2026年中考数学一轮复习考点探究基础练 （河北） 第四章　三角形

第一讲　几何初步、相交线与平行线(含命题) 1.(2025·廊坊一模)如图,P为下列某条直线上的一点,利用直尺判断,该直线为(　　) A.直线a B.直线b C.直线c D.直线d 2.关于图中的点和线,下列说法错误的是(　　) A.点C在直线AB上 B.点C在线段AB上 C.点B在射线AC上 D.点B在线段AC上 3.(2025·沧州一模)图2是图1的侧面展开图.一只昆虫沿着圆柱的侧面,从点A沿最短的路线爬到点B,则昆虫爬行的路线是图2中的(　　) A.① B.② C.③ D.④ 4.下列命题中: ①互为邻补角的两个角的平分线互相垂直; ②两条直线被第三条直线所截,同位角相等; ③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 真命题的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 5.用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时,应假设这个三角形中(　　) A.没有一个内角为钝角 B.三个内角都是锐角 C.至少有一个内角为钝角 D.至少有两个内角为钝角 6.(2025·南通)上午9时整,钟表的时针和分针构成的角的度数为(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 7.(2025·兰州)如图是集热板示意图,集热板与太阳光线垂直时,光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角β为54°.若光能利用率最高,则集热板与水平面夹角α的度数是(　　) A.26° B.30° C.36° D.54° 8.(2025·威海)如图,直线CF∥DE,∠ACB=90°,∠A=30°.若∠1=18°,则∠2等于(　　) A.42° B.38° C.36° D.30° 9.(2025·张家口一模)如图,要测量直线a,b所夹锐角的度数,嘉嘉给出了一种正确方法: (1)分别在直线a,b上取点A,B,连接AB. (2)过点A作∠BAC=∠1,则①　　　　(内错角相等,两直线平行).  (3)测量∠2的度数,即等于所求的度数(两直线平行,②　　　　).  则①②分别为(　　) A.a∥b,同位角相等 B.a∥b,内错角相等 C.AC∥b,内错角相等 D.AC∥b,同位角相等 10.(2025·沧州盐山县模拟)定义:若点C把线段AB分成两部分,且满足较长线段是较短线段的倍,则称点C为线段AB的青铜分割点.已知点C是线段AB的青铜分割点,且AB=4,则AC=　　　　　　.  11.如图,△ABC中,D是AC上一点,过D作DE∥BC交AB于E点,F是BC上一点,连接DF.若∠1 =∠AED. (1)求证:DF∥AB. (2)若∠1=50°,DF平分∠CDE,求∠C的度数. 1.跨物理学科(2025·深圳)如图为小颖在试鞋镜前的光路图,入射光线OA经平面镜后反射入眼,若CB∥OA,∠CBO=122°,∠BON=90°,则入射角∠AON的度数为(　　) A.22° B.32° C.35° D.122° 2.(2025·武安三模)如图,小明沿正东方向行至A处后,沿北偏东40°方向继续前行至B处,接着沿北偏西30°方向继续前行至C处,之后小明决定沿AB的平行线方向行走,则小明应该(　　) A.右转70° B.左转70° C.右转110° D.右转70°或左转110° 3.一款手机支架的示意图如图所示,底座支架PQ与桌面MN垂直,PQ=20 cm,固定连接杆BP= 40 cm,∠BPQ为固定值150°,AB是活动连杆,可绕点B旋转,使∠B的度数发生变化进而带动手机夹升降. (1)当AB∥MN时,∠B=　　　　.  (2)点B到MN的距离为　　　　 cm.  4.如图,直线HG,CF被直线AF所截,点B在HG,CF之间,连接AB,BC,CG,且AB⊥CB,CG⊥BC, ∠BAH=∠GCF,AD平分∠BAF交CF于点D,AE平分∠BAG交CF于点E. 【问题提出】 (1)若∠BAH=30°,求∠EAG的度数. (2)求证:HG∥CF. 【问题探究】 (3)试判断∠DAE与∠AFC之间的数量关系,并说明理由. 【详解答案】 基础夯实 1.C　2.D　3.B　 4.A　解析:①互为邻补角的两个角的和为180°,设一个角为α,则另一个角为180°-α,∴两角平分线形成的夹角为=90°,故互相垂直,①正确;②两条直线被第三条直线所截,只有两直线平行时同位角才相等,若两直线不平行,则同位角不相等,②错误;③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,需在同一平面内才成立,题目未限定平面,故表述不严谨,③错误;④“过直线外一点”有且只有一条直线与已知直线平行,题目中“过一点”未排除点在直线上,此时无平行线,④错误.综上,真命题仅①,个数为1.故选A. 5.D　6.C 7.C　解析:∵集热板与太阳光线垂直,∴α+β=180°-90°=90°,∵β=54°,∴α=90°-β=36°.故选C. 8.A　解析:∵∠1=18°,∴∠ACF=90°+∠1=108°,∵CF∥DE,∴∠ADE=∠ACF=108°, ∵∠ADE+∠2+∠A=180°,∠A=30°,∴∠2=180°-30°-108°=42°.故选A. 9.D　解析:由条件可知AC∥b.∵所求角与∠2是同位角,∴测量∠2的度数即可.故选D. 10.4-4或8-4　解析:由已知条件不能确定点C在线段AB上的位置,故要分情况讨论:①当AC<BC时,根据题意设AC=a,则BC=a,∵AC+BC=AB=4,∴a+a=4,解得a=4-4,即AC=4-4;②当AC>BC时,同理可得AC=8-4. 11.解:(1)证明:∵DE∥BC, ∴∠AED=∠B, 又∵∠1=∠AED,∴∠B=∠1, ∴DF∥AB. (2)∵DE∥BC, ∴∠EDF=∠1=50°, ∵DF平分∠CDE, ∴∠CDF=∠EDF=50°, 在△CDF中, ∵∠C+∠1+∠CDF=180°, ∴∠C=180°-∠1-∠CDF=180°-50°-50°=80°. 能力提升 1.B　解析:∵CB∥OA,∴∠CBO=∠BOA=122°,∵∠BON=90°,∴∠AON=122°-90°=32°.故选B. 2.D　解析:如图,由题意得∠CBG=30°,∠BAD=40°,AD∥BE,∴∠ABE=180°-∠BAD=140°, ∴∠ABC=140°-30°=110°,过C作CG∥AB,∴∠GCB=∠ABC=110°,∠FCH=∠ABC=110°, ∴∠FCG=180°-110°=70°,∴方向的调整应该是右转70°或左转110°.故选D. 3.(1)60°　(2)(20+20) 解析:(1)当AB∥MN时,过点P作PC∥MN,如图所示: ∴∠B=∠BPC,∠CPQ=∠PQN, ∴∠B+∠PQN=∠BPQ,∴∠B= ∠BPQ-∠PQN=150°-90°=60°. (2)过点B作BE⊥MN于点E,过点P作PD⊥BE于点D,如图所示: 则四边形EDPQ为矩形,∠DPQ=90°, ∵∠BPD=∠BPQ-∠DPQ=150°-90°=60°,∴BD=BPsin 60°=40×=20(cm),∴BE=BD+DE=(20+20)cm. 4.解:(1)∵∠BAH=30°, ∴∠BAG=180°-30°=150°, ∵AE平分∠BAG, ∴∠EAG=∠BAG=75°. (2)证明:∵AB⊥CB,CG⊥BC, ∴AB∥CG, ∴∠AGC=∠HAB, ∵∠BAH=∠GCF, ∴∠AGC=∠GCF, ∴HG∥CF. (3)∠AFC=2∠DAE,理由如下: 设∠DAE=x,∠EAF=y, ∵AD平分∠BAF,AE平分∠BAG, ∴∠BAD=∠FAD=x+y,∠BAE= ∠GAE, ∴x+y+x=y+∠GAF, ∴∠GAF=2x=2∠DAE, ∵HG∥CF, ∴∠AFC=∠GAF, ∴∠AFC=2∠DAE. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲　直角三角形 1.(2025·邯郸峰峰矿区一模)一技术人员用刻度尺(单位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°,点D为边AB的中点,点A,B对应的刻度分别为1,7,则CD=(　　) A.3.5 cm B.3 cm C.4.5 cm D.6 cm 2.(2025·廊坊广阳区二模)小红家的木门左下角有一点受潮,她想检测门是否变形,准备采用如下方法:如图,先测量门的边AB和BC的长,再测量点A和点C之间的距离,由此可推断∠B是不是直角,这样做的依据是(　　) A.勾股定理 B.勾股定理的逆定理 C.三角形内角和定理 D.直角三角形的两锐角互余 3.如图,AB⊥CD于点B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形,如果CD=5,BE=2,那么AC的长为(　　) A. B. C.5 D.13 4.(2025·邢台模拟)如图是由边长均相等的小正方形拼成的网格,A,B两点均在格点上,C,D两点均为小正方形一边的中点,直线AB与直线CD交于点E,则∠BED=(　　) A.60° B.75° C.90° D.105° 5.(2025·德阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD=1,则GE=(　　) A.3 B.2 C.1 D. 6.(2025·辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE的长为(　　) A.1 B.5 C.2 D. 7.(2025·保定模拟)如图,在正五边形ABCDE中,以AE为斜边作等腰直角三角形AFE,连接CF,交AE于点G,连接BE,交CF于点H,则关于下列两位同学说法的判断正确的是(　　) 嘉嘉:△EGH为直角三角形; 淇淇:△BCH为等腰三角形. A.只有嘉嘉正确 B.只有淇淇正确 C.两人都正确 D.两人都不正确 8.如图,△ABC的顶点A,C分别落在表盘外边框的10时和4时位置上.已知∠ACB=90°,AB与表盘的外边框交于点D(2时位置).若BD=1,则表盘直径的长度为(　　) A.4 B.2 C.2 D. 9.(2025·南通)南通是“建筑之乡”,工程建筑中经常采用三角形的结构.如图是屋架设计图的一部分,E是斜梁AC的中点,立柱AD,EF垂直于横梁BC.若AC=4.8 m,∠C=30°,则EF的长为　　　　m. 10.(2025·宁夏)如图,在单位长度均为1 cm的平面直角坐标系中,放置一个圆柱形笔筒的展开图.其中,侧面展开图OABC的边OA,OC在坐标轴上,点B坐标为(24,-10).将一根长度为14.6 cm的铅笔放入笔筒内,露出笔筒部分的最小长度是　　　　 cm.(结果保留整数,π取3,壁厚忽略不计)  11.(2025·唐山玉田县二模)三角板是我们学习数学的好帮手.将一副三角板如图放置,点C在FD的延长线上,点B在ED上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10. (1)求BC的长. (2)求CD的长. 1.(2025·浙江)如图,在Rt△ABC中,∠A=35°,CD是斜边AB上的中线,以点C为圆心,CD长为半径作弧,与AB的另一个交点为点E.若AB=2,则的长为(　　) A.π B.π C.π D.π 2.(2025·成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2.以点A为圆心,以AB长为半径作弧;再以点C为圆心,以BC长为半径作弧,两弧在AC上方交于点D,连接BD,则BD的长为　　　　.  3.数学文化(2025·扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41……根据上述规律,写出第⑤组勾股数为　　　　.  4.跨物理学科物理课上,老师带着科技小组进行物理实验.同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在物体C上,滑块B放置在水平地面的直轨道上,通过滑块B的左右滑动来调讲物体C的升降.实验初始状态如图1所示,物体C静止在直轨道上,物体C到滑块B的水平距离是6 dm,物体C到定滑轮A的垂直距离是8 dm.(实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计) (1)求绳子的总长度. (2)如图2,若物体C升高7 dm,求滑块B向左滑动的距离. 【详解答案】 基础夯实 1.B　2.B 3.B　解析:∵△ABD,△BCE都是等腰直角三角形,CD=5,BE=2,∴BC=BE=2,AB=BD=CD-BC=5-2=3, ∴AC=.故选B. 4.C　解析:如图,平移CD至GF处,则F,G均在正方形格点上,连接GB, 设小正方形的边长为1,由勾股定理得BF2=5,GF2=5,BG2=10,∴BF2+GF2=BG2, ∴∠BFG=90°,由平移可知CD∥GF,∴∠BEC=∠BFG=90°,∴∠BED=90°.故选C. 5.B　解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,∴CD是Rt△ABC斜边上的中线,∴AB=2CD,∵CD=1,∴AB=2,由平移得,GE=AB=2.故选B. 6.D　解析:∵四边形ABCD是矩形,AB=3,AE=4,∴∠A=∠D=90°,AD=BC,CD=AB=3,在直角三角形ABE中,由勾股定理得BE==5,∴BC=BE=5,∴AD=5,∴DE=AD-AE=1,在直角三角形CDE中,由勾股定理得CE=.故选D. 7.C　解析:如图所示,连接AC,CE, 由条件可知AB=DE,BC=CD,∠ABC=∠D,∴△ABC≌△EDC(SAS),∴AC=CE,∵以AE为斜边作等腰直角三角形AFE,∴AF=EF,∴CF垂直平分AE,∴∠EGH=90°,∴△EGH为直角三角形,∴嘉嘉的说法正确;在正五边形ABCDE中,∠BAE= ∠ABC=∠AED==108°,∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=(180°-∠BAE)=36°,∴∠CBH=∠ABC-∠ABE=72°,∵∠EGH=90°,∴∠EHG=54°,∴∠BHC=∠EHG=54°,∴∠BCH=180°-∠CBH-∠BHC=54°,∴∠BCH=∠BHC, ∴BC=BH,∴△BCH为等腰三角形,∴淇淇的说法正确.故选C. 8.B　解析:如图,连接CD, 由题意得线段AC是表盘的直径,∴∠ADC=90°,∵=2,∴∠ACD=2∠A,∵∠A+∠ACD=90°,∴3∠A=90°, ∴∠A=30°,∵∠ACB=90°,∴BC是表盘的切线,∴∠BCD=∠A=30°,在Rt△BCD中,∵BD=1,∴BC=2BD=2, ∴CD=,在Rt△ACD中,∵∠A=30°,∴AC=2CD=2,即表盘直径的长度为2.故选B. 9.1.2　解析:∵E是斜梁AC的中点,AC=4.8 m,∴CE=AC=2.4 m,∵EF⊥BC,∴∠EFC=90°,∵∠C=30°, ∴EF=CE=1.2 m. 10.2　解析:由题意得,圆柱形笔筒的高为10 cm,笔筒的底面圆周长为24 cm,∴笔筒的底面圆直径为=8(cm),铅笔放入笔筒内,在笔筒内的部分最长为≈12.8(cm),∴铅笔放入笔筒内,露出笔筒部分的最小长度为14.6-12.8≈2(cm). 11.解:(1)在△ACB中,∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10, ∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=20, ∴BC== 10. (2)过点B作BM⊥FD于点M,如图所示: ∵AB∥CF, ∴∠BCM=∠ABC=30°, ∴BM=BC=5, ∴CM== =15, 由题意可得∠EDF=45°, ∴MD=BM=5, ∴CD=CM-MD=15-5. 能力提升 1.B　解析:∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴CD=AB=1,∴CD=AD,∴∠ACD=∠A=35°,∴∠CDE=∠A+∠ACD= 70°,连接CE(图略),由题意知CD=CE,∴∠CED=∠CDE=70°,∴∠DCE=180°-70°-70°=40°,∴的长=π.故选B. 2.　解析:如图,连接AD,CD,由作图可知,AD=AB,CD=CB,∴AC垂直平分BD,即AC⊥BD,OB=OD, ∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2,∴AC=,∵S△ABC=AC·OB=AB·BC, ∴OB=,∴BD=2OB=. 3.11,60,61　解析:通过观察得:第①组勾股数为2×1+1=3,2×12+2×1=4,2×12+2×1+1=5;第②组勾股数为2×2+1=5,2×22+2×2=12,2×22+2×2+1=13;第③组勾股数为2×3+1=7,2×32+2×3=24,2×32+2×3+1=25;第④组勾股数为2×4+1=9,2×42+2×4=40,2×42+2×4+1=41;所以第⑤组勾股数为2×5+1=11,2×52+2×5=60,2×52+2×5+1=61. 4.解:(1)根据题意得实验初始状态时AC=8 dm,BC=6 dm,∠ACB=90°, ∴AB==10(dm), ∴AB+AC=10+8=18(dm). 答:绳子的总长度为18 dm. (2)如图, 根据题意得∠ADB=90°,AD=8 dm,CD=7 dm,∴AC=AD-CD=8-7=1(dm),AB=18-AC=18-1=17(dm), ∴BD==15(dm), ∴BE=BD-DE=15-6=9(dm). 答:滑块B向左滑动的距离为9 dm. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲　相似三角形(含位似) 1.(2025·贵州)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=2∶1,若DF=2,则AC的长为(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2025·乐山)如图,l1∥l2∥l3,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 3.(2025·兰州)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC与△A'B'C'位似,位似中心是原点O.已知BC∶B'C'=1∶2,则B(2,0)的对应点B'的坐标是(　　) A.(3,0) B.(4,0) C.(6,0) D.(8,0) 4.(2025·邯郸丛台区一模)嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了(如图所示),已知△ABC∽△DEF(∠B被撕掉).测得AC=3 cm,DF=4 cm,△DEF的面积为16 cm2,则△ABC的面积为(　　) A.6 cm2 B.9 cm2 C.10 cm2 D.12 cm2 5.跨物理学科(2025·内江)阿基米德曾说过:“给我一个支点,我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理:通过调整支点位置和力臂长度,用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲,这是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,另一端就会撬动石头.如图乙所示,动力臂OA=150 cm,阻力臂OB=50 cm,BD=20 cm,则AC的长度是(　　) A.80 cm B.60 cm C.50 cm D.40 cm 6.(2025·陕西)如图,正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为(　　) A.10 B.8 C.5 D.4 7.如图,在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框,外框边与原图形对应边平行,则外框与原图形一定相似的是(　　) A.正六边形 B.矩形和正六边形 C.锐角三角形和矩形 D.锐角三角形和正六边形 8.(2025·长春)将直角三角形纸片ABC(∠C=90°)按如图方式折叠两次再展开,下列结论错误的是(　　) A.MN∥DE∥PQ B.BC=2DE=4MN C.AN=BQ=NQ D. 9.有以下命题:①如果点C是线段AB的中点,那么AC2=AB·BC;②如果点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,那么AC2=AB·BC;③如果点C是线段AB的黄金分割点,AC>BC,且AB=2,那么AC=-1.其中正确的命题有(　　) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.如图,请添加一个条件,使△ABC与△ADE相似,那么这个条件可以是　　　　.  11.(2025·广东)如图,把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似比是　　　　.  12.如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为　　　　.(结果用含a,b的式子表示)  13.(2025·安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点).已知点A和A1的坐标分别为(-1,-3)和(2,6). (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标. (2)以点O为位似中心,将△ABC放大得到△A1B1C1,使得点A的对应点为A1,请在所给的网格图中画出△A1B1C1. 14.(2025·潍坊)如图,在△ABC中,点D,E,G分别是边AB,AC,BC的中点,DE与AG相交于点F,连接CF,AG=AC.证明: (1). (2)△ADF≌△CFE. 1.(2025·宜宾)如图,一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分,则的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2025·浙江)如图,五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为3,则D'E'的长为(　　) A. B.4 C. D.5 3.(2025·沧州盐山县模拟)如图,△ABC与△ADE是两个全等的等腰直角三角形,其中∠ABC= ∠DAE=90°,点C,D,E在同一条直线上,AC与BD相交于点F,则以下判断错误的是(　　) A.∠ACD=30° B.△ABD为等边三角形 C.CD2=DF·DB D. 4.(2025·遂宁)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,结合尺规作图痕迹提供的信息,求出线段AQ的长为(　　) A.2 B.2 C.6 D. 5.(2025·烟台)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为,△ABC的顶点A的坐标为(4,3).以点P为位似中心作△A1B1C1与△ABC位似,相似比为2,且与△ABC位于点P同侧;以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1B1C1位似,相似比为2,且与△A1B1C1位于点P同侧……按照以上规律作图,点A3的坐标为　　　　.  6.如图,▱ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于点F. (1)求证:AF=AB. (2)点G是线段AF上一点,满足∠FCG=∠FCD,CG交AD于点H. ①求证:AH·CH=DH·GH; ②若AG=2,FG=6,求GH的长. 7.(2025·陕西)如图,点O在△ABC的边AC上,以OC为半径的☉O与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF为☉O的直径,FD与AC相交于点G,∠F=45°. (1)求证:AB=AC. (2)若sin A=,AB=8,求DG的长. 【详解答案】 基础夯实 1.C　2.B　3.B 4.B　解析:∵△ABC∽△DEF,∴,∵AC=3 cm,DF=4 cm,△DEF的面积为16 cm2,∴,∴△ABC的面积为9 cm2.故选B. 5.B　解析:∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴AC∥BD,∴△AOC∽△BOD,∴,∵OA=150 cm,OB=50 cm,BD=20 cm, ∴,∴AC=60 cm,∴AC的长为60 cm.故选B. 6.C　解析:∵四边形ABCD是正方形,且边长为4,∴AB=BC=4,∠A=∠B=90°,∵点E是AB的中点, ∴AE=BE=AB=2,在Rt△BCE中,由勾股定理得CE==2, ∵∠A=∠B=90°,EF⊥EC,∴∠BCE+∠BEC=90°,∠AEF+∠BEC=90°, ∴∠BCE=∠AEF,∴△BCE∽△AEF,∴,∴EF=, ∴△CEF的面积为CE·EF=×2=5.故选C. 7.D　解析:矩形的外框与原图形不一定相似,因为其对应角相等,但对应边不一定成比例,不满足多边形相似的条件;锐角三角形的外框与原图形相似,因为其三个角对应相等,满足三角形相似的条件;正六边形的外框与原图形相似,因为其对应角相等,对应边成比例,满足多边形相似的条件.故选D. 8.D　解析:由折叠可得DE⊥AC,PQ⊥AC,MN⊥AC,AM=MD=DP=PC,∴MN∥DE∥PQ∥BC,故A正确,不符合题意;∴△ADE∽△ACB∽△AMN,∴,,∴BC=2DE,DE=2MN,∴BC=4MN,故B正确,不符合题意;∵MN∥PQ∥BC,∴,,,∴BQ=AN=AB,QN=AB,∴AN=BQ=NQ,故C正确,不符合题意;∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ,∴,,,∴≠≠,故D错误,符合题意.故选D. 9.C　解析:①如果点C是线段AB的中点,那么=2,=1,所以≠,所以AC2≠AB·BC,①错误;②如果点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,那么,-1=-1=,所以,所以AC2=AB·BC,②正确;③如果点C是线段AB的黄金分割点,AC>BC,且AB=2,那么,即,所以AC=-1,③正确.综上,正确的命题有②③,共2个.故选C. 10.∠B=∠D(答案不唯一) 11.1∶3　解析:∵△AOB放大后得到△COD,∴△AOB∽△COD,∴△AOB与△COD的相似比=OB∶OD=2∶6=1∶3. 12.(6-2a,-2b)　解析:如图所示,过点C,C'分别作x轴的垂线CD,C'D',垂足分别为D,D', ∵△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,A(2,0),∴AD'=2AD,OA=2,∵C(a,b),∴AD=a-2,CD=b, ∴AD'=2a-4,C'D'=2b,∴OD'=AD'-OA=2a-6,∴C'(6-2a,-2b). 13.解:(1)如图,点D即为所求. 由图可得,点D的坐标为(-2,-1). (2)如图,△A1B1C1即为所求. 14.证明:(1)∵点D,E分别是边AB,AC的中点,∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC,∴, ∵点G是边BC的中点,DE与AG相交于点F, ∴,∴. (2)∵AD=BD,AE=CE=AC,BG=GC,DE∥BC,且DE与AG相交于点F, ∴=1, ∴AF=GF=AG, ∴DF=BG=GC,FE=GC, ∴DF=FE, ∵AG=AC,∴AG=AC, ∴AF=CE, ∵DE∥BC, ∴∠AFE=∠AGC,∠AEF=∠ACG, ∵AG=AC,∴∠AGC=∠ACG, ∴∠AFE=∠AEF, ∴∠AFD=180°-∠AFE=180°-∠AEF=∠CEF, 在△ADF和△CFE中, ∴△ADF≌△CFE(SAS). 能力提升 1.C　解析:如图所示,过点D作DF∥BC交AC于点F, ∵AD=2DB, ∴, ∵DF∥BC,∴△AFD∽△ACB, ∴,∴,∴设S△AFD=4s,S△ACB=9s,∵沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分, ∴S△ADE=s,∴,又∵,∴,∴=3.故选C. 2.C　解析:∵五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0),∴,∵∠DOE=∠D'OE',∴△DOE∽△D'OE',∴,∵DE=3,∴D'E'=.故选C. 3.D　解析:由题意得AB=BC=AD=AE,AC=DE,∠BAC=∠ACB=45°,过点A作AG⊥DE于点G,如图,则AG=DE=AC,∠DAG=∠DAE=45°,∵sin∠ACG=,∴∠ACD=30°,故选项A正确,不符合题意; ∴∠CAG=60°,∴∠CAD=∠CAG-∠DAG=15°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°, ∵AB=AD,∴△ABD为等边三角形,故选项B正确,不符合题意; ∴∠ABD=60°,∵∠ABC=90°,∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=30°,∴∠CBD=∠ACD, 又∵∠BDC=∠CDF,∴△CDF∽△BDC,∴,∴CD2=DF·DB,故选项C正确,不符合题意; 如图,过点F作FM⊥CE,设FM=a, ∵∠ACD=30°,∴CF=2FM=2a,CM=FM=a,由B得BD=AB=BC,∴∠BCD=∠BDC,∵△CDF∽△BDC, ∴∠CFD=∠BCD=∠BDC,∴CD=CF=2a,∴DM=CD-CM=(2-)a,∴DF==()a, ∵CD2=DF·DB,∴4a2=()a·DB,∴DB=()a,∴AB=BD=()a,∴AC=AB=(2+2)a, ∴AF=AC-CF=2a,∴,故选项D错误,符合题意.故选D. 4.A　解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,∴AC==12,由作图痕迹可知BG平分∠ABC,即 ∠CBG=∠ABG,设BG,AC交于点M,过点M作MN⊥AB于点N,如图, 则CM=MN,设CM=MN=x,∵S△ABC=S△MBC+S△ABM,∴BC·AC=BC·CM+AB·MN,即5×12=5x+13x,解得x=,即CM=,则BM=,由作图痕迹可知AQ⊥BH,∴∠AQB=∠C=90°,∵∠CBG=∠ABG,∴△ABQ∽△MBC,∴,即,解得AQ=2.故选A. 5.　解析:设直线AP的解析式为y=kx+b,则解得则直线AP的解析式为y=-x+6, AP=,由题意得A1P=2AP=5,A2P=2A1P=10,A3P=2A2P=20,设点A3的坐标为,则(m-6)2+-m+6-2=202,解得m1=-10,m2=22(舍去),当m=-10时,-m+6=,∴点A3的坐标为. 6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,CD∥AB, ∴∠D=∠FAD,∠DCE=∠F, ∵E是AD的中点,∴DE=AE, ∴△CDE≌△FAE(AAS), ∴CE=EF. ∵AE∥BC,∴=1, ∴AF=AB. (2)①证明:∵CD∥AF, ∴△DCH∽△AGH, ∴, ∴AH·CH=DH·GH. ②∵AG=2,FG=6, ∴AF=FG+AG=6+2=8, ∴AB=AF=8, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD=AB=8, ∵∠DCE=∠F,∠FCG=∠FCD, ∴∠F=∠FCG, ∴CG=FG=6. 由①得△DCH∽△AGH, ∴,即, ∴GH=1.2. 7.解:(1)证明:连接OD,如图. ∵∠F=45°, ∴∠DOE=2∠F=90°, ∵☉O与AB相切于点D, ∴AB⊥OD于点D, ∴∠ODA=∠DOE=90°, ∴AB∥OE,∴∠B=∠OEC. ∵OC=OE,∴∠OEC=∠C, ∴∠B=∠C,∴AB=AC. (2)∵=sin A=,∴OA=OD, ∵OF=OC=OD,OA+OC=AC=AB=8,∴OD+OD=8, ∴OF=OD=3,∴OA=×3=5,∵∠DOF=90°,∴DF=OF=3, ∴AD==4, ∵AD∥OF,∴△AGD∽△OGF, ∴,∴DG=DF=DF=×3, ∴DG的长是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲　三角形的基本性质 1.(2025·连云港)下列长度(单位: cm)的3根小木棒能搭成三角形的是(　　) A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 2.(2025·唐山玉田县二模)下列图形中,能确定∠1>∠2的是(　　) A B C D 3.(2025·河北模拟)埃菲尔铁塔是巴黎城市地标之一,也是巴黎最高的建筑物,总高330米,如图所示,在埃菲尔铁塔的设计中运用了大量的三角形的结构,你能从中推断出其运用的数学原理是(　　) A.三角形的不稳定性 B.三角形的稳定性 C.三角形两边之和大于第三边 D.两点之间,线段最短 4.(2025·石家庄裕华区一模)利用一块含30°角的透明直角三角板过点A作△ABC的边BC上的高,下列三角板摆放的位置正确的是(　　) A B C D 5.如图,点O在直线l1上,点A,B在直线l2上,且∠AOB=90°,若∠1=39°,∠2=51°,则l1和l2的位置关系为(　　) A.相交但不垂直 B.平行 C.垂直 D.均有可能 6.(2025·威海)如图,△ABC的中线BE,CD交于点F,连接DE.下列结论错误的是(　　) A.S△DEF=S△BCF B.S△ADE=S四边形BCED C.S△DBF=S△BCF D.S△ADC=S△AEB 7.如图,在△ABC中,M,N分别是边AB,BC上的点,将△BMN沿MN折叠,使点B落在点B'处,若 ∠B=35°,∠BNM=28°,则∠AMB'的度数为(　　) A.30° B.37° C.54° D.63° 8.如图,∠MON=90°,点A,B分别在射线OM,ON上移动,AD平分∠BAM,BC平分∠OBA,交OM于点E,与AD的反向延长线交于点C.关于结论Ⅰ,Ⅱ,下列判断正确的是(　　) 结论Ⅰ:若∠BAD=65°,则∠ABC=40°; 结论Ⅱ:无论点A,B在射线OM,ON(均不与点O重合)上怎样移动,∠C的度数都不变. A.只有结论Ⅰ正确 B.只有结论Ⅱ正确 C.结论Ⅰ,Ⅱ都正确 D.结论Ⅰ,Ⅱ都不正确 9.(2025·邯郸丛台区四模)如图是某款手机支架的侧面示意图,若调整支撑杆的角度,使得∠C=50°,∠DAC=115°,则直线DE与BC所夹锐角的大小为　　　　.  10.如图,AD是△ABC的高,CE是△ABC的角平分线,BF是△ABC的中线. (1)若∠ACB=50°,∠BAD=65°,求∠AEC的度数. (2)若AB=9,△BCF与△BAF的周长差为3(BC>BA),求BC的长. 1.(2025·唐山二模)三根底端对齐的小棒中有一根被挡板完全遮住了,它们的长度如图所示.若三根小棒可以围成三角形,则第三根小棒的长度可以是(　　) A.2 B.3 C.4或5 D.6 2.(2025·石家庄桥西区一模)一副三角板(∠C=30°,∠D=45°)按如图所示放置,点A在DE上,点F在BC上,AD⊥AC,则∠BFD的度数为(　　) A.45° B.60° C.75° D.80° 3.跨物理学科一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,重力G的方向竖直向下,支持力F1的方向与斜面垂直,摩擦力F2的方向与斜面平行.若斜面的坡角α=30°,则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为(　　) A.150° B.130° C.120° D.100° 4.开放型试题(2025·德阳)△ABC在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,0),如果△ABC的面积为1,那么点C的坐标可以是　　　　.(只需写出一个即可)  5.(2025·唐山路南区三模)如图,点A是线段CC1的中点,点A1,B是线段AA2的三等分点,点B1,B2,C是线段BB3的四等分点.若△A2B3C1的面积为36,则△ABC的面积为　　　　.  6.(2025·武安三模)如图,数轴上,点A,B表示的数分别为a,b,P为负半轴上任意一点,它表示的数为x. (1)计算的值. (2)嘉淇认为:当-2≤x<0时,PO+PA<AB,则以PO,PA,AB的长为边长不能构成三角形,请你判断嘉淇的说法是否正确,并说明理由;若以PO,PA,AB的长为边长能构成三角形,请直接写出x的取值范围. 【详解答案】 基础夯实 1.B　2.C　3.B　4.D　 5.B　解析:∵∠2=51°,∴∠OBA=∠2=51°,∵∠AOB=90°,∴∠BAO=180°-∠AOB-∠OBA=180°-90°-51°=39°, ∴∠BAO=∠1=39°,∴l1∥l2.故选B. 6.B　解析:因为BE,CD为△ABC的中线,所以DE∥BC,DE=BC,所以△DEF∽△CBF,所以, 所以S△DEF=S△BCF,故A选项不符合题意.因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以,所以S△ADE=S四边形BCED,故B选项符合题意.因为△DEF∽△CBF,所以,所以S△DBF=S△BCF,故C选项不符合题意.因为DE∥BC,所以S△DBE=S△DCE,所以S△ADC=S△AEB,故D选项不符合题意.故选B. 7.C　解析:∵△BMN沿MN折叠,使点B落在点B'处,∴△BMN≌△B'MN,∴∠BMN=∠B'MN, ∵∠B=35°,∠BNM=28°,∴∠BMN=180°-35°-28°=117°,∠AMN=35°+28°=63°, ∴∠AMB'=∠B'MN-∠AMN=117°-63°=54°.故选C. 8.B　解析:结论Ⅰ:∵AD平分∠BAM,∠BAD=65°,∴∠MAB=2∠BAD=2×65°=130°, ∴∠ABO=∠MAB-∠O=130°-90°=40°,∵BC平分∠OBA, ∴∠ABC=∠ABO=×40°=20°,故结论Ⅰ错误; 结论Ⅱ:∵∠BAD=∠C+∠ABC,∴∠C=∠BAD-∠ABC,∵AD平分∠MAB,BC平分∠ABO, ∴∠BAD=∠MAB,∠ABC=∠ABO, ∴∠C=∠MAB-∠ABO,又∵∠MAB=∠O+∠ABO=90°+∠ABO, ∴∠C=∠MAB-∠ABO=(∠MAB-∠ABO)=×90°=45°, ∴∠C的大小不变,故结论Ⅱ正确.故选B. 9.65° 10.解:(1)∵AD是△ABC的高, ∴∠ADB=90°, ∵∠BAD=65°, ∴∠ABD=90°-65°=25°. ∵CE是△ABC的角平分线,∠ACB=50°,∴∠ECB=∠ACB=25°, ∴∠AEC=∠ABD+∠ECB=25°+25°=50°. (2)∵F是AC的中点, ∴AF=FC, ∵△BCF与△BAF的周长差为3, ∴(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3, ∴BC-AB=3, ∵AB=9, ∴BC=12. 能力提升 1.C　解析:设第三根小棒的长度是x,若三根小棒可以围成三角形,则由三角形三边关系可知10-7<x<10+7,即3<x<17,再由题图中挡板高度为5,得3<x≤5,结合四个选项可知,第三根小棒的长度可以是4或5.故选C. 2.C　解析:如图, 由题意得∠E=∠B=90°,∠DFE=45°,∠BAC=60°,∵AD⊥AC,∴∠EAC=∠EAG+∠BAC=90°,∴∠EAG=30°, ∵∠E+∠EAG+∠AGE=180°,∠B+∠BFG+∠BGF=180°,∠AGE=∠BGF,∴∠BFG=∠EAG=30°, ∴∠BFD=∠BFG+∠DFE=75°.故选C. 3.C　解析:如图所示, ∵α=30°,∴∠2=∠1=180°-90°-α=60°,∵摩擦力F2的方向与斜面平行,∴β=180°-∠2=120°.故选C. 4.(2,1)(答案不唯一,纵坐标绝对值为1即可)　解析:∵A(1,0),B(3,0),∴AB=2,∵△ABC的面积为1,∴AB×|yC|=1,∴|yC|=1,∴yC=±1,∴点C的坐标可以是(2,1). 5.2　解析:连接C1B,A2C,如图所示: 设S△ABC=a,∵点A是线段CC1的中点,∴=S△ABC=a,∴+S△ABC=2a,∵点A1,B是线段AA2的三等分点,∴A2B=2AB,∴=2=2a,=2S△ABC=2a,∵点B1,B2,C是线段BB3的四等分点, ∴B3C=3BC,∴=3=6a,=3=6a, ∵+,△A2B3C1的面积为36, ∴36=2a+2a+2a+6a+6a,解得a=2,∴△ABC的面积为2. 6.解:(1)由题意,得a=-2,b=1, ∴==1. (2)嘉淇的说法正确.理由: ∵-2≤x<0, ∴点P始终在线段AO上, ∴PA+PO=AO<AB, ∴以PO,PA,AB的长为边长不能构成三角形. x的取值范围为x<-. 解析:由题意知PO=-x,AB=3, ∵x<0,以PO,PA,AB的长为边长能构成三角形, ∴点P在点A的左侧, ∴PA=-2-x, ①当AB为最大边时, ∴ ∴-3≤x<-. ②当PO为最大边时, ∴ ∴x≤-3. 综上,x<-. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲　等腰三角形 1.(2025·邯郸模拟)如图,已知线段AB,使用直尺和圆规作得直线l,交AB于点D,点C在直线l上,若∠ACB=110°,则∠ACD=(　　) A.35° B.40° C.50° D.55° 2.(2025·扬州)在如图所示的房屋人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是(　　) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 3.(2025·保定莲池区一模)小亮为宣传“两会”,设计了形状如图所示的彩旗,图中∠ACB=90°,∠D= 15°,点A在CD上,AD=AB=4 cm,则AC的长为(　　) A.2 cm B.2 cm C.4 cm D.8 cm 4.(2025·唐山一模)如图,将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置,则α,β,γ三个角的数量关系为(　　) A.α+β+γ=60° B.α-β+γ=60° C.α+β-γ=60° D.α+2β-γ=60° 5.定义:若三角形的一条角平分线与被平分的角的一边相等,则称这个三角形为“优美三角形”,这条角平分线叫做这个三角形的“优美线”.下列四个三角形中,BD平分∠ABC,其中BD是“优美线”的是(　　) 　A　　 B　 C　　 D 6.如图,点P在∠MON内,点P关于OM,ON的对称点分别为E,F,若EF=OP,则∠MON的度数是(　　) A.15° B.30° C.45° D.60° 7.(2025·宿迁)等腰三角形的两边长分别为2 cm和4 cm,则该等腰三角形的周长为　　　　 cm.  8.(2025·晋州模拟)将一副三角尺按如图所示方式摆放,它们共用顶点C,∠ACB=∠E=90°,∠A=60°,∠D=45°,CD,CE分别交AB于点F,G.若BF=CF,则∠AGE的度数是　　　　.  9.开放型试题(2025·资阳)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是　　　　.  10.如图,在△ABC中,AB=5,AC=7,∠ABC和∠ACB的平分线交于O点,过点O作BC的平行线交AB于M点,交AC于N点,则△AMN的周长为　　　　.  11.(2025·廊坊安次区一模)如图,数轴上点A,B,C,D表示的数分别为-3,1,x,6,点C在线段BD上,且不与端点重合. (1)若x=2,求A,B,C,D四点表示的数的和. (2)若线段AB,BC,CD能围成等腰三角形,求x的值. 1.在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,点D为BC的中点,E,F分别为直线AC,AB上两点,若满足CE=2,∠EDF=60°,则AF的长为(　　) A.1 B.3 C.1或3 D.1或5 2.(2025·潍坊)如图,甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地. 甲:A→C→B,路程为l甲. 乙:A→D→E→F→B,路程为l乙. 丙:A→G→H→B,路程为l丙. 下列关系正确的是(　　) A.l甲>l乙>l丙 B.l乙>l甲>l丙 C.l甲>l丙>l乙 D.l甲=l乙>l丙 3.如图,在△ABC中,AB=AC=10,BC=2,点D在边AC上,CD=3.若点E在边AB上,满足CE=BD,则AE的长是　　　　.  4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4 cm,AC=2 cm,在射线BC上有一动点D,从点B出发,以1 cm/s的速度匀速运动,若点D运动t s时,以A,D,B为顶点的三角形恰为等腰三角形,则所用时间为 　 　　　s.  5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F. (1)求证:△ABD是等边三角形. (2)求证:BE=AF. 【详解答案】 基础夯实 1.D　解析:根据尺规作图痕迹可知,直线l垂直平分AB,∵点C在直线l上,∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形, ∴∠ACD=∠ACB=×110°=55°.故选D. 2.B　解析:A.∵点D在BC上,∴∠ADB+ ∠ADC=180°,∵∠ADB=∠ADC,∴2∠ADC=180°,∴∠ADC=90°,∴AD⊥BC,故A不符合题意;B. ∵AB=AC,∴∠B=∠C,∵∠B=∠C与点D所在的位置没有关系,∴由∠B=∠C不能说明AD⊥BC,故B符合题意; C.∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,故C不符合题意;D.∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,故D不符合题意.故选B. 3.B　解析:∵AD=AB=4 cm,∠D=15°,∴∠ABD=∠D=15°,∴∠BAC=∠ABD+∠D=30°,∵∠ACB=90°,AB=4 cm, ∴BC=AB=2 cm,在Rt△ABC中,AC==2(cm).故选B. 4.B　解析:如图所示: ∵△ABC,△DEC,△FGC都是等边三角形,∴∠ACB=∠DCE=∠FCG=60°, ∴α=∠ACB-∠ACD=60°-∠ACD,β=∠DCE-∠ACD-∠ECF=60°-∠ACD-∠ECF,γ=∠FCG-∠ECF=60°-∠ECF, ∴α-β+γ=60°-∠ACD-(60°-∠ACD-∠ECF)+60°-∠ECF=60°.故选B. 5.D　解析:A.∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=90°-∠A=60°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠ABC=30°, ∴∠A=∠ABD=30°,∴BD=AD, ∵AB>AC>BD,BD>BC,∴BD不是“优美线”,故A不符合题意; B.∵∠A=∠C=60°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC, ∵BD平分∠ABC,∴BD⊥AC,∴BD<AB,BD<BC,∴BD不是“优美线”,故B不符合题意; C.∵∠A=90°,∠C=45°,∴∠ABC=90°-∠C=45°, ∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABC=22.5°,∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=112.5°,∴BC>BD, ∵BD>AB,∴BD不是“优美线”,故C不符合题意; D.∵∠A=36°,∠C=72°,∴∠ABC=180°-∠A-∠C=72°, ∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABC=36°,∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=72°, ∴∠BDC=∠C=72°,∴BD=BC,∴BD是“优美线”,故D符合题意.故选D. 6.B　解析:如图,连接OE,OF. ∵点P关于OM,ON的对称点分别为E,F,∴OP=OE=OF,∠POM=∠EOM,∠PON=∠FON,∴∠EOF=2∠MON,∵OP=EF,∴OE=OF=EF,∴△OEF是等边三角形,∴∠EOF=60°,∴∠MON=30°.故选B. 7.10　解析:①当腰长是2 cm,底边长是4 cm时,2+2=4,不能构成三角形,②当底边长是2 cm,腰长是4 cm时,能构成三角形,则其周长=4+4+2=10(cm),所以该等腰三角形的周长是10 cm. 8.75°　解析:∵∠ACB=∠E=90°,∠A=60°,∠D=45°,∴∠DCE=45°,∠B=30°,∵BF=CF,∴∠BCF=∠B=30°, ∴∠GFC=∠B+∠BCF=60°,∴∠CGF=180°-∠DCE-∠GFC=180°-45°-60°=75°,∴∠AGE=∠CGF=75°. 9.∠BCE=∠B(答案不唯一)　解析:要使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是∠BCE=∠B,理由如下: ∵CE∥DA,∴∠A=∠BEC,∵∠A=∠B,∴∠B=∠BEC,∵∠BCE=∠B, ∴∠B=∠BCE=∠BEC,∴△BCE为等边三角形. 10.12　解析:∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,∴∠ABO=∠OBC, ∠ACO=∠OCB,∵MN∥BC, ∴∠MOB=∠OBC,∠NOC=∠OCB, ∴∠ABO=∠MOB,∠ACO=∠NOC, ∴MB=MO,NO=NC, ∵AB=5,AC=7, ∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=5+7=12. 11.解:(1)当x=2时, -3+1+2+6=6, ∴A,B,C,D四点表示的数的和为6. (2)由题意得AB=1-(-3)=4,BC=x-1,CD=6-x,BD=6-1=5, 当AB为底时,BC=CD=2.5, ∴x-1=2.5, 解得x=3.5; 当AB为腰,且AB=BC时,BC=4, ∴x-1=4, 解得x=5; 当AB为腰,且AB=CD时,CD=4, ∴6-x=4, 解得x=2. 经检验,以上三种情况均符合题意, ∴x的值为2或5或3.5. 能力提升 1.D　解析:当点E在线段AC上时,如图1, 取AC的中点H,连接DH,此时F在BA的延长线上,∵AB=AC,点D为BC的中点,∴AD⊥BC,∵∠BAC=120°, ∴∠CAD=∠BAD=60°,∴∠DAF=120°,∵H为AC的中点,∴AH=CH=DH,∴△ADH为等边三角形,∴∠AHD=60°,∴∠DHC=120°=∠DAF,∠ADF+∠FDH=60°,∵∠EDF=60°,即∠FDH+∠HDE=60°,∴∠ADF=∠HDE,在△ADF和△HDE中, ∴△ADF≌△HDE(ASA),∴AF=HE,∵H是AC的中点,∴CH=AC=3,∴AF=HE=CH-CE=3-2=1;当点E在AC的延长线上时,如图2,同理可得AF=HE=CH+CE=3+2=5. 综上,AF的长为1或5.故选D. 2.D　解析:设AB=a,在图甲中,∵∠A= ∠B=60°,∴△ABC是等边三角形, ∴AC=BC=AB=a,∴l甲=AC+BC=2a;在图乙中,AE+BE=AB=a,∵∠A=∠AED=∠FEB=∠B=60°,∴△DAE和△FEB都是等边三角形,∴AD=DE=AE,EF=FB=EB,∴l乙=AD+DE+EF+FB=2(AE+BE)=2a; 在图丙中,延长AG,BH交于点P,如图所示,∵∠A= ∠B=60°,∴AP=AB=a,根据三角形三边之间的关系得GH<PG+PH,∴AG+GH+HB<AG+PG+PH+HB=PA+PB=2a,∴l丙=AG+GH+HB<2a,∴l甲=l乙>l丙.故选D. 3.7或9　解析:过点A作AM⊥BC于点M,过点C作CH⊥AB于点H,如图, ∵AB=AC=10,BC=2,∴BM=BC= ×2,∴AM= =3, ∵△ABC的面积=AB·CH=BC·AM,∴10×CH=2×3,∴CH=6,∴BH==2.如果点E在点H的上面,当BE=CD=3时,CE=BD,∴AE=AB-BE=10-3=7;如果点E在点H的下面,∵CE'=CE,CH⊥EE',∴HE'=HE, ∵EH=BE-BH=3-2=1,∴AE'=AE+EE'=7+1×2=9.综上所述,AE的长是7或9. 4.或2或8　解析:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4 cm,AC=2 cm,∴AB==2(cm),当AB为底时,如图1,AD=BD,则AD+CD=BC=4 cm, 由勾股定理得AD2=(4-AD)2+22,解得AD= cm,即BD= cm,∵点D以1 cm/s的速度匀速运动,点D运动t s, ∴t=;当AB为腰时存在两种情况,如图2,BD=AB=2 cm, ∴t=2; 如图3,AD=AB,BC=4 cm, ∴BD=2BC=8 cm,∴t=8. 综上,t=或2或8. 5.证明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC, ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC, ∵∠BAC=120°, ∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°, ∵AD=AB, ∴△ABD是等边三角形. (2)∵△ABD是等边三角形, ∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD, ∵∠EDF=60°, ∴∠ADB=∠EDF, ∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE, 即∠BDE=∠ADF. 在△BDE与△ADF中, ∴△BDE≌△ADF(ASA), ∴BE=AF. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲　全等三角形 1.(2025·青海)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合,即CM=CN,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,这种做法的依据是(　　) A.AAS B.SAS C.SSS D.ASA 2.如图,已知∠ACB=∠ACD,下列条件中,添加后仍不能判定△ABC≌△ADC的是(　　) A.AB=AD B.BC=DC C.∠CAB=∠CAD D.∠B=∠D 3.过程性学习(2025·保定竞秀区一模)下面是定理:“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程,需要补充序号处要填写的内容,则下列答案错误的是(　　) 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别为E,F. 求证:PE=PF. 证明:∵OC是∠AOB的平分线, ∴∠POE=∠POF(①). ∵PE⊥OA,PF⊥OB, ∴∠PEO=∠PFO. ∵②, ∴△POE≌△POF(③), ∴PE=PF(④). A.①处应填写“角平分线的定义” B.②处应填写“OP=OP” C.③处应填写“ASA” D.④处应填写“全等三角形对应边相等” 4.(2025·邯郸一模)有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=α,按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开,若方案中两个阴影部分的三角形一定全等则打“√”,若不一定全等则打“×”.则下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是(　　) A.方案一:√、方案二:√ B.方案一:×、方案二:× C.方案一:×、方案二:√ D.方案一:√、方案二:× 5.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直并交于点M,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°,则爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是(　　) A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m 6.如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为　　　　.  7.开放型试题如图,∠C=∠D=90°,若利用AAS证明△ABC≌△BAD,需添加的条件是　　　　.(写出一个即可)  8.如图,AB=12 m,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4 m,Q点从B向D运动,每分钟走2 m,P点从B向A运动,P,Q两点同时出发,P点每分钟走　　　　m时,△CAP与△PQB全等.  1.(2025·武安三模)如图,Rt△ABC≌Rt△BAD,BC,AD交于点E,M为斜边AB的中点,若∠CMD=α, ∠AEB=β,对于α和β之间的数量关系,三位同学给出了不同的猜测:甲:2β-α=180°,乙:β-α=60°,丙:β=α,其中正确的是(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.甲和丙都有可能 2.(2025·威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.下列条件中,不能判断四边形ABCD是“筝形”的是(　　) A.BO=DO,AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC,AD=AB C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC,BO=DO 3.(2025·河北模拟)如图,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.以下四个结论: ①BD=CE;②∠ACE+∠DBC=45°;③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°. 其中正确的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2025·石家庄二模)如图,点D在等边三角形ABC的BC边上,且2BD<BC,点E也在等边三角形ABC的边上.下列选项中错误的是(　　) A.若点E在BC边上,且CE=BD,则△ACE≌△ABD B.若点E在AC边上,且CE=BD,则△BAE≌△ABD C.若点E在AB边上,且AE=BD,则△CAE≌△ABD D.若点E在AB边上,且BE=BD,则△CBE≌△ABD 5.如图,已知射线BR平分∠MBN,点A,P,C分别在射线BM,BR,BN上,且PA=PC,则下列说法正确的是(　　) A.△BPA≌△BPC B.△ABC是等腰三角形 C.∠BAP=∠BCP=90° D.∠BAP=∠BCP或∠BAP+∠BCP=180° 6.(2025·唐山二模)如图1是由边长为6 cm和8 cm的两个正方形拼成的图形,将该图形剪成如图所示序号分别为①②③④⑤的五部分,再将它拼成一个大正方形(如图2). (1)求大正方形的边长,并直接写出图1中等于大正方形边长的线段. (2)求证图1中△ADM≌△MEF. (3)求图1中线段BH的长. 【详解答案】 基础夯实 1.C　2.A　3.C 4.D　解析:方案一:如图,∵α+∠DEB=∠C+∠EFC,∠C=α,∴∠DEB=∠EFC,∵∠B=∠C,BD=CE=3,∴由AAS能判定两个阴影部分三角形全等; 方案二:如图,∵α+∠CKN=∠B+∠BMK,∠B=α,∴∠CKN=∠BMK,∴其对应边应该是BK和CN,而已知给的是BM=CN=3,∴不能判定两个阴影部分三角形一定全等,∴方案一:√、方案二:×.故选D. 5.D　解析:∵∠BOC=90°,∴∠BOD+∠COE=90°,由题意可知,OB=CO,DM=1 m,BD⊥OA,CE⊥OA, ∴∠BDO=∠OEC=90°,∴∠BOD+∠OBD=90°,∴∠COE=∠OBD,在△OBD和△COE中, ∴△OBD≌△COE(AAS),∴OE=BD=1.4 m,OD=CE=1.8 m,∴ME=OM-OE=OD+DM-OE=1.8+1-1.4=1.4(m),即小丽距离地面的高度是1.4 m.故选D. 6.100°　7.∠ABC=∠BAD(答案不唯一) 8.1或3　解析:设P点每分钟走x m,运动时间为t min.①若BP=AC=4 m,AP=BQ=8 m,则△CAP≌△PBQ, ∴t==4(min),∴x==1. ②若BP=AP=6 m,AC=BQ=4 m,则△ACP≌△BQP,∴t==2(min),∴x==3. 能力提升 1.A　解析:∵Rt△ABC≌Rt△BAD,∴∠CAM=∠DBM,∠ABC=∠BAD, ∵∠ACB=90°,M是AB的中点,∴CM=AB,∴CM=AM,∴∠CAM=∠ACM,同理∠DBM=∠BDM, ∴∠AMC=∠BMD,∵∠CMD=α,∴∠AMC=×(180°-α)=90°-α,∴∠CAM=(180°-∠AMC)=45°+α, ∵∠AEB=β,∴∠ABC=×(180°-β)=90°-β,∵∠CAB+∠ABC=90°, ∴45°+α+90°-β=90°,∴2β-α=180°,∴正确的是甲.故选A. 2.D　解析:A.∵BO=DO,AC⊥BD,∴AC是BD的垂直平分线,∴AB=AD,CB=CD,∴四边形ABCD是“筝形”, ∴A选项不符合题意;B.在△ACD与△ACB中, ∴△ACD≌△ACB(SAS),∴CD=CB,∴四边形ABCD是“筝形”,∴B选项不符合题意;C.在△ACD与△ACB中,∴△ACD≌△ACB(ASA),∴AD=AB,CD=CB,∴四边形ABCD是“筝形”,∴C选项不符合题意;D.由∠ADC=∠ABC,BO=DO,不能证明四边形ABCD是“筝形”,∴D选项符合题意.故选D. 3.D　解析:①∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,①正确; ②∵△ABC为等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABD+∠DBC=45°,∵△BAD≌△CAE, ∴∠ABD=∠ACE,∴∠ACE+∠DBC=45°,②正确; ③∵∠ACE+∠DBC=45°,∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,则BD⊥CE,③正确; ④∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°,④正确.故选D. 4.B　解析:对于选项A,当点E在BC边上,且CE=BD时,如图1所示: ∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∠C=∠B=60°,在△ACE和△ABD中,∴△ACE≌△ABD(SAS),故选项A正确,不符合题意;对于选项B,当点E在AC边上,且CE=BD时,如图2所示: ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAE=∠C=60°,AB=BC=AC,∵2BD<BC,CE=BD,∴2CE<AC,∴CE≠AE,∴△BAE和△ABD不全等,故选项B错误,符合题意;对于选项C,当点E在AB边上,且AE=BD时,如图3所示: ∵△ABC是等边三角形,∴AC=AB,∠CAE=∠B=60°,在△CAE和△ABD中,∴△CAE≌△ABD(SAS),故选项C正确,不符合题意;对于选项D,当点E在AB边上,且BE=BD时,如图4所示: ∵△ABC是等边三角形,∴CB=AB,在△CBE和△ABD中, ∴△CBE≌△ABD(SAS),故选项D正确,不符合题意.故选B. 5.D　解析:由题意知,当PA=PC时,可分为两种情况.①如图1,过点P作PE⊥BM于点E,PF⊥BN于点F, ∵BR平分∠MBN,∴PE=PF,又∵PA=PC,∴Rt△EPA≌Rt△FPC(HL),∴∠EAP=∠FCP,∴∠BAP=∠BCP, 又∵∠ABP=∠CBP,BP=BP,∴△BPA≌△BPC(AAS), ∴AB=BC,△ABC是等腰三角形. ②如图2,过点P作PE⊥BM于点E,PF⊥BN于点F, 同理①,Rt△EPA≌Rt△FPC(HL), ∴∠EAP=∠FCP,∴∠BAP+∠BCP=∠180°-∠EAP+∠FCP=180°,此时∠BAP≠∠BCP,△BPA与△BPC不全等,AB≠BC,△ABC不是等腰三角形.∴A,B,C错误,D正确.故选D. 6.解:(1)∵题图1是两个正方形拼成的图形,它们的边长分别为6 cm和8 cm, ∴题图1的面积=62+82=36+64=100(cm2), 又∵大正方形的面积等于题图1的面积, ∴大正方形的边长为=10(cm). 题图1中等于大正方形边长的线段为FM,AM. (2)证明:由(1)得,AM=FM=10 cm, ∵∠D=∠E=90°, ∴∠AMD+∠DAM=90°, 由题图2可得,∠AMD+∠EMF=90°, ∴∠DAM=∠EMF, 在△ADM和△MEF中, ∴△ADM≌△MEF(AAS). (3)由(2)得,△ADM≌△MEF, ∴DM=EF=8 cm, ∴CM=DM-DC=8-6=2(cm), ∵CH∥DA, ∴△MCH∽△MDA, ∴, ∴CH=DA=×6=(cm), ∴BH=BC-CH=6-(cm). 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲　锐角三角函数及其应用 1.(2025·南通)在△ABC中,∠C=90°,tan A=,AC=2,则BC的长为(　　) A.1 B.2 C. D.5 2.(2025·常州)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,则sin B的值是(　　) A. B. C. D. 3.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且sin A=,cos B=,则△ABC的形状是(　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=1,延长CA到点D,使AD=AB,连接BD.利用此图,可算出tan 75°的值是(　　) A.2+ B.2 C. D. 5.科技前沿(2025·邯郸三模)最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速.在正常状态下,机器狗的小腿和大腿有一定夹角(图1).图2是机器狗正常状态下的腿部简化图,其中AB=BC=20 cm, ∠ABC=120°.机器狗正常状态下的高度可以看成A,C两点间的距离,则机器狗在正常状态下的高度为　　　　 cm.  6.如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则cos∠ABC的值为　　　　.  7.(2025·绥化)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高BC=15 m,则迎水坡面AB的长度是　　　　.  8.若△ABC是直角三角形,AB=2,∠ABC=30°,则AC的长为　　　　.  9.(2025·广州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB,已知cos∠CAD=,AB=26,则点B到AD的距离为　　　　.  10.(2025·上海)如图,某公司安装了一个人脸打卡器,AB是高2.7 m的门框,某人CD高1.8 m,只有当∠CAB=53°时,他才能开门,那么BD长为　　　　.(参考数据:sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6,tan 53°≈1.33,结果精确到0.1 m)  11.(2025·武汉)某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离,具体过程如下:如图,将无人机垂直上升至距水面120 m的P处,测得A处的俯角为45°,B处的俯角为22°,则A,B之间的距离是　　　　m.(tan 22°取0.4)  1.(2025·自贡)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E,F在坐标轴上.若∠A=90°, tan B=,A(-4,3),则点G坐标为(　　) A.(11,-4) B.(10,-3) C.(12,-3) D.(9,-4) 2.题目:“如图,∠AOB=α(0°<α<90°),OA上存在两点M,N,OM=MN=2,P为OB上一点,当△MNP为等腰直角三角形时,求tan α的值.”对于其答案,甲答:tan α=1.乙答:tan α=2.丙答:tan α=或.则正确的是(　　) A.只有甲答案对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C.甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 3.(2025·南通)如图,网格图中每个小正方形的面积都为1.经过网格点A的一条直线,把网格图分成了两个部分,其中△BMN的面积为3,则sin∠MNB的值为　　　　.  4.(2025·保定阜平县一模)如图,半圆O是一玻璃砖的横截面,AB为其直径,且AB=4,一束光线在半圆O上的点M处发生折射,且折射光线在AB上的点P处发生反射,反射光线又在半圆O上的点N处发生折射射出玻璃砖.已知∠AOM=60°,MO⊥ON,图中箭头方向表示光的方向,虚线表示法线或入射平面. (1)连接BN,△OBN的面积为　　　　.  (2)tan∠APM=　　　　.  5.(2025·长沙)如图,某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上,景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上,位于景点A的北偏东30°方向上,景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800 m. (1)求∠ACB的度数. (2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号) 【详解答案】 基础夯实 1.C　解析:如图所示,在△ABC中,∠C=90°,tan A=, ∴tan A=, ∵AC=2,∴BC=AC=.故选C. 2.C　解析:在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,∴BC==5,∴sin B=.故选C. 3.C　解析:∵sin A=,cos B=, ∴∠A=60°,∠B=45°,∴∠C=75°, ∴△ABC的形状是锐角三角形.故选C. 4.A　解析:在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,∴sin∠BAC=,∴∠BAC=30°,AC=, ∴∠ABC=60°,∵AD=AB,∴∠D=∠ABD=15°,∴∠CBD=15°+60°=75°, 在Rt△DBC中,tan∠CBD=tan 75°==2+.故选A. 5.20　解析:如图,连接AC,过B作BD⊥AC于D,由条件可知AC=2AD,∠ABD=∠CBD=60°,∵sin∠ABD=,∴AD=AB·sin 60°=10 cm,∴AC=2AD=20 cm,即机器狗正常状态下的高度为20 cm. 6.　解析:如图,连接CD, 由勾股定理知BD=,CD==3,CB==2,∵()2+(3)2=(2)2,∴△BDC是直角三角形,∠BDC=90°,∴cos∠ABC=. 7.15 m　解析:∵斜坡AB的斜面坡度i=1∶,∴BC∶AC=1∶,∵BC=15 m,∴AC=15 m,由勾股定理得AB==15(m). 8.2或　解析:若∠A=90°,则AC=ABtan 30°=2;若∠C=90°,则AC=AB=. 9.10　解析:如图,过点D作DH⊥AB于点H. ∵∠C=90°,cos∠CAD=, ∴设AC=12k,AD=13k,则CD=5k, ∵AD平分∠CAB, DC⊥AC, DH⊥AB,∴DH=DC=5k,设点B到AD的距离为h,则有×13k×h=×26×5k,解得h=10. 10. 1.2 m　解析:如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E.由题意易知四边形CDBE是矩形,∴CD=BE=1.8 m,BD=CE.∴AE=AB-BE=2.7-1.8=0.9(m). 在Rt△ACE中,∵tan A=,∴CE=tan A·AE≈1.33×0.9=1.197≈1.2 (m),∴BD≈1.2 m. 11.180　解析:如图: 由题意得PD∥CB,∴∠PAC=∠DPA=45°,∠PBC=∠DPB=22°,在Rt△PAC中,PC=120 m,∴AC=PC=120 m,在Rt△PBC中,BC==300(m),∴AB=BC-AC=300-120=180(m),∴A,B之间的距离是180 m. 能力提升 1.B　解析:如图,过点A作AH⊥y轴交y轴于点H,过点B作BK⊥AH交HA的延长线于点K,则∠AHO= ∠BKA=90°=∠BAO, ∴∠BAK=∠AOH=90°-∠HAO, ∴△AHO∽△BKA,∴,∵∠BAO=90°,tan∠ABO=,A(-4,3),∴OH=3, AH=4,,∴, ∴BK=8,AK=6.∵将△ABO平移得到△EFG,∴OF=BK=8,OE=AK=6,∴E(6,0),∴将点A先向右平移10个单位,再向下平移3个单位得到点E,∴将点O(0,0)先向右平移10个单位,再向下平移3个单位得到点G,∴G(10,-3).故选B. 2.C　解析:依题意,当△MNP为等腰直角三角形时,有以下三种情况:①当∠PMN=90°时,如图1所示: ∵△MNP为等腰直角三角形,∴PM=MN,∵OM=MN=2,∴PM=OM=2,在Rt△OPM中,tan α==1; ②当∠PNM=90°时,如图2所示: ∵△MNP为等腰直角三角形,∴PN=MN,∵OM=MN=2,∴PN=MN=2,ON=OM+MN=4,在Rt△OPN中,tan α=; ③当∠MPN=90°时,过点P作PH⊥OA于点H,如图3所示: ∵△MNP为等腰直角三角形,∴PH=MH=NH=MN,∵OM=MN=2,∴PH=MH=NH=MN=1,∴OH=OM+MH=3,在Rt△OPH中,tan α=.综上所述,甲、丙答案合在一起才完整.故选C. 3.　解析:如图,在图中标注C,D, 设NC=x,∵AD∥NB,∴∠MAD=∠ANC,∵∠MDA=∠ACN, ∴△ANC∽△MAD,∴, ∵AC=AD=1,∴MD=,∵△BMN的面积为3,网格图中每个小正方形的面积都为1,∴S△AMD+S△ANC=3-1=2, ∴×MD×AD+×NC×AC=2,即×1+x×1=2,∴x+=4,解得x1=2+,x2=2-(舍去), ∵AN2=AC2+NC2=1+4+4+3=8+4,∴AN=, ∴sin∠MNB=sin∠ANC=. 4.(1)1　(2)1　解析:(1)如图,过点M作MD⊥AB于点D,过点N作NE⊥AB于点E, ∵OM⊥ON,∴∠MON=90°, ∴∠BON=180°-∠AOM-∠MON=30°,∵AB=4,∴ON=OM=OB=2, ∴EN=ON·sin∠BON=1,OE=ON·cos∠BON=,∴△OBN的面积为OB·EN=1. (2)在Rt△DOM中,OD=OM·cos∠DOM=1,MD=OM·sin∠DOM =,设OP=x,则PE=-x,PD=1+x,由光的反射可得∠MPD=∠NPE, ∴△MPD∽△NPE,∴,即,解得x=-1,∴PD=1+x==MD,∴∠APM=∠DMP= 45°,∴tan∠APM=tan 45°=1. 5.解:(1)如图,由题意得∠CBE=60°, ∠CAF=30°,∠BDM=45°,BM⊥DM,BE∥AF∥DM, ∴∠BCM=∠CBE=60°,∠ACM=∠CAF=30°, ∴∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°. (2)解法一:∵∠CBE=60°,∴∠CBM=90°-∠CBE=90°-60°=30°, 由(1)得∠ACB=30°, ∴∠ABC=∠ACB=30°, 又∵AB=800 m, ∴AB=AC=800 m, 在Rt△ACM中,sin∠ACM=,cos∠ACM=, ∴AM=AC·sin∠ACM=800×sin 30°=800×=400(m), CM=AC·cos∠ACM=800×cos 30°=800×=400(m), ∴BM=BA+AM=800+400=1 200(m), ∵∠BDM=45°,BM⊥DM, ∴DM=BM=1 200 m, ∴DC=DM-CM=(1 200-400) m, ∴景点C与景点D之间的距离为(1 200-400)m. 解法二:由(1)知∠BCM=60°,∠ACM=30°,设AM=x m,∴AC=2x m, ∴CM=AM=x m, 在Rt△BCM中, tan∠BCM=, 即, 解得x=400, 经检验,x=400是原方程的解, ∴BM=BA+AM=800+400=1 200(m), ∵∠BDM=45°,BM⊥DM, ∴DM=BM=1 200 m, ∴DC=DM-CM=(1 200-400) m, ∴景点C与景点D之间的距离为(1 200-400)m. 学科网（北京）股份有限公司 $