,∴∠B=60°,∵AN⊥BC,∴∠BAN=30°,∴BN=AB=1,∴AN=.∵E,F分别是AD,DP的中点,∴EF=AP,∴当AP⊥BC时,AP有最小值,即EF有最小值,∴当点P与点N重合时,AP的最小值为,∴EF的最小值为. 10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB=CD, ∴∠DAE=∠AEB. ∵AE平分∠BAD, ∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB, ∴BE=AB, ∴BE=CD. (2)证明:由(1)知BE=AB, ∵BF平分∠ABE, ∴AF=EF, 在△ADF和△ECF中, ∴△ADF≌△ECF(ASA), ∴DF=CF, 又∵AF=EF, ∴四边形ACED是平行四边形. (3)由(1)知BE=AB, 又∵∠BEA=60°, ∴△ABE是等边三角形, ∴AB=AE=4, ∵BF⊥AE, ∴AF=EF=AE=2, 在Rt△ABF中,由勾股定理得BF==2. ∵∠DAE=∠AEB,AF=EF,∠AFD=∠EFC, ∴△ADF≌△ECF(ASA), ∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=×AE×BF=×4×2=4. 能力提升 1.D　解析:由题意知AB=CD,AD=BC,S1+S3=S2+S4.若S1=S3,则点P到AB,CD的距离相等,∴点P在边AD,BC的中点的连线上,A项正确;若点P在∠BAD的平分线上,则点P到AB,AD的距离相等,∴,B项正确;若S1=S2, 则S3=S4,S1+S4=S2+S3=S▱ABCD=S△ABD,∴点P在线段BD上,C项正确;若S1=2S3,点P在线段BD上,由点A,C到BD的距离相等知=2,∴=2,S2=2S4,D项错误.故选D. 2.C　解析:过点D作DH⊥AC于点H,过点C作CF⊥AD于点F,如图所示: ∵点E是对角线AC上的动点,根据“垂线段最短”得:当DE⊥AC时,DE最小,∴当点E与点H重合时,DE最小,最小值是线段DH的长,∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=2,AD=3,∠B=60°,∴CD=AB=2,∠ADC=∠B=60°,∵CF⊥AD,∴△CDF和△CFA都是直角三角形,在Rt△CDF中,∠DCF=90°-∠ADC=30°, ∴DF=CD=1,由勾股定理得CF=,在Rt△CFA中,AF=AD-DF=3-1=2,由勾股定理得AC=,由三角形的面积公式得S△ACD=AC·DH=AD·CF, ∴DH=. ∴DE的最小值为.故选C. 3.1　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, AD=BC,∵DE=2AE,∴AD=AE+DE=AE+2AE=3AE,∴.∵AE∥BC,∴△FAE∽△FBC,∴,∵AB=2,∴,∴AF=1. 4.5　解析:如图,连接AP并延长,交BC于点H, ∵四边形ABCD是平行四边形,∠B=60°,∴∠BAD=120°, ∵△MNP是等边三角形,∴MP=PN,∠PMN=∠PNM=60°,△MNP的面积=MP2, ∵AM=AN,AP=AP,∴△AMP≌△ANP(SSS),∴∠BAP=∠DAP=60°,∠APM=∠APN=30°, ∴∠AMP=90°,∴MP=AM,AP=2AM,∴MP=AP,∴△MNP的面积=AP2,∴当AP最大时,△MNP的面积最大,∵∠B=∠BAH=60°,∴△ABH是等边三角形,∴AB=AH=6,∵AM=AN,MP=NP,∴点P在AH上运动,∵点P始终在▱ABCD的内部或边上,∴AP的最大值为AH的长,即AP=6,∴AM=AN=3,∴DN=AD-AN=5. 5.解:∵AD∥BC,点P在BC上,点Q在AD上,∴DQ∥PC, ∴当DQ=PC时,四边形PQDC是平行四边形. 当点P运动到点C时,2t=21, ∴t=; 当点Q运动到点D时,t=16. 当0≤t≤时, 由DQ=CP得16-t=21-2t, 解得t=5; 当<t≤16时, 由DQ=CP得16-t=2t-21, 解得t=. 综上所述,当t=5或t=时,四边形PQDC是平行四边形. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲　多边形 1.(2025·北京)若一个六边形的每个内角都是x°,则x的值为(　　) A.60 B.90 C.120 D.150 2.(2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍,则该多边形的边数为(　　) A.10 B.11 C.12 D.13 3.传统文化(2025·石家庄裕华区二模)青铜镜,古称“鉴”或“照子”.图2是从八角形铜镜(图1)底部抽象出的正八边形ABCDEFGH,连接HD,则∠HDE的度数为(　　) A.60° B.62.5° C.65° D.67.5° 4.一个多边形,从它的一个顶点最多可引6条对角线,那么这个多边形的边数是(　　) A.11 B.10 C.9 D.8 5.如图,小明从A地出发,沿直线前进15米后向左转18°,再沿直线前进15米,又向左转18°……照这样走下去,他第一次回到出发地A地时,一共走的路程为(　　) A.300米 B.250米 C.200米 D.100米 6.珍珍在硬纸板中通过如图所示的方式裁剪,得到底面为正六边形的无盖纸盒(图中实线表示剪切线,虚线表示折痕,正六边形的四周是长方形),则∠ABC的度数为(　　) A.75° B.60° C.45° D.30° 7.如图,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变,则这个关系是(　　) A.2∠A=∠1+∠2 B.3∠A=2∠1+∠2 C.∠A=∠1+∠2 D.3∠A=2∠1+2∠2 8.(2025·河北模拟)如图,将一个正五边形ABCDE变形为四边形ABCD,其中A,E,D三点共线,AD∥BC,则∠C的度数将(　　) A.增大12° B.减小12° C.增大24° D.减小24° 9.(2025·石家庄三模)如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图,则n=　　　　.  10.(2025·邢台信都区二模)如图所示,由正方形和正六边形相间围成一圈,则需要正六边形的个数是　　　　.  11.(2025·长春)图1是一个正十二面体,它的每个面都是正五边形,图2是其表面展开图,则∠α为 　　　　度.  12.(2025·长沙)如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E=　　　　.  13.(2025·武安三模)如图,多边形ABCGFED中,∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°,则∠A+∠B的度数为　　　　.  14.(2025·石家庄正定县三模)如图所示为用镜子拼成的正八边形,点B为AF上一点,现从点B射出一束光线,经过两次反射后,到达AG边上的E点,若∠ABC=65°,则∠AED=　　　　.  1.雪花是一种美丽的结晶体,其形状我们可近似看作一个正六边形ABCDEF(如图所示),连接CF.若G是AB边上的中点,连接GE交CF于点O,则的值为(　　) A. B. C. D. 2.(2025·石家庄栾城区二模)将一个正八边形与一个正六边形按如图所示放置,顶点A,B,C,D四点在同一条直线上,E为公共顶点,则∠FEG的度数为(　　) A.40° B.35° C.30° D.25° 3.(2025·邯郸邯山区模拟)如图是正n边形纸片的一部分,其中只有∠B,∠C和BC边是完整的,直线l与破损的边AB,CD相交.若α+β=90°,则n的值为(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 4.(2025·南充)如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形,若正六边形的边长为2,则矩形的面积是(　　) A.12 B.8 C.16 D.12 5.如图,正六边形的两个顶点恰好落在直尺的相对的边上(其中直尺的对边相互平行),若∠α=42°,则∠β=　　　　.  6.如图是小高和小齐同学的对话: (1)根据小高给出的内容,求这个凸多边形是几边形. (2)小齐说的多边形存在吗?如果存在,它是几边形?如果不存在,说明得出结论的理由. 【详解答案】 基础夯实 1.C　 2.A　解析:设该多边形的边数为n,根据题意,得(n-2)·180°=4×360°,解得n=10,则该多边形的边数为10.故选A. 3.D　解析:∵八边形ABCDEFGH是正八边形,∴∠CDE==135°, ∴由对称性可知∠HDE=∠HDC=∠CDE=67.5°.故选D. 4.C　解析:设这个多边形的边数是n,∵从多边形的一个顶点最多可引6条对角线,∴n-3=6,解得n=9.故选C. 5.A　解析:正多边形的边数为360°÷18°=20,∴一共走的路程为15×20=300(米).故选A. 6.B　解析:根据正六边形的每个内角都为120°,可知∠ABC+120°+90°+90°=360°,∴∠ABC=60°.故选B. 7.A　解析:如图, 在四边形ADA'E中,∠A'+∠A+∠ADA'+∠AEA'=360°,∵把△ABC纸片沿DE折叠,∴∠A=∠A'. ∵∠ADA'=180°-∠2,∠AEA'=180°-∠1,则2∠A+180°-∠2+180°-∠1=360°,∴2∠A=∠1+∠2.故选A. 8.A　解析:∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=BC=CD=DE=AE,连接BE,如图. ∵AD∥BC,∴DE∥BC,又∵DE=BC,∴四边形BCDE是平行四边形,∴∠C=∠DEB,CD=BE,∴AE=AB=BE, ∴△ABE是等边三角形,∴∠AEB=60°,∴∠C=∠DEB=120°. ∵在正五边形ABCDE中,∠C==108°,120°-108°=12°,∴∠C的度数增大了12°.故选A. 9.12　解析:如图,由题意可得△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,延长DA交BC于点E,则AE⊥BC, ∴∠BAE=∠BAC=30°,即正n边形的一个外角是30°,∴n==12. 10.6　解析:∵正方形和正六边形相间围成一圈,∴所需正六边形和正方形的个数相同.它们围成一圈时,如图,则∠ABC=360°-90°-120°=150°,即内层正多边形的每个内角为150°,则该正多边形的每个外角都为30°, ∵360°÷30°=12,∴正六边形的个数是12÷2=6. 11.36　解析:∵正五边形的每个外角为360°÷5=72°,∴正五边形的每个内角为180°-72°=108°, ∴∠α=360°-3×108°=360°-324°=36°. 12.205°　解析:∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540°, ∵∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,∴∠A+∠E=540°-120°-110°-105°=205°. 13.72°　解析:连接CD,如图.∵五边形CDEFG的内角和为(5-2)×180°=540°, ∴∠CDE+∠DCG=540°-(∠E+∠F+∠G)=540°-108°×3=216°, ∴∠ADC+∠BCD=∠CDE+∠DCG-(∠BCG+∠ADE)=216°-72°×2=72°,∴∠A+∠B=∠ADC+∠BCD=72°. 14.70°　解析:如图,设正八边形在CD上方的顶点依次为H,I,J,BC与DE的交点为K,∵八边形是正八边形, ∴∠CHI=∠HIJ=∠IJD=∠BAE==135°,设∠BCD=x,∠CDE=y,由光的反射定律可知∠DCH=(180°- ∠BCD)=90°-x,∠CDJ=(180°-∠CDE)=90°-y,∵多边形CHIJD是五边形,∴∠CHI+∠HIJ+∠IJD+∠DCH+ ∠CDJ=540°,即3×135°+90°-x+90°-y=540°,化简得x+y=90°,∴∠CKD=180°-(x+y)=90°,∴∠BKE=90°.∵多边形AEKB是四边形,∴∠AED=360°-(∠BKE+∠BAE+∠ABC)=360°-(90°+135°+65°)=70°. 能力提升 1.A　解析:连接AD,AE,分别交CF于点M,N,如图, 由题意得AE⊥MF,△AMF是等边三角形,设AB=AF=AM=MF=2a,则AG=a,CF=4a,∴AE=2AN=2AM·sin 60°=2a.∵∠AFE=120°,∴∠FAE=×(180°-120°)=30°,∴∠GAE=120°-30°=90°, ∴GE=a, ∴.故选A. 2.C　解析:由题意可得∠ABE=∠BEF=(8-2)×180°÷8=135°,∠DCE=∠CEG=(6-2)×180°÷6=120°,∴∠CBE=180°-135°=45°,∠BCE=180°-120°=60°,∴∠BEC=180°-45°-60°=75°,∴∠FEG=360°-(135°+120°+75°)=30°.故选C. 3.C　解析:如图所示, ∵∠1=β,∠2=α,∴∠1+∠2=α+β=90°,∵该多边形是正n边形,∴∠B=∠C,∵四边形BCFE的内角和为360°, ∴∠1+∠2+∠B+∠C=360°,即90°+2∠B=360°,∴∠B=135°,∴正n边形的一个外角为180°-135°=45°, ∴n=360°÷45°=8.故选C. 4.B　解析:如图, ∵该组合图形是正六边形与矩形叠拼成的,且正六边形的边长为2,∴∠BCD=120°,∠A=90°,BC=CD=2, ∴∠ACB=60°,∴AB=BC×sin∠ACB=2×,AC=BC×cos∠ACB=2×=1,同理BF=,DE=1,∴AF=2,AE=4,∴矩形的面积是AE×AF=4×2=8.故选B. 5.102°　解析:如图, ∵正六边形每一个内角为(6-2)×180°÷6=120°,∠1=∠α=42°,∴∠3=180°-∠1-∠2=180°-42°-120°=18°, ∴∠4=120°-∠3=102°,∵直尺的两边互相平行,∴∠β=∠4=102°. 6.解:(1)设这个凸多边形的边数为n, ∴=35, 解得n=10或n=-7(舍去), ∴这个凸多边形是十边形. (2)小齐说的多边形不存在,理由如下: 假设小齐说的多边形存在,设这个多边形的边数为x, ∴=16, 解得x=, ∵x必须是正整数, ∴不存在一个多边形有16条对角线, ∴小齐说的多边形不存在. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲　矩形、菱形、正方形 1.如图,在菱形ABCD中,AC,BD是对角线,AB=5.若∠ABD=30°,则AC的长是(　　) A.4 B.5 C.6 D.10 2.(2025·兰州)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上,连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点,∠ADB=35°,则∠DPE=(　　) A.95° B.100° C.110° D.145° 3.如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AB,AC的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是(　　) A.12 B.16 C.20 D.24 4.(2025·自贡)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐标为(　　) A.(-3,5) B.(5,-3) C.(-2,5) D.(5,-2) 5.综合实践课上,老师让同学们利用尺规借助直角三角形ABC作矩形,如图是甲、乙、丙三名同学作的矩形,其中正确的是(　　) A.甲和丙 B.乙和丙 C.甲和乙 D.都正确 6.(2025·唐山路南区三模)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于O,CE∥BD,DE∥AC,若AB=5,AD=12,则四边形OCED的周长是(　　) A.10 B.20 C.28 D.26 7.如图,E,F,G,H分别为四边形ABCD各边的中点,顺次连接E,F,G,H,得到四边形EFGH,下列结论错误的是(　　) A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.当∠BAC=90°时,四边形EFGH为矩形 C.当AC=BD时,四边形EFGH为菱形 D.当AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形 8.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具,他先活动学具成为图1所示的菱形,并测得∠B=60°,接着活动学具成为图2所示的正方形,并测得对角线AC=10,则图1中菱形的对角线BD的长为(　　) A.10 B.20 C.10 D.10 9.(2025·唐山三模)如图,由8个全等的菱形组成的网格中,每个小菱形的边长均为1,∠ABD=120°,其中点A,B,C都在格点上,则tan∠BCD的值为(　　) A.2 B.2 C.3 D. 10.(2025·保定三模)如图,在菱形ABCD中,AB=8,∠B=60°,P是AB上一点,BP=5,Q是CD边上一动点,将四边形APQD沿直线PQ折叠,点A的对应点为A'.连接CA',当CA'的长度最小时,CQ的长为(　　) A.7 B.6 C.5 D.6.5 11.(2025·石家庄三模)四边形ABCD为平行四边形,O为对角线交点,点E,点M为AD边上任意两个不重合的动点(不与端点重合),EO,MO的延长线分别与BC边交于点F,点N.下面四个结论: ①OE=OM; ②四边形ENFM是平行四边形; ③若平行四边形ABCD是矩形(正方形除外),则至少存在一个四边形ENFM是正方形; ④对于任意的平行四边形ABCD,存在无数个四边形ENFM是矩形. 其中,正确的有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 12.(2025·云南)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是　　　　.  13.如图,在平面直角坐标系中,点A,D分别是x轴、y轴上的两点,以AD为边向外作矩形ABCD,对角线BD∥x轴,若点A,D的坐标分别是(6,0),(0,2),则BD的长为　　　　.  14.开放型试题(2025·乐山)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形,现有三个条件可供选择:①AC⊥BD;②AC=BD;③∠ADC=90°.则正确的组合是　　　　.(只需填一种组合即可)  15.(2025·邯郸模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E,F分别是AB,AD的中点,DG平分∠ADB, DG与EF交于点G,连接AG,则EG=　　　　.  16.(2025·北京)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,DF⊥BC,垂足为F,点G在DE的延长线上,DG=FC. (1)求证:四边形DFCG是矩形. (2)若∠B=45°,DF=3,DG=5,求BC和AC的长. 1.(2025·广东)如图,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点,连接DE,AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是(　　) A. B. C. D. 2.(2025·泸州)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E为AB的中点,F为CE上的点,且DF=DC,则AF的长为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·邢台三模)如图,在矩形ABCD中,AD=AB,点E在BC边上从点C向点B运动(含端点),作四边形AECD关于直线AE对称的四边形AEC'D',点D,C的对应点分别为点D',C',连接DD'交AE于点O. 甲:点E不可能落在DD'上;乙:点D',C'运动路径的长度比始终为.下列判断正确的是(　　) A.甲对、乙错 B.甲错、乙对 C.甲、乙都错 D.甲、乙都对 4.(2025·河北一模)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC所在直线是一条水平直线,过点A作一条竖直直线l,将直线l沿水平方向向右平移,在平移过程中,直线l落在菱形ABCD内部的线段长记作m,若AB=,AC=2,则m的取值范围是　　　　.  5.(2025·石家庄新华区一模)如图,在一个圆心角为45°的扇形MON(半径无限大)中,有一矩形ABCD,其中点A,B分别在半径OM,ON上滑动,已知AB=2,BC=1,则当AD落在OM边上时,OC的长为　　　　;滑动过程中,点C到圆心O的最大距离是　　　　.  6.(2025·吉林)如图,在△ABC中,AB=3,BC=5,∠BAC=45°.动点P从点A出发,沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动.当点P出发后,以AP为边作正方形APDE,使点D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为x(s)(x>0),正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y(平方单位). (1)AC的长为　　　　.  (2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. (3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时,直接写出x的值. 【详解答案】 基础夯实 1.B　解析:∵在菱形ABCD中,AC,BD是对角线,∴AC⊥BD,AO=CO,∴∠AOB=90°,∵∠ABD=30°,∴AO=AB=,∴AC=2AO=5.故选B. 2.C　解析:∵四边形ABCD是矩形,∠ADB=35°,∴AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠PBF=∠ADB=35°, ∵点P是EF的中点,∴PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线,∴PB=PF=PE,∴∠PFB=∠PBF=35°, 在△PBF中,∠BPF=180°-(∠PFB+∠PBF)=110°,∴∠DPE=∠BPF=110°.故选C. 3.B　解析:∵E,F分别是AB,AC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴BC=2EF=4,∴菱形的周长为4×4=16.故选B. 4.A　解析:∵四边形ABCD为正方形,且边长为5,∴AB=BC=CD=AD=5,∵点B(0,-2),∴OB=2,∴OA=AB-OB=3,由旋转的性质得OA'=OA=3,且点A'在x轴的负半轴上,正方形A'B'C'D'的边长为5,∴点D'的坐标为(-3,5).故选A. 5.D　解析:甲:先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形,再结合有一个角是直角,说明是矩形.乙:根据内错角相等,两直线平行,先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,再结合有一个角是直角,说明是矩形.丙:先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形,再结合有一个角是直角,说明是矩形,故甲、乙、丙都正确.故选D. 6.D　解析:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OD=OC=BD,在Rt△ABD中,由勾股定理得BD==13,∴OD=OC=BD=,∵CE∥BD, DE∥AC,∴四边形OCED是平行四边形, ∵OD=OC=,∴平行四边形OCED是菱形,∴四边形OCED的周长是4×OD=4×=26.故选D. 7.B　解析:连接AC,BD,如图. ∵E,F,G,H分别为四边形ABCD各边的中点,∴EF=AC,HG=AC,EH=BD,FG=BD,且EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,FG∥BD,∴EF=GH,EH=FG,且EF∥GH,EH∥FG,故四边形EFGH为平行四边形,A正确;当∠BAC=90°时, ∵EF∥AC,∴∠BEF=∠BAC=90°,∴∠FEH<90°,故平行四边形EFGH不是矩形,B错误;当AC=BD时,EF=GH=EH=FG,故四边形EFGH为菱形,C正确;当AC⊥BD时,∵HG∥AC,FG∥BD,∴HG⊥FG,故平行四边形EFGH为矩形,D正确.故选B. 8.D　解析:∵正方形中对角线AC=10,∠ACB=45°,∴BC=CD=AD=AB=AC·sin 45°=10.连接菱形中的AC,BD相交于点O,如图, ∴AC⊥BD,∵∠ABC=60°,∴△ABC为等边三角形,OB=OD,∴∠ACB=60°, ∴OB=BC·sin 60°=5,∴BD=2OB=10.故选D. 9.A　解析:延长BC与网格线交于点F,连接AF与网格线交于点E,如图. ∵网格由8个全等的菱形组成,∴F,E都在格点上,∴∠CFG=∠ABD=60°,∠EGF=120°,EG=FG=1,AE=EF, ∴∠EFG=(180°-∠EGF)=30°,∴∠AFC=30°+60°=90°,∴CF=CE=1,EF=,∴AF=2, ∴tan∠ACF==2,∵∠BCD=∠ACF,∴tan∠BCD=2.故选A. 10.A　解析:∵在菱形ABCD中,AB=8,BP=5,∴A'P=AP=3,∴点A'在以P为圆心,3为半径的弧上,故当C,P,A'在一条直线上时,CA'有最小值,如图所示,过点C作CH⊥AB,垂足为H, 在Rt△BCH中,∠B=60°,BC=8,则BH=BC=4,CH=sin 60°·BC=×8=4.∵BP=5,∴PH=1,在Rt△CPH中,依据勾股定理得PC==7,由折叠的性质可知∠APQ=∠A'PQ.∵AB∥CD,∴∠CQP=∠APQ, ∴∠CQP=∠CPQ,∴CQ=CP=7.故选A. 11.B　解析:①∵点E,点M为AD边上任意两个不重合的动点,∴∠OEM与∠OME不一定相等,∴OE与OM不一定相等,故结论①不正确; ②如图1所示: ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OD=OB,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,在△EAO和△FCO中, ∴△EAO≌△FCO(ASA),∴OE=OF,同理可得OM=ON,∴四边形ENFM是平行四边形,故结论②正确; ③如图2所示: ∵四边形ABCD是矩形(正方形除外),由②可知:四边形ENFM是平行四边形,∴当∠OEM=∠OME=45°时,△OEM是等腰直角三角形,∴OE=OM,EF⊥MN,∴EF=MN,此时四边形ENFM是正方形,故结论③正确; ④如图3所示: ∵四边形ABCD是任意的平行四边形,由②可知:四边形ENFM是平行四边形,当∠OEM=∠OME时,OE=OM, ∴EF=MN,∴四边形ENFM是矩形,故结论④正确.综上所述,正确的结论是②③④,共3个.故选B. 12.15　解析:∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=5,∴菱形ABCD的面积=AC·BD=×6×5=15. 13.　解析:∵点A,D的坐标分别是(6,0),(0,2),∴AO=6,OD=2,在Rt△AOD中,由勾股定理得AD==2.∵四边形ABCD为矩形,∴∠ADC=90°,AC=BD,DE=AE,∴∠EDA=∠EAD.∵BD∥x轴,∴∠EDA=∠DAO,∴∠EAD=∠DAO, 又∠ADC=∠AOD=90°,∴△CAD∽△DAO,∴,即, ∴AC=,∴BD=. 14.①②(或①③)　解析:正确的组合是①②或①③,①②理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,∵AC=BD,∴四边形ABCD是正方形.①③理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,∵∠ADC=90°,∴四边形ABCD是正方形. 15.-3　解析:∵矩形ABCD中,AB=4,AD=6,∴∠BAD=90°,在直角三角形ABD中,由勾股定理得BD==2,∵E,F分别是AB,AD的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF=BD=,EF∥BD,∴∠FGD=∠GDB,∵DG平分∠ADB,∴∠FDG=∠GDB,∴∠FDG=∠FGD,∴FG=FD=AF=AD=3,∴EG=EF-FG=-3. 16.解:(1)证明:∵D,E分别为AB,AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC, ∵DG=FC, ∴四边形DFCG是平行四边形, 又∵DF⊥BC, ∴∠DFC=90°, ∴平行四边形DFCG是矩形. (2)∵DF⊥BC, ∴∠DFB=90°, ∵∠B=45°, ∴△BDF是等腰直角三角形, ∴BF=DF=3, ∵DG=FC=5, ∴BC=BF+FC=3+5=8. 由(1)可知,DE是△ABC的中位线,四边形DFCG是矩形, ∴DE=BC=4,CG=DF=3,∠G=90°, ∴EG=DG-DE=5-4=1, ∴CE=, ∵E为AC的中点, ∴AC=2CE=2. 能力提升 1.B　解析:过点G作GM⊥BC于点M,如图所示: 在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,∠B=90°,∵点E,F是BC的三等分点,∴BE=EF=CF=BC=4,∴BF=BE+EF=8, ∴AB=BF=8,∴△ABF是等腰直角三角形,∴∠BFA=45°.同理△CDE是等腰直角三角形, ∴∠CED=45°,∴∠BFA=∠CED=45°,∴△GEF是等腰直角三角形, ∵GM⊥EF,∴GM=EM=FM=EF=2,∴CM=CF+MF=6,在Rt△GMC中,tan∠GCF=.故选B. 2.B　解析:过点D作DQ⊥CE交CE于点P,交BC于点Q,过点F作MN⊥AB交AB于点M,交CD于点N,如图所示: ∵四边形ABCD是正方形,且边长为2, ∴AB=BC=CD=2,∠B=∠DCB=90°,CD∥AB,∵点E是AB的中点, ∴AE=BE=AB=1,在Rt△BCE中,由勾股定理得CE=,∵∠DCB=90°,∴∠DCP+∠BCE =90°,∵DQ⊥CE,∴∠CDQ+∠DCP =90°,∴∠BCE=∠CDQ,在△BCE和△CDQ中, ∴△BCE≌△CDQ(ASA),∴CE=DQ=,BE=CQ=1.∵DQ⊥CE,∠B=90°,∴∠CPQ=∠B=90°,又∵∠PCQ=∠BCE,∴△CPQ∽△CBE,∴,即,∴CP=,PQ=,∴DP=DQ-PQ=, ∵DF=DC,DQ⊥CE,∴FP=CP=,∴CF=FP+CP=,∴EF=CE-CF=.∵CD∥AB,MN⊥AB, ∴MN⊥CD,∴∠MNC=∠DCB=∠B=90°,∴四边形BCNM是矩形,∴MN=BC=2,由三角形的面积公式得S△DCF=CD·FN=DP·CF,∴×2×FN=,∴FN=,∴FM=MN-FN=2-,在Rt△EFM中,由勾股定理得EM=,∴AM=AE+EM=1+,在Rt△AFM中,由勾股定理得AF=.故选B. 3.D　解析:如图,连接AC,AC', 由题意可得DD'⊥AE,AC=AC',AD=AD',∴∠AOD=90°,∴点O在以AD为直径的半圆上,∵AD=AB,∴该半圆与BC没有交点,而点E在BC上,∴点O与点E不会重合,即点E不可能落在DD'上,故甲对;由题意可得AB=CD,∠ADC=90°,∵AD=AB,∴AD=CD,∴AC==2CD,∴,从点E在点C位置开始,点D',C'运动路径的长度为以点A为圆心,分别以AD',AC'的长为半径的弧长,且AC'与AD'转过的角度相等,∵,∴点D',C'运动路径的长度比始终为,故乙对.故选D. 4.0≤m≤　解析:如图,连接BD,交AC于点O, ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC=AC,OB=OD=BD,∵AB=,AC=2,∴AO=1,由勾股定理得OB=,∴BD=2OB=.∵直线l落在菱形ABCD内部的线段长记作m,∴0≤m≤. 5.　　解析:当AD落在OM边上时,连接OC,如图1所示: ∵四边形ABCD是矩形,且AB=2,BC=1,∴CD=AB=2,AD=BC=1,∠BAD=∠ADC=90°, ∵AD落在OM边上,∴∠OAB=∠ODC=90°, ∵∠MON=45°,∴△OAB是等腰直角三角形,∴OA=AB=2,∴OD=OA+AD=3, 在Rt△OCD中,由勾股定理得OC=. 以AB为底边作等腰直角三角形EAB,且点E,O在AB的同侧,连接EC,OE,过点E作EF⊥CD于点F,交AB于点H,如图2所示: ∵四边形ABCD是矩形,且AB=2,BC=1,∴CD=AB=2,AD=BC=1,AB∥CD,∠ABC=∠BCD=90°, ∴∠EFC=∠ABC=∠BCD=90°,∴四边形BCFH是矩形,∴FH=BC=1,∠BHF=∠EHB=90°,∴EH=AH=BH=AB=1,∴EF=EH+FH=2,CF=BH=1,在Rt△EFC中,由勾股定理得EC=, 在Rt△EBH中,由勾股定理得EB==,∵∠AEB=90°,∠MON=45°, ∴点O在以E为圆心,EB的长为半径的☉E上,∴EO=EB=,根据“两点之间,线段最短”得OC≤EO+EC=,∴当O,E,C三点共线时,OC最大,最大值是,∴点C到圆心O的最大距离是. 6.解:(1)7 解析:过点B作BG⊥AC于点G,如图1, ∵∠BAC=45°, ∴△ABG是等腰直角三角形,∴AG=BG,AB2=AG2+BG2,即18=2AG2, 解得AG=3(负值舍去), ∵BC=5,∠BGC=90°, ∴GC==4, ∴AC=AG+GC=3+4=7. (2)当点D在线段AB上时,y=AP·DP=x2(0<x≤3). 当点D在线段AB的延长线上时,如图2, AP=x,GP=x-3,CP=7-x,CG=4,BG=3, ∵FP∥BG, ∴△CFP∽△CBG, ∴,即, 解得FP=, ∴y=S△ABG+S梯形PGBF=×32+×(x-3)=-(x-7)2+(3<x≤7). ∴y= (3)x的值为6. 解析:当正方形APDE的对称中心与点B重合时,如图3, ∴AD=2AB=6, ∵AP=DP,AP2+DP2=AD2, 即2AP2=72, 解得AP=6, ∴x=6. 学科网（北京）股份有限公司 $