2026年中考数学一轮复习考点探究基础练 （河北） 第三章　函数

第六讲　二次函数的解析式 1.已知y=(a-2)x2-2x+a2是关于x的二次函数,其图象经过点(0,4),则a的值为(　　) A.a=±2 B.a=2 C.a=-2 D.无法确定 2.抛物线y=-7(x+3)2+1可以由抛物线y=-7x2平移得到,则下列平移过程正确的是(　　) A.先向左平移3个单位,再向上平移1个单位 B.先向右平移3个单位,再向上平移1个单位 C.先向左平移1个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移1个单位,再向下平移3个单位 3.用配方法将二次函数y=-x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,则h+k的值是(　　) A.-6 B.-2 C.2 D.4 4.若一条抛物线的形状和开口方向与抛物线y=-2x2+2相同,且顶点坐标是(4,2),则它的解析式是(　　) A.y=2(x-4)2+2 B.y=-2(x-4)2-2 C.y=-2(x-4)2+2 D.y=-2(x+4)2-2 5.已知抛物线y=-x2-4x-5,左、右平移该抛物线,顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上,则平移后的抛物线解析式为(　　) A.y=-x2-4x-1 B.y=-x2-4x-2 C.y=-x2+2x-1 D.y=-x2+2x-2 6.(2025·青岛)将二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,得到如图所示的新函数图象,下列对新函数的描述正确的是(　　) A.图象与y轴的交点坐标是(0,-3) B.当x=1时,函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大 7.开放型试题请写出一个开口向下,且与y轴的交点坐标为(0,2)的抛物线的表达式:　　　　.  8.如图,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,OB=OC=3OA,则该抛物线的解析式是　　　　.  9.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象过B(0,-2),它与反比例函数y=-的图象交于点A(m,4),则这个二次函数的解析式为　　　　.  10.已知抛物线y=-x2+bx+4经过点(k+3,-k2+1),(-k-1,-k2+1),则该抛物线的解析式为　.  11.如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(2,0),C(6,0)两点,与y轴交于点B. (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴. (2)把该二次函数图象平移得到新的二次函数图象,使新的二次函数图象的顶点与点B重合,求平移后二次函数图象对应的解析式. 12.已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(-2,5),对称轴为直线x=-. (1)求二次函数的表达式. (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度,向左平移m(m>0)个单位长度后,恰好落在y=x2+bx+c的图象上,求m的值. (3)当-2≤x≤n时,二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为,求n的取值范围. 1.(2025·邯郸一模)如图,抛物线L1:y1=a(x+1)2+2与L2:y2=-(x-2)2-1交于点A(1,-2),以下结论: ①无论x取何值,y2总是负数;②L2可由L1向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到;③当-3<x<1时,随着x的增大,y1-y2的值先增大后减小.下列说法正确的是(　　) A.只有①正确 B.只有②正确 C.只有③不正确 D.①②③都正确 2.(2025·唐山丰润区二模)已知二次函数y=-2(x-k)(x-k-6)的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则m的值为(　　) A.16 B.20 C.24 D.28 3.(2025·上海黄浦区二模)定义:抛物线C1上的所有点的横、纵坐标都扩大为原来的k倍后得到新的抛物线C2,C2叫C1的“k倍衍生抛物线”.例如:求抛物线L1:y=3x2-2的“5倍衍生抛物线L2”.设抛物线L2上一点P'(x,y),则点P'在抛物线L1上的对应点为P,,因为点P在抛物线L1上,所以=3-2,整理得到y=x2-10,即抛物线L2的表达式为y=x2-10.参考上述方法,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的“k倍衍生抛物线”的表达式为　　　　　　　　.  4.(2025·河北模拟)如图,抛物线过点C(0,1),与x轴交于点A,B,对称轴是直线x=-2,AB=2,矩形DEFG的边EF在线段AB上(点F在点E的左侧),点G,D在抛物线上. (1)求抛物线的函数表达式. (2)设E(n,0),矩形DEFG的周长为m,写出m与n的函数表达式,并求m的最大值. (3)当矩形DEFG周长最大时,保持矩形不变,把抛物线向下平移k个单位长度(k≠0),要使抛物线与矩形只有两个交点,直接写出k的取值范围. 【详解答案】 基础夯实 1.C　解析:∵y=(a-2)x2-2x+a2是关于x的二次函数,其图象经过点(0,4),∴4=a2,a-2≠0,解得a=-2.故选C. 2.A　解析:将抛物线y=-7x2向左平移3个单位,再向上平移1个单位得抛物线y=-7(x+3)2+1.故选A. 3.D　解析:y=-x2-2x+4=-(x+2)2+6,∴h=-2,k=6,∴h+k=-2+6=4.故选D. 4.C　解析:由条件可知a=-2,∵顶点坐标是(4,2),∴它的解析式为y=-2(x-4)2+2,故C满足条件.故选C. 5.D　解析:∵y=-x2-4x-5=-(x+2)2-1,∴顶点坐标是(-2,-1).由题知把这个二次函数的图象左、右平移,顶点恰好落在正比例函数y=-x的图象上,即顶点的纵坐标不变,∵平移时,顶点的纵坐标不变,即为(1,-1), ∴函数解析式是y=-(x-1)2-1=-x2+2x-2,即y=-x2+2x-2.故选D. 6.C　解析:∵二次函数为y=x2-2x-3,∴当x=0时,y=-3.∴其图象与y轴交于(0,-3).又∵图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,∴新函数图象与y轴的交点为(0,3),故A错误.结合函数图象可以发现,函数没有最大值,故B错误.令y=x2-2x-3=0,则x=3或x=-1,∴函数图象与x轴交点为(-1,0),(3,0).∴图象与x轴两个交点之间的距离为3-(-1)=4,故C正确.∵原函数的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴新函数的解析式为y=-(x-1)2+4(-1≤x≤3).∴新函数的对称轴是直线x=1.∴结合新函数图象可得,当1<x<3时,y随x的增大而减小;当x>3时,y随x的增大而增大,故D错误.故选C. 7.y=-x2+2(答案不唯一) 8.y=x2-2x-3　解析:当x=0时,y=-3,∴C(0,-3),∴OC=3,∴OB=3,OA=1,∴B(3,0),A(-1,0),将B(3,0),A(-1,0)代入y=ax2+bx-3得解得∴该抛物线的解析式是y=x2-2x-3. 9.y=x2-x-2　解析:把A(m,4)代入y=-得4=-,解得m=-2,把A(-2,4),B(0,-2)代入y=x2+bx+c得解得所以二次函数解析式为y=x2-x-2. 10.y=-x2-x+4或y=-x2+x+4　解析:①抛物线上不同两个点E(k+3,-k2+1)和F(-k-1,-k2+1)的纵坐标相同,∴点E和点F关于抛物线对称轴对称,则对称轴为直线x=b==1,且k≠-2,∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4; ②两点重合,k+3=-k-1,k=-2,∴E(1,-3),代入解析式得b=-.∴抛物线的解析式为y=-x2-x+4. 11.解:(1)把A(2,0),C(6,0)代入y=-x2+bx+c得 解得∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-6. ∴y=-x2+4x-6=-(x-4)2+2, ∴抛物线的对称轴为直线x=4. (2)当x=0时,y=-x2+4x-6=-6,则B(0,-6), ∵新的二次函数图象的顶点与点B重合,∴新的二次函数图象的顶点坐标为(0,-6),∴平移后二次函数图象对应的解析式为y=-x2-6. 12.解:(1)∵二次函数为y=x2+bx+c, ∴抛物线的对称轴为直线x=-=-.∴b=1. ∴抛物线的表达式为y=x2+x+c. 又图象经过点A(-2,5), ∴4-2+c=5.∴c=3. ∴抛物线的表达式为y=x2+x+3. (2)∵点B(1,7)向上平移2个单位长度,向左平移m个单位长度(m>0), ∴平移后的点的坐标为(1-m,9). 又点(1-m,9)在y=x2+x+3的图象上, ∴9=(1-m)2+(1-m)+3. ∴m=4或m=-1(舍去). ∴m=4. (3)由题意,当n<-时,最大值与最小值的差为5-. ∴n1=n2=-,不符合题意,舍去. 当-≤n≤1时,最大值与最小值的差为5-,符合题意. 当n>1时,最大值与最小值的差为,解得n1=1或n2=-2,不符合题意,舍去. 综上所述,n的取值范围为-≤n≤1. 能力提升 1.C　解析:由所给函数图象可知,抛物线L2的图象全部在x轴下方,所以无论x取何值,y2总是负数.故①正确.将点A(1,-2)代入y1得a×(1+1)2+2=-2,解得a=-1,所以y1=-(x+1)2+2.将抛物线L1向右平移3个单位,再向下平移3个单位后,所得抛物线的解析式为y=-(x-3+1)2+2-3=-(x-2)2-1.所以L2可由L1向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到.故②正确.因为y1-y2=-(x+1)2+2-[-(x-2)2-1]=-6x+6,所以随着x的增大,y1-y2的值减小.故③错误.故选C. 2.A　解析:已知二次函数y=-2(x-k)·(x-k-6)的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点,当y=0时,得-2(x-k)(x-k-6)=0,解得x1=k,x2=k+6,∴二次函数y=-2(x-k)(x-k-6)的图象与x轴的两个交点横坐标为x1=k,x2=k+6,∵k+6-k=6,∴二次函数y= -2(x-k)(x-k-6)的图象与x轴的两个交点的距离为6,∵二次函数y=-2(x-k)(x-k-6)的图象与其向下平移m个单位长度所得的图象都与x轴有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,∴每相邻两点间的距离为6÷3=2,∴平移后的抛物线与x轴有两个交点,其横坐标分别为k+2,k+4,∴平移后的抛物线解析式为y=-2(x-k-2)·(x-k-4),∵平移后的解析式为y=-2(x-k)(x-k-6)-m,∴-2(x-k)(x-k-6)-m=-2(x-k-2)(x-k-4),解得m=16.故选A. 3.y=x2+bx+ck(a≠0)　解析:由题意,设抛物线L2上一点P'(x,y),则点P'在抛物线y=ax2+bx+c上的对应点为P,∴=a+b·+c.∴y=x2+bx+ck(a≠0). 4.解:(1)∵对称轴是直线x=-2,AB=2,∴A(--2,0),B(-2,0). ∴设抛物线的函数表达式为y=a(x+2)2+c. ∵C(0,1),A(--2,0)在抛物线上, ∴ ∴y=-(x+2)2+3=-x2-2x+1. ∴抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+1. (2)∵E(n,0), ∴F(-4-n,0),Dn,-n2-2n+1. ∴DE=-n2-2n+1,EF=4+2n. ∴m=2=-n2+10,即m与n的函数表达式是m=-n2+10. ∴当n=0时,m的值最大,m的最大值是10. (3)2<k<3. 解析:当抛物线顶点在矩形内部时,抛物线与矩形只有两个交点, ∵y=-x2-2x+1=-(x+2)2+3, ∴顶点坐标是(-2,3). 由(2)可知D(0,1), ∴当抛物线的顶点在DG上时,抛物线与矩形恰好有3个交点,此时抛物线向下平移2个单位长度;当抛物线的顶点在x轴上时,抛物线与矩形只有1个交点,此时抛物线向下平移3个单位长度.又∵把抛物线向下平移k个单位长度(k≠0),要使抛物线与矩形只有两个交点, ∴当2<k<3时,抛物线顶点在矩形内部,即抛物线与矩形只有两个交点. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲　一次函数的图象与性质 1.(2025·武安一模)关于一次函数y=-x+2,下列说法不正确的是(　　) A.图象经过点(2,0) B.图象经过第三象限 C.y随自变量x的增大而减小 D.当x≥2时,y≤0 2.(2025·新疆)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是(　　) A B C D 3.(2025·长春)已知点A(-3,y1),B(3,y2)在同一正比例函数y=kx(k<0)的图象上,则下列结论正确的是(　　) A.y1=-y2 B.y1=y2 C.y2>0 D.y1<0 4.(2025·南通)已知直线y=kx+b经过第一、二、三象限,则k,b的取值范围是(　　) A.k<0,b<0 B.k<0,b>0 C.k>0,b<0 D.k>0,b>0 5.(2025·武安一模)一次函数y=ax+b(a<0)图象上有A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2,则y1和y2的大小关系为(　　) A.y1>y2 B.y1<y2 C.y1=y2 D.无法判断 6.在平面直角坐标系中,将一次函数y=x+m(m为常数)的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点,若点A(-1,n)在一次函数y=x+m的图象上,则n的值为(　　) A.1 B.-2 C.-3 D.-4 7.如图,直线y=-x+5与x轴、y轴分别交于A,B两点,把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A'O'B,则点A'的坐标是(　　) A.(5,8) B.(8,5) C.(4,8) D.(4,5) 8.(2025·河北模拟)如图,8个边长为1的小正方形按照图中方式放置在平面直角坐标系中,直线l经过小正方形的顶点P和Q,则直线l的解析式为(　　) A.y=x+1 B.y=x+1 C.y=2x+1 D.y=x+1 9.开放型试题(2025·湖北)已知一次函数y=kx+b,y随x的增大而增大.写出一个符合条件的k的值是　　　　.  10.(2025·石家庄二模)已知代数式“x2-2x-(□+1)”,把这个代数式化简后所得到的式子记为y,若y是关于x的一次函数,且其图象过第二、三、四象限,则“□”表示的单项式是　　　　.  11.如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的不等式kx+b≥0的解集为　　　　.  12.在平面直角坐标系中,直线y=-x+m(m为常数)与x轴交于点A,将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后,与x轴交于点A'.若点A'与A关于原点O对称,则m的值为　　　　.  13.已知一次函数y=mx+n,当1≤x≤3时,2≤y≤6,则m的值为　　　　.  14.如图,在x轴上有点B(-2,0),C(-1,0),从点C向上作AC⊥x轴,且AC=1,连接AB.当一次函数y=-x+b的图象与△ABC有公共点时,b的取值范围为　　　　.  15.(2025·北京)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5). (1)求k,b的值. (2)当x<1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=kx+b的值,也小于函数y=x+k的值,直接写出m的取值范围. 16.(2025·唐山二模)如图,在平面直角坐标系中,x轴上有一点A(-3,0),C(-2,0),过点C作CD∥y轴,设点D的纵坐标为a,将点A先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点B. (1)在图中画出直线AB,并求直线AB的解析式. (2)若直线AB与线段CD有交点,求a的取值范围. (3)若直线y=kx-k+2与x轴、直线AB围成的封闭图形(不包括边界)有4个整点(横、纵坐标均为整数的点),直接写出k的取值范围. 1.点A(x1,y1)和B(x2,y2)在一次函数y=kx+b的图象上,已知k+b=0,且当x1-x2>0时,y1-y2<0,则一次函数y=kx+b的图象可能是(　　) A B C D 2.(2025·广州)如图,在平面直角坐标系中,点A(-3,1),点B(-1,1),若将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点,则d的取值范围是(　　) A.-3≤d≤-1 B.1≤d≤3 C.-4≤d≤-2 D.2≤d≤4 3.(2025·南充)已知直线y=m(x+1)(m≠0)与直线y=n(x-2)(n≠0)的交点在y轴上,则的值为　　　　.  4.在同一直角坐标系中,一次函数y1=x+2,y2=kx+b(k<0)的图象如图所示,则以下结论:①y2随x的增大而减小;②b>3;③当0<y1<y2时,-1<x<2;④方程组的解为其中正确的为　　　　.(写出所有正确结论的序号)  5.(2025·石家庄二模)如图,直线l1:y=kx-4(k为常数,k>0)与y轴交于点A,直线l2:y=-x+k与y轴交于点B,两直线交于点C. (1)若点B的坐标为(0,2),求k的值和点C的坐标. (2)规定:横、纵坐标均为整数的点为整点,当k为整数时,求C为整点时的坐标. (3)设直线x=1落在△ABC内部(不含边界)整点的个数为m,直接写出m的值. 6.(2025·西安长安区一模)如图,直线l:y=-3x+5分别与y轴及直线y=2交于点A,B,点C与点B关于y轴对称,直线y=2与y轴交于点E,D(-2,0),连接CD. (1)写出点B,C的坐标,并求直线DC的解析式. (2)设S=S△ABE+S四边形DCEO,求S的值. (3)设直线l关于y轴对称的直线为l',请通过计算说明点D是否在l'上. 【详解答案】 基础夯实 1.B　解析:A.∵一次函数y=-x+2, ∴当x=2时,y=0,∴图象经过点(2,0),正确,故选项A不合题意;B.∵k=-1<0,b=2>0,∴直线经过第一、二、四象限,错误,故选项B符合题意; C.∵k=-1<0,∴y随自变量x的增大而减小,正确,故选项C不合题意;D.当x≥2时,y=-x+2≤0,正确,故选项D不合题意.故选B. 2.D　解析:∵在一次函数y=x+1中,k=1>0,b=1>0,∴一次函数y=x+1的图象过第一、二、三象限.故选D. 3.A　解析:∵正比例函数y=kx的k<0,∴正比例函数图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小,∴点A(-3,y1)在第二象限,点B(3,y2)在第四象限,∴y1=|y2|=-y2.故选A. 4.D　解析:∵直线y=kx+b经过第一、二、三象限,∴k>0,b>0.故选D. 5.B　解析:∵y=ax+b(a<0),∴y随x的增大而减小,∵一次函数y=ax+b(a<0)图象上有A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),x1>x2,∴y1<y2.故选B. 6.C　解析:∵将一次函数y=x+m(m为常数)的图象向上平移2个单位长度后得到y=x+m+2,且经过原点,∴m+2=0,∴m=-2,∴y=x-2,∵点A(-1,n)在一次函数y=x-2的图象上,∴n=-1-2=-3.故选C. 7.A　解析:如图,直线y=-x+5与x轴、y轴分别交于A,B两点,∵当x=0时,y=5;当y=0时,x=3,∴A(3,0),B(0,5), ∵△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A'O'B,∴O'B=OB=5,O'A'=OA=3,O'B⊥OB,∴A'(5,5+3),即A'(5,8).故选A. 8.D　解析:设直线l的解析式为y=kx+b,将点P和Q的坐标代入直线l的解析式得∴直线l的解析式为y=x+1.故选D. 9.1(答案不唯一)　10.x2　11.x≥-2 12.3　解析:∵直线y=-x+m(m为常数)与x轴交于点A,∴当y=0时,-x+m=0,解得x=m,∴A(m,0),∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度,∴平移后得到直线y=-(x+6)+m=-x+m-6,∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后与x轴交于点A',∴当y=0时,-x+m-6=0,解得x=m-6,∴A'(m-6,0),∵点A'与A关于原点O对称,∴m-6+m=0,解得m=3. 13.±2　解析:因为当1≤x≤3时,2≤y≤6,所以当m>0时,解得当m<0时,解得所以m的值为±2. 14.-2≤b≤0　解析:由题意可知A(-1,1),把B(-2,0)代入y=-x+b得2+b=0,解得b=-2;把A(-1,1)代入y=-x+b得1+b=1,解得b=0.∴当一次函数y=-x+b的图象与△ABC有公共点时,b的取值范围为-2≤b≤0. 15.解:(1)∵在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(1,3)和(2,5),∴ 解得 (2)2≤m≤3. 解析:由(1)可得函数y=kx+b(k≠0)的解析式为y=2x+1,函数y=x+k的解析式为y=x+2, 当mx<2x+1时,(m-2)x<1, 当mx<x+2时,(m-1)x<2, ∵当x<1时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既小于函数y=kx+b的值,也小于函数y=x+k的值,∴m-2≥0且m-1≥0,∴m≥2, 当m=2,x<1时,2x<2x+1和x<2恒成立,故m=2符合题意; 当m>2时,x<且x<, 当≥时,≥1, 解不等式≥得m≤3,解不等式≥1得m≤3, ∴2<m≤3. 当时,≥1, 解不等式得m>3,解不等式≥1得m≤3,此时不符合题意. 综上所述,2≤m≤3. 16.解:(1)在平面直角坐标系中,x轴上有一点A(-3,0),将点A先向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度得到点B,∴B(0,2), 画出直线AB如图1所示, 设直线AB的解析式为y=k1x+b1,把点A,点B的坐标分别代入得 解得 ∴直线AB的解析式为y=x+2. (2)由(1)得,直线AB的解析式为y=x+2, ∵CD∥y轴,∴D的横坐标为-2, ∵直线AB与线段CD有交点,∴a≥×(-2)+2,解得a≥. (3)k的取值范围是-1<k≤-或≤k<. 解析:由y=kx-k+2=k(x-1)+2, 得y=kx-k+2经过定点(1,2), 分两种情况讨论: 如图2, ∵直线y=kx-k+2与x轴、直线AB围成的封闭图形(不包括边界)有4个整点, ∴当x=2时,y=2k-k+2>1,当x=3时,y=3k-k+2≤1, 联立解得-1<k≤-. 如图3, 当x=-5时,y=-5k-k+2>1,当x=-6时,y=-6k-k+2≤1, 联立 解得≤k<. 综上所述,k的取值范围是-1<k≤-或≤k<. 能力提升 1.A　解析:∵当x1-x2>0时,y1-y2<0,即当x1>x2时,y1<y2,∴y随着x的增大而减小,∴k<0,又∵k+b=0,∴b>0,∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限.故选A. 2.D　解析:把直线y=x向上平移d个单位长度后得到y=x+d,若直线过A(-3,1),则-3+d=1,解得d=4,若直线过B(-1,1),则-1+d=1,解得d=2,∴若将直线y=x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点,则2≤d≤4.故选D. 3.-　解析:当x=0时,y=m(x+1)=m,y=n(x-2)=-2n,∵直线y=m(x+1)(m≠0)与直线y=n(x-2)(n≠0)的交点在y轴上, ∴m=-2n,∴=-. 4.①②④　解析:由题图可知,y2随x的增大而减小,故①正确;由题图可知,一次函数y2=kx+b的图象与y轴的交点在直线y=3的上方,即b>3,故②正确;把y=3代入y1=x+2,得3=x+2, 解得x=2,故直线y1=x+2与y2=kx+b(k<0)的交点为(2,3),令y1=0,则0=x+2,解得x=-4,即直线y1=x+2与x轴的交点为(-4,0),如图, 由图象可知当0<y1<y2时,-4<x<2,故③错误;由图象可知,两条直线的交点为(2,3),∴方程组的解为故④正确. 5.解:(1)由条件可得k=2, ∴l1:y=2x-4,l2:y=-x+2, 联立解得 ∴点C的坐标为. (2)联立 解得 ∴C, ∵C为整点, ∴1+为整数,为整数, 由条件可知k=3, ∴点C的坐标为(2,2). (3)m的值为3或4. 解析:把x=1代入l1:y=kx-4得y=k-4, 把x=1代入l2:y=-x+k得 y=-+k, ∵-+k-k+4=, ∴直线x=1与直线l1和l2的两个交点间距离为,∴m=3或m=4. 6.解:(1)当x=0时,y=-3x+5=5, ∴点A的坐标为(0,5), 当y=2时,-3x+5=2, 解得x=1, ∴点B的坐标为(1,2), ∵点C与B关于y轴对称, ∴C(-1,2), 设直线DC的解析式为y=kx+b(k≠0), 将点C(-1,2),D(-2,0)代入解析式, 得解得 ∴直线DC的解析式为y=2x+4. (2)∵BE=1,AE=5-2=3, ∴S△ABE=×1×3=, ∵OD=2,EC=1,OE=2, ∴S四边形DCEO=×(1+2)×2=3, ∴S=+3=. (3)设直线l'的解析式为y=ax+b, 将点A(0,5),C(-1,2)代入解析式, 得解得 ∴直线l'的解析式为y=3x+5, 当x=-2时,y=3×(-2)+5=-1≠0, ∴点D不在直线l'上. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲　反比例函数及其应用 1.(2025·浙江)已知反比例函数y=-.下列选项正确的是(　　) A.函数图象在第一、三象限 B.y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D.y随x的增大而增大 2.若点(3,-4)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,则该图象也过点(　　) A.(2,6) B.(3,4) C.(-4,-3) D.(-6,2) 3.如图,A,B两点在双曲线y=上,分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段,已知S阴影=1,则S1+S2=(　　) A.10 B.8 C.6 D.4 4.跨物理学科(2025·保定竞秀区一模)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.若电流I由9 A减小至6 A,则电阻R的变化情况是(　　) A.增大,增大了2 Ω B.减小,减小了2 Ω C.增大,增大了6 Ω D.减小,减小了6 Ω 5.(2025·邯郸三模)在平面直角坐标系xOy中,如图所示的是反比例函数y1=(x>0)和一次函数y2=mx+n的图象,则下列结论正确的是(　　) A.反比例函数的解析式为y1= B.一次函数的解析式为y2=-x+6 C.若y1<y2,则1<x<6 D.当x>6时,y1的最大值为1 6.(2025·邯郸丛台区一模)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,2),B(1,0),∠ABC=90°,BC=2AB,若点C在函数y=(x>0)的图象上,则k的值为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 7.(2025·宁夏)函数y=(k1≠0)和y=(k2≠0)的部分图象如图所示,点A在y=的图象上,过点A作AB∥y轴交x轴于点C,交y=的图象于点B.若AC=3BC,则的值为(　　) A.-3 B.- C. D.3 8.开放型试题(2025·武汉)在平面直角坐标系中,某反比例函数y=的图象分别位于第一、三象限.写出一个满足条件的k的值是　　　　.  9.若y=(a-1)是反比例函数,则a的值为　　　　.  10.(2025·徐州)若点A(6,y1),B(5,y2)都在函数y=-的图象上,则y1　　　　y2.(填“>”“=”或“<”)  11.(2025·德阳)如图,已知菱形OABC,点C在x轴上,反比例函数y=(x>0)的图象经过菱形的顶点A(3,4),连接OB,OB与反比例函数图象交于点D. (1)求反比例函数解析式. (2)求直线OB的解析式和点D的坐标. 1.(2025·邢台信都区二模)若当2≤x≤3时,反比例函数y=(k>0)中y有最大值m,则当-4≤x≤-2时,反比例函数y=(k>0)中y有(　　) A.最大值2m B.最大值m C.最小值-m D.最大值-m 2.(2025·龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,点A、点B都在双曲线y=(k≠0)上,且点A在点B的右侧,点A的横坐标为-1,∠AOB=∠ABO=45°,则k的值为(　　) A. B.- C. D.- 3.(2025·秦皇岛模拟)如图是台阶状的折线示意图,每级“台阶”的高和宽都是1,“台阶”的最高点为A(1,4),若反比例函数y=(x>0)的图象与该折线有公共点,则k的整数值有　　　　个.  4.(2025·大庆)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,OA=2,点B在反比例函数y=(k>0)的图象上,△OBA为等边三角形,延长BO与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C,连接CA并延长与反比例函数y=的图象在第一象限交于点D. (1)求反比例函数的表达式. (2)求点D的坐标及△OAD的面积. (3)在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请直接写出点Q坐标;若不存在,请说明理由. 【详解答案】 基础夯实 1.C　解析:∵反比例函数y=-,k=-7<0,∴函数图象在第二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大,故选项C符合题意.故选C. 2.D　解析:∵点(3,-4)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,∴-4=, ∴k=-12,∴反比例函数解析式为y=-,∴在反比例函数图象上的点横、纵坐标的乘积为-12,∵四个选项中只有D选项满足横、纵坐标的乘积为-12,∴D选项符合题意.故选D. 3.B　解析:∵A,B两点在双曲线y=上,分别经过A,B两点向x轴、y轴作垂线段,S阴影=1,∴S1=S2=5-1=4, ∴S1+S2=4+4=8.故选B. 4.A　解析:设I=,把(4,9)代入I=,得U=36,∴I=,当I=6 A时,R=6 Ω,∴电阻R增大了6-4=2(Ω).故选A. 5.C　解析:A.∵反比例函数y1=(x>0)的图象过点(1,5),∴k=1×5=5,∴反比例函数的解析式为y1=,故结论错误; B.把x=6代入y1=,得y1=,∴反比例函数y1=(x>0)和一次函数y2=mx+n的图象的另一个交点为,把点(1,5),分别代入y2=mx+n,得 解得∴一次函数解析式为y2=-x+,故结论错误;C.由题图知,若y1<y2,则1<x<6,故结论正确;D.由题图可知当x>6时,0<y1<,故结论错误.故选C. 6.C　解析:如图,过点C作CD⊥x轴,垂足为D,∵点A(0,2),B(1,0),∴OA=2,OB=1,∵∠AOB=∠BDC,∠ABO= ∠BCD,∴△AOB∽△BDC,∵BC=2AB,∴,∴BD=2AO=4,CD=2BO=2,∴OD=5,∴C(5,2), ∵点C在函数y=(x>0)的图象上,∴k=5×2=10.故选C. 7.A　解析:如图,连接OA,OB,由条件可知OC⊥AB,∴S△OAC=3S△OBC,由条件可知S△OAC=,∴S△OBC=, ∴|k2|=且k2<0,∴-,∴=-=-3.故选A. 8.1(答案不唯一)　解析:∵反比例函数y=的图象分别位于第一、三象限,∴k>0,不妨令k=1. 9.-1　解析:∵y=(a-1)是反比例函数,∴a2-2=-1且a-1≠0,解得a=±1且a≠1,∴a=-1. 10.>　解析:因为反比例函数的解析式为y=-,所以反比例函数的图象位于第二、四象限,且在每个象限内y随x的增大而增大.又因为点A(6,y1),B(5,y2)都在该反比例函数的图象上,且6>5>0,所以y1>y2. 11.解:(1)把A(3,4)代入y=,得k=3×4=12,∴反比例函数解析式为y=. (2)∵A(3,4),∴OA==5,∵四边形OABC是菱形, ∴AB=OA=5,∴B(8,4),设直线OB的解析式为y=mx(m≠0),把B(8,4)代入得4=8m,∴m=,∴直线OB的解析式为y=x,∵点D是直线OB与反比例函数图象的交点,∴联立解得或 ∵x>0,∴D(2,). 能力提升 1.D　解析:由条件可知反比例函数图象经过第一、三象限,且在每个象限内y随x增大而减小,∵当2≤x≤3时,反比例函数y=(k>0)中y有最大值m,∴m=,∴k=2m,当-4≤x≤-2时,则y的最大值为=-,最小值为=-m.故选D. 2.D　解析:如图,过点A作MN∥x轴,交y轴于点N,作BM⊥MN,垂足为M, ∵∠AOB=∠ABO=45°,∴AB=AO,∠BAO=90°,∴△AOB是等腰直角三角形,在△BMA和△ANO中, ∴△BMA≌△ANO(AAS),∴AN=BM=1,ON=AM,∵点A的横坐标为-1,∴A(-1,-k),∴ON=AM=-k,∴B(-1+k,-k-1),∵点A,B在反比例函数图象上,∴k=(-1+k)·(-1-k)=1-k2,整理得k2+k-1=0,解得k=(舍去)或k==-.故选D. 3.4　解析:每级“台阶”的高和宽都是1,“台阶”的最高点为A(1,4),如图, ∴B(1,3),C(2,3),D(2,2),E(3,2),F(3,1),G(4,1),当反比例函数图象过点B开始与台阶有交点,直到反比例函数图象过点C为止,∴1×3≤k≤2×3,即3≤k≤6,故k的整数值有3,4,5,6,共4个. 4.解:(1)如图1,过点B作BF⊥x轴于点F, ∵△OBA为等边三角形,OA=2, ∴OB=2,OF=AF=1, ∴BF=, ∴点B的坐标为(1,). ∵点B在反比例函数y=(k>0)的图象上, ∴k=1×, ∴反比例函数的表达式为y=. (2)∵延长BO与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C, ∴点C与点B关于原点对称, ∴点C的坐标为(-1,-). ∵OA=2, ∴点A的坐标为(2,0). 设直线AC的表达式为y=k'x+b, ∴ 解得 ∴直线AC的表达式为y=x-, 联立 解得或(舍去), ∴点D的坐标为, ∴S△OAD=×OA×|yD|=. (3)存在.点Q的坐标为(3,0)或. 解析:∵△OBA为等边三角形,点C与点B关于原点对称, ∴OA=OB=OC, ∠BOA=∠BAO=60°, ∴∠OAC=∠OCA=∠BOA=30°, ∴∠BAC=90°. 当DQ⊥x轴时,如图2. 则∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA, ∠DQA=∠BAC=90°, ∴△DQA∽△BAC, ∵点D的坐标为3,, ∴点Q的坐标为(3,0). 当DQ⊥AD时,如图3. 则∠DAQ=∠OAC=30°=∠BCA, ∠QDA=∠BAC=90°, ∴△QDA∽△BAC, ∵点D的坐标为,点A的坐标为(2,0),∴AD=, ∴AQ=, ∴OQ=2+, ∴点Q的坐标为. 综上,点Q的坐标为(3,0)或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五讲　二次函数的图象与性质 1.(2025·河北模拟)关于二次函数y=-(x-4)2+2,下列说法正确的是(　　) A.图象开口向上 B.图象的对称轴是直线x=-4 C.有最小值2 D.图象的顶点坐标是(4,2) 2.(2025·邯郸模拟)在平面直角坐标系中,二次函数y=mx2-m的图象如图所示,则坐标原点可能是(　　) A.D点 B.C点 C.B点 D.A点 3.二次函数y=ax2-3x+2的图象与x轴有两个不同交点,则a可以是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 4.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为(　　) A B C D 5.(2025·保定二模)已知抛物线y=x2+2x-4与x轴交于点A(a,0)和B(b,0),则(a+1)(b+1)的值为(　　) A.-5 B.-1 C.3 D.7 6.(2025·达州)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0),点B(3,0),下列结论:①abc<0;②4a+b=0;③b2-4ac>0;④a-b+c>0.正确的个数为(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.(2025·石家庄模拟)如图,已知抛物线y=-x2+px+q的对称轴为直线x=-3,过其顶点M的一条直线y=kx+b与该抛物线的另一个交点为N(-1,1).要在坐标轴上找一点P,使得△PMN的周长最小,则点P的坐标为(　　) A.(0,2) B. C.(0,2)或 D.或(-2,0) 8.若一元二次方程x2+bx=0的解为x1=0,x2=-2,在函数y=x2+bx的图象上有两点A(1,y1),B(-5,y2),则y1和y2的大小关系为(　　) A.y1=y2 B.y1>y2 C.y1<y2 D.无法确定 9.如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,4),B(6,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为(　　) A.x≤-1或x≥6 B.-1≤x<6 C.-1<x≤6 D.-1≤x≤6 10.(2025·石家庄新华区三模)如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(-1,0),B(3,0),若当n≤x≤4时y的最大值与最小值的差为6,则n的值为(　　) A.1+ B.2 C.1- D.1± 11.开放型试题(2025·广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点,则该二次函数的表达式可以是　　　　.(写出一个即可)  12.当2≤x≤5时,二次函数y=-(x-1)2+2的最大值为　　　　.  13.(2025·广州)若抛物线y=x2-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上,则m的值为　　　　.  14.(2025·秦皇岛抚宁区一模)如图,已知抛物线a:y=-x2+2x+m,线段b:y=x+2(-1≤x≤3).若抛物线a和线段b有两个交点,且两个交点均为整点(横、纵坐标均为整数的点),则整数m的值为　　　　.  15.(2025·连云港)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,求a的取值范围. (2)若该二次函数的图象与x轴有交点,求a的值. (3)求证:该二次函数的图象不经过原点. 16.(2025·石家庄栾城区二模)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3). (1)求a的值和图象的顶点坐标. (2)点Q(m,n)在该二次函数图象上. ①当m=2时,求n的值; ②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围; ③直接写出点Q与直线y=x+5的距离小于时m的取值范围. 1.(2025·福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上,若3<b<4,则下列判断正确的是(　　) A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 2.(2025·烟台)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间,顶点P的坐标为(1,n).下列结论:①abc<0;②对于任意实数m,都有am2+bm-a-b≥0;③3b<2c;④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角形,则n=-.其中所有正确结论的序号是(　　) A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 3.如图,二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,设二次函数图象上点A,B之间的部分(含点A,B)为曲线L,过点C(0,5)作直线l∥x轴.将曲线L向上平移m个单位长度,若曲线L与直线l有两个交点,则m的取值范围为(　　) A.m>1 B.1<m≤2 C.1<m<2 D.1≤m≤2 4.(2025·天津)四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8 cm,AD=10 cm,BC=16 cm.动点M从点B出发,以2 cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动;动点N从点C同时出发,以1 cm/s的速度沿边CB向终点B运动.规定其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t s.当t=2 s时,点M,N的位置如图所示.有下列结论: ①当t=6 s时,CN=DM; ②当1≤t≤2时,△BMN的最大面积为26 cm2; ③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 cm2. 其中,正确结论的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-x+c与y轴交于点A,与x轴正半轴的交点为点B,其中点A的坐标为(0,-4),且OA=OB,连接AB. (1)分别求出直线AB和抛物线的解析式. (2)若抛物线的顶点为点E,求△ABE的面积. (3)点P是AB下方抛物线上的一动点,过点P作x轴的平行线交AB于点C,过点P作PD⊥x轴于点D,求PC+PD的最大值. 【详解答案】 基础夯实 1.D　解析:由二次函数的解析式为y=-(x-4)2+2可知A.a=-1<0,则图象开口向下,故不符合题意;B.图象的对称轴是直线x=4,故不符合题意;C.当x=4时,函数取得最大值2,故不符合题意;D.图象的顶点坐标是(4,2),故符合题意.故选D. 2.B　解析:由条件可知抛物线对称轴为直线x=0,即y轴,∴坐标原点可能是C点.故选B. 3.B　解析:根据题意,Δ=(-3)2-4a×2>0,且a≠0,解得a<且a≠0.故选B. 4.A　解析:A.由抛物线可知,a<0,x=-<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;B.由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误;C.由抛物线可知,a>0,x=->0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;D.由抛物线可知,a>0,由直线可知,a<0,故本选项错误.故选A. 5.A　解析:已知抛物线y=x2+2x-4与x轴交于点A(a,0)和B(b,0),∴a,b是方程x2+2x-4=0的两个不相等的实数根,∴∴(a+1)(b+1)=ab+a+b+1=-4-2+1=-5.故选A. 6.D　解析:∵抛物线开口向上,与y轴交于正半轴,∴a>0,c>0,∵抛物线与x轴交于点A(1,0),点B(3,0),当x=-1时y>0,∴抛物线的对称轴是直线x=2,b2-4ac>0,a-b+c>0,故结论③④正确;-=2,即b=-4a<0,b+4a=0,故结论②正确;abc<0,故结论①正确,综上,结论正确的有4个.故选D. 7.A　解析:抛物线y=-x2+px+q的对称轴为直线x=-3,且经过点N(-1,1),则有 ∴y=-x2-6x-4,∵y=-x2-6x-4=-(x+3)2+5,∴M的坐标为(-3,5).∵△PMN的周长=PN+PM+MN,且MN是定值,∴只需PN+PM取最小值,即可使得△PMN的周长最小,如图1,过点M作关于y轴对称的点M',连接M'N,与y轴的交点即为所求的点P, 则M'(3,5),PM=PM',设直线M'N的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),将点M'(3,5)和点N(-1,1)代入y=k1x+b1(k1≠0),可得 故直线M'N的解析式为y=x+2,当x=0时,y=2,即P(0,2).∵PM+PN+MN=PM'+PN+MN=M'N+MN,且M'N==4,∴此时△PMN的周长=4+MN.同理,如图2,过点M作关于x轴对称的点M',连接M'N,与x轴的交点P即为所求的点, 则M'(-3,-5),设直线M'N的解析式为y=k2x+b2(k2≠0),由题意可得故直线M'N的解析式为y=3x+4,当y=0时,x=-,即P.∵PM+PN+MN=PM'+PN+MN=M'N+MN,且M'N==2,∴此时△PMN的周长=2+MN.∵4<2,∴4+MN<2+MN,∴点P在y轴上时,△PMN的周长最小,此时点P的坐标是(0,2).故选A. 8.C　解析:把x1=0,x2=-2代入一元二次方程x2+bx=0中,得b=2,∴函数y=x2+bx=x2+2x=x2+2x+1-1=(x+1)2-1,∴函数图象的对称轴为直线x=-1,∵a>0,图象开口向上,A到对称轴的距离为1-(-1)=2,B到对称轴的距离为-1-(-5)=4,∴y1<y2.故选C. 9.D　解析:∵一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,4),B(6,2)两点,从图象上可知在点A的右侧和点B的左侧时有不等式kx+n≥ax2+bx+c成立,∴不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为-1≤x≤6.故选D. 10.A　解析:∵抛物线经过点A(-1,0),B(3,0),∴可设y=a(x+1)(x-3).又∵抛物线为y=ax2+bx-3,∴过点C(0,-3),∴-3a=-3.∴a=1.∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4.∴当x=4时,y=5;当n>1时,y随x的增大而增大,在x=n处取最小值5-6=-1,∴n2-2n-3=-1,∴n=1-(舍去)或n=1+.当n≤1时,当x=1时,y有最小值-4.若当x=n时,y有最大值n2-2n-3,∴1-n>4-1,即n<-2.∵y的最大值与最小值的差为6,∴n2-2n-3-(-4)=6,∴n=1+(舍去)或n=1-(舍去).若当x=4时,y有最大值5,此时y的最大值与最小值的差为9,不合题意,舍去.综上,n的值为1+.故选A. 11.y=-x2+x+2(答案不唯一) 解析:∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),∴0=-c2+bc+c,∵二次函数y=-x2+bx+c的图象不经过原点,∴c≠0,则c-b=1,若取b=1,则c=2,∴该二次函数的表达式可以是y=-x2+x+2. 12.1　解析:∵a=-1<0,对称轴为直线x=1,∴当2≤x≤5时,y随x的增大而减小,∴当x=2时,二次函数y=-(x-1)2+2的最大值为1. 13.1或-　解析:y=x2-6mx+6m2+5m+3=x2-6mx+9m2-9m2+6m2+5m+3=(x-3m)2-3m2+5m+3,∴抛物线y=x2-6mx+6m2+5m+3的顶点坐标为(3m,-3m2+5m+3),把(3m,-3m2+5m+3)代入y=x+2中得-3m2+5m+3=3m+2,整理得3m2-2m-1=0,解得m1=1,m2=-,∴m的值为1或-. 14.2或4　解析:联立 得x2-x+2-m=0,∵抛物线a和线段b有两个交点,∴Δ=(-1)2-4×(2-m)>0,解得m>.当x=-1时,y=-1+2=1.将(-1,1)代入抛物线解析式得1=-1-2+m,即m=4.同理,当x=3时,m=8,∴<m≤4.∵m为整数,∴m的值为2或3或4. 当m=2时,抛物线与线段的交点坐标为(0,2),(1,3),符合要求;当m=3时,抛物线与线段的交点不是整点,不符合要求;当m=4时,抛物线与线段的交点坐标为(-1,1),(2,4),符合要求.∴m的值为2或4. 15.解:(1)∵二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3中,1>0, ∴二次函数的图象开口向上, ∵二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点, ∴函数的最小值小于2a2, 则=2a2-4a+2,即2a2-4a+2<2a2, 解得a>. (2)∵二次函数的图象与x轴有交点, ∴Δ=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8=-8(a-1)2≥0, ∴8(a-1)2≤0, 又∵8(a-1)2≥0, ∴8(a-1)2=0, 解得a=1. (3)证明:当x=0时,y=3a2-2a+3=3>0, ∴二次函数的图象不经过原点. 16.解:(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3中,得a=2, ∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2, ∴图象的顶点坐标为(-1,2). (2)①∵Q(m,n)在该二次函数图象上, ∴当m=2时,n=22+2×2+3=11. ②2≤n<11. ③<m<-1或0<m<. 解析:设Q(m,m2+2m+3), 直线y=x+5与x轴的交点A(-5,0),过点Q与y=x+5平行的直线的解析式为y=x+m2+m+3, ∴直线y=x+m2+m+3与x轴的交点B(-m2-m-3,0), ∴AB=|m2+m-2|, 如图,过点B作BC⊥AC交直线y=x+5于点C, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴两条直线之间的距离d=AB=|m2+m-2|, ∵d<,∴|m2+m-2|<, ∴<m<-1或0<m<. 能力提升 1.A　解析:∵y=3x2+bx+1,∴抛物线过点(0,1),抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-=-,∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值越大,∵3<b<4,∴-<-<-, ∵=->-,= -1<-,∴点A(-2,y1)到对称轴的距离大于点(0,1)到对称轴的距离,小于点B(1,y2)到对称轴的距离,∴1<y1<y2.故选A. 2.D　解析:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下,与y轴交于正半轴,对称轴在y轴的右侧,∴a<0,b>0,c>0,∴abc<0,故①符合题意;∵顶点P的坐标为(1,n),∴当x=1时,n=a+b+c最大,当x=m时,y=am2+bm+c,∴a+b+c≥am2+bm+c,∴am2+bm-a-b≤0,故②不符合题意;∵二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间,对称轴为直线x=1,∴-=1,a-b+c>0,∴a=-b,-b-b+c>0,∴3b<2c,故③符合题意;如图,△PAB为等边三角形,∴PA=AB=PB,PH⊥AB,HA=HB,∠PAB=60°,∴PH=tan 60°·AH, 记A,B的横坐标分别为x1,x2,∴n=(x2-1)=(1-x1),∴2n= (x2-x1),令y=ax2+bx+c=0,则x1+x2=-=2,x1x2=,∴x2-x1=, ∴n=··=-,∵n=a+b+c=c-a,∴c-a=-, ∴a(a-c)=3,∴n=-= -,故④符合题意.故选D. 3.B　解析:∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴B(0,3),顶点坐标为(1,4),∵直线l过点C(0,5),∴点B到直线l的距离为2个单位长度,L的顶点到直线l的距离为1个单位长度,∴1<m≤2.故选B. 4.C　解析:根据题意得点M在AB上的运动时间为=4(s),点M在AD上的运动时间为=5(s),点N在CB上的运动时间为16 s,∵4+5<16,∴0<t≤9.①当t=6 s时,点M在AD上,此时AM=2×6-8=4(cm),CN=6 cm, ∴DM=AD-AM=6 cm,∴CN=DM,故①正确.②当1≤t≤2时,点M在AB上,此时BM=2t cm,CN=t cm, ∴BN=(16-t) cm,∴S△BMN=BM×BN=×2t(16-t)=-t2+16t=-(t-8)2+64,∵-1<0,∴当t<8时,S△BMN随t的增大而增大, ∴当t=2时,S△BMN取得最大值,最大值为-(2-8)2+64=28,即当1≤t≤2时,△BMN的最大面积为28 cm2,故②错误. ③当点M在AB上时,∵△BMN的面积为39 cm2,∴S△BMN=BM×BN=×2t(16-t)=-t2+16t=39,解得t1=3,t2=13(舍去),∴当t=3时,△BMN的面积为39 cm2;当点M在AD上时, ∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠A=180°- ∠B=90°,即AB⊥AD,此时S△BMN=AB×BN=×8(16-t)=64-4t=39,解得t=,∴当t=时,△BMN的面积为39 cm2. ∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39 cm2,故③正确.故选C. 5.解:(1)∵点A的坐标为(0,-4),且OA=OB, ∴点B的坐标为(4,0). 设直线AB的解析式为y=kx+b, 则解得 ∴直线AB的解析式为y=x-4. 将A,B的坐标代入二次函数解析式得, 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-x-4. (2)∵y=x2-x-4=(x-1)2-, ∴点E的坐标为. 连接OE,AE,BE,如图. ∴S△AOE=×4×1=2,S△BOE=×4×=9, 又∵S△AOB=×4×4=8, ∴S△ABE=2+9-8=3. (3)令点P的坐标为m,m2-m-4, ∵PC∥x轴, ∴yC=yP=m2-m-4, 则xC=m2-m, ∴PC=m-=-m2+2m, 又∵PD=-m2+m+4, ∴PC+PD=-m2+3m+4, 则当m=时, PC+PD取得最大值,为-+3×+4=, ∴PC+PD的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲　一次函数的实际应用 1.跨物理学科在闭合电路中,通过定值电阻的电流I(单位:A)是它两端的电压U(单位:V)的正比例函数,其图象如图所示.当该电阻两端的电压为15 V时,通过它的电流为(　　) A.12 A B.8 A C.6 A D.4 A 2.小珍学习函数后,探究如图所示的整齐叠放成一摞相同规格的碗的总高度y(单位:cm)随碗的数量x(单位:个)的变化规律.下表是小珍经过测量得到的y与x之间的对应数据: x/个 1 2 3 4 … y/cm 10 12 14 16 … 根据表格中的数据,下列说法正确的是(　　) A.当x=5时,y=18 B.每增加一个碗,高度增加4 cm C.y与x的函数关系式为y=2x+10 D.若y=22,则x=10 3.甲、乙两车沿同一条路同时出发前往B地,甲车到达B地后立即以原速沿原路返回,乙车到达B地后停止运动.两车距B地的距离y甲,y乙(km)与甲车行驶时间x(h)的函数图象如图所示,下列结论正确的是(　　) A.a=4.5 B.y乙=360-30x C.返程时y甲=80x D.两次相遇的时间间隔为 h 4.如图,交警部门在某段高速公路距离入口3千米处设立了限速标志牌,并在以后每隔5千米处设置一块限速标志牌;此外交警部门还在距离入口10千米处设置了摄像头,并在以后每隔28千米处都设置一个摄像头. (1)设第x个摄像头和第y个限速标志牌与入口的距离相同,则y与x之间的函数关系式为　　　　.  (2)若该段高速公路全长为250千米,则离入口　　　　千米处刚好同时设置有限速标志牌和摄像头.  5.(2025·邯郸磁县四模)如图,某品牌滤水壶有净水区和蓄水区.给净水区加满水,净水区中的水匀速流向蓄水区,一段时间后再将净水区补满(不计加水时间).已知净水区水面与蓄水区水面的距离h(cm)与水流时间t(min)的函数图象如图所示. (1)直接写出线段AB与线段CD的位置关系. (2)求线段AB所在直线的函数表达式. (3)求净水区水面与蓄水区水面重合时t的值. 6.(2025·广元)某校开展阳光体育大课间活动,需购买一批球类用品.在采购中发现,篮球的单价比足球的单价高20元,用10 000元购买篮球的数量和用8 000元购买足球的数量相同. (1)求篮球和足球的单价. (2)学校需购买篮球和足球共120个(两种球都要购买),足球的数量不能多于篮球数量的,设购买篮球x个,总费用为y元,求总费用y(元)与x(个)的函数关系式,并求出x的取值范围和总费用最低时的购买方案. 1.传统文化(2025·廊坊安次区二模)“准、绳、规、矩”是古代使用的测量工具,一个简单结构的“矩”(如图1),由于使用时安放的位置不同,能测定物体的高低远近及大小,把“矩”放置在如图2所示的位置,令BG=x(单位:m),EG=y(单位:m),若a=10 cm,b=20 cm,AB=1.55 m,则y关于x的函数解析式为(　　) A.y=0.5x+1.55 B.y=0.5x+1.60 C.y=2x+155 D.y=x+1.55 2.跨物理学科(2025·秦皇岛模拟)已知点A(-3,a),点B(a+2,a),其中a>-5.一束光从点P(0,-4)沿直线l:y=kx+b发出,形成的光线l与线段AB交于点Q,若点Q为整数点(横、纵坐标都为整数的点),则光线l穿过线段AB得到图1,否则光线l在点Q处被反射得到射线QM(光线l的反射符合反射定律),进而得到图2. (1)若点Q, ①求射线l的表达式(不必写自变量的取值范围); ②射线QM是否经过(-3,2)?请说明理由. (2)若a=3,且AB上的整数点被点Q分为个数之比为2∶7的两部分,求k的取值范围. (3)若光线l穿过线段AB,且k为正整数,点Q为AB的中点,直接写出此时满足条件的整数a的个数. 【详解答案】 基础夯实 1.A　解析:设I=kU,∵当U=5 V时,I=4 A,∴4=5k,∴k=,∴I=U,当U=15 V时,I=×15=12(A).故选A. 2.A　解析:由题表中的数据知每增加一个碗,高度增加2 cm,即y的增加量不变,故选项B不符合题意;y是x的一次函数,设y=kx+b,∵当x=1时,y=10,当x=2时,y=12, ∴解得∴y与x之间的函数关系式为y=2x+8,故选项C不符合题意;当x=5时,y=2×5+8=18,故选项A符合题意;当y=22时,2x+8=22,解得x=7,故选项D不符合题意.故选A. 3.D　解析:由题意可知a=10÷2=5,故A错误;乙车的速度为360÷9=40(km/h),∴y乙=360-40x,故B错误;设甲在返程时的函数解析式为y甲=kx+b,把(5,0)和(10,400)代入解析式得解得 ∴y甲=80x-400,故C错误;∵甲车的速度为400÷5=80(km/h),∴甲车前往B地时,y甲=400-80x,两车第一次相遇:360-40x=400-80x,解得x=1,两车第二次相遇:360-40x=80x-400,解得x=,∴两车两次相遇的时间间隔为-1=(h),故D正确.故选D. 4.(1)y=　(2)38和178 解析:(1)依题意,得10+28(x-1)=3+5(y-1),整理,得y=. (2)∵该段高速公路全长为250千米,∴10+28(x-1)≤250,则x≤9,∵x,y均为正整数,∴和此时10+28×(2-1)=38(千米),10+28×(7-1)=178(千米),∴当x=2和x=7时,刚好同时设置有限速标志牌和摄像头,此时与入口的距离分别为38千米和178千米. 5.解:(1)线段AB与线段CD的位置关系是互相平行. (2)设线段AB所在直线的函数表达式为h=kt+b, ∵点(0,27)和点(3,9)在该函数图象上, ∴解得 即线段AB所在直线的函数表达式为h=-6t+27. (3)设线段CD所在直线的函数表达式为h=-6t+b', ∵(3,21)在该函数图象上, ∴21=-6×3+b', 解得b'=39, 即线段CD所在直线的函数表达式为h=-6t+39. 将h=0代入h=-6t+39得0=-6t+39,解得t=, 即净水区水面与蓄水区水面重合时t的值为. 6.解:(1)设足球的单价为m元,则篮球的单价为(m+20)元. 根据题意,得, 解得m=80, 经检验,m=80是所列分式方程的根, 80+20=100(元). 答:篮球的单价为100元,足球的单价为80元. (2)根据题意,得 解得72≤x≤119且x为整数, y=100x+80(120-x)=20x+9 600, ∴y与x的函数关系式是y=20x+9 600(72≤x≤119且x为整数), ∵20>0,∴y随x的增大而增大, ∵72≤x≤119且x为整数, ∴当x=72时y值最小, 120-72=48(个). 答:购买篮球72个、足球48个总费用最低. 能力提升 1.A　解析:根据题意,△ACD∽△AEF,∴,∵四边形ABGF是矩形, ∴EF=EG-FG=100y-155,∵AF=BG=100x,AD=b=20,CD=a=10,∴,∴y=0.5x+1.55.故选A. 2.解:(1)①由条件可得 ∴ ∴射线l的表达式为y=-x-4. ②不经过.理由如下: 根据光的反射定律,可知直线l与直线QM关于直线x=-对称. ∴点P(0,-4)关于直线x=-的对称点P'(-5,-4)在射线QM上. 设射线QM的表达式为y=mx+n. 将(-5,-4),代入, 得解得 ∴射线QM的表达式为y=x+12. 当x=-3时,y=×(-3)+12=≠2, ∴射线QM不经过点(-3,2). (2)当a=3时,点A(-3,3),点B(5,3),∴线段AB上的整数点有(-3,3),(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),共9个, 由条件可知点Q在(-2,3)和(-1,3)之间或在(3,3)和(4,3)之间, ∴将(-2,3)代入y=kx-4,得k=-, 将(-1,3)代入y=kx-4,得k=-7; 将(3,3)代入y=kx-4,得k=, 将(4,3)代入y=kx-4,得k=. ∴k的取值范围为-7<k<-或<k<. (3)满足条件的整数a的个数为2. 解析:由条件可得Q, 将代入直线l:y=kx-4, 得a=×k-4,解得k==2+. ∵k为正整数,a>-5且a为整数,且点Q为整数点, ∴可列表如下: 1 2 5 10 a 11 6 3 2 5 2.5 1 0.5 k 3 4 7 12 ∴满足条件的整数a的个数为2,分别是11和3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲　平面直角坐标系与函数 1.(2025·乐山)如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标是(　　) A.(-3,-2) B.(-3,2) C.(3,2) D.(3,-2) 2.长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点.如图,这是红一方面军的长征路线图,若表示吴起镇会师的点的坐标为(0,3),表示湘江战役的点的坐标为(1,-3),则表示会宁会师的点的坐标为(　　) A.(2,-1) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-3,2) 3.在平面直角坐标系中,直线l经过M(-1,2),N(1,-1)两点.现将直线l平移,使点M到达点(1,-2)处,则点N到达的点是(　　) A.(3,-5) B.(3,3) C.(-1,-5) D.(-1,3) 4.如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点 A的坐标为(　　) A.(-4,2) B.(-,4) C.(-2,4) D.(-4,) 5.新情境同学们一定听说过《乌鸦喝水》的寓言故事吧?故事讲述了一只乌鸦通过努力终于成功地喝到了水,告诉人们遇到困难不要放弃,终会看到胜利的曙光.假如乌鸦向图1的圆底瓶内匀速加入体积相同的小石块至图2状态停止(乌鸦恰好能喝到水).设加石块的时间为t(min),圆底瓶里水面的高度为h(cm),则h与t关系的图象大致是(　　) A B C D 6.(2025·唐山二模)点A(1,-5)关于原点的对称点坐标为　　　　.  7.若点P(m,1)在第二象限,则点B(-m+1,-1)必在第　　　　象限.  8.已知点M(-4,7),在平面直角坐标内有一点N满足条件MN∥x轴,且MN=5,则点N的坐标为　　　　　　　　　.  9.一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,在第1秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动(即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…),且每秒跳动一个单位,那么第36秒时跳蚤所在位置的坐标是　　　　.  10.在平面直角坐标系中,给出如下定义:点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”,点Q到x轴、y轴的距离相等时,称点Q为“完美点”. (1)点A(-3,5)的“长距”为　　　　.  (2)若点B(4-2a,-2)是“完美点”,求a的值. (3)若点C(-2,3b-2)的“长距”为4,且点C在第二象限内,点D的坐标为(9-2b,-5),试说明:点D是“完美点”. 1.如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点的个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 2.在平面直角坐标系中,将由点M(m,n)向点N的移动称为“交错移动”,例如,点(2,3)经过两次“交错移动”,先移动到点(-5,2),再移动到点.下列各点中,无论经过多少次“交错移动”,都在y轴左侧的是(　　) A.点 B.点 C.点 D.点 3.(2025·任丘模拟)如图是一个正六边形轨道示意图,机器人P(看成点)从顶点B出发,沿着轨道按逆时针方向匀速移动,其路线为B→C→D→E→F→A.若移动时间为x,由A,B,P三个点围成的三角形(阴影部分)的面积为y,则y与x关系的图象大致是(　　) A B C D 4.如图1,在长方形ABCD中,点P从点B出发,按B→C→D→A方向运动,开始以每秒m个单位匀速运动,a秒后变为每秒2个单位匀速运动,b秒后恢复原速匀速运动,在运动过程中,△ABP的面积S与运动时间t的关系如图2所示. (1)求BC的长. (2)直接写出m=　　　　,a=　　　　,b=　　　　.  (3)当点P运动到BC中点时,有一动点Q从点C出发,以每秒1个单位的速度沿C→D→A运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设点Q运动的时间为x秒,△BPQ的面积为y,求当0≤x≤4时,y与x之间的关系式. 【详解答案】 基础夯实 1.C 2.C　解析:如图,建立平面直角坐标系,表示会宁会师的点的坐标为(-1,2).故选C. 3.A　解析:∵点M(-1,2)平移后到达点(1,-2)处的方法是先向右平移2个单位,再向下平移4个单位,∴点N(1,-1)经过平移后到达的点的坐标是(3,-5).故选A. 4.C　解析:如图,∵点C的坐标为(3,4), ∴OC==5.∵四边形ABOC为菱形,∴AC=OC=5, ∴AD=AC-CD=AC-xC=5-3=2,∴顶点A的坐标为(-2,4).故选C. 5.B　解析:由容器的形状可知,水位上升速度应该是变慢—变快—直线上升,故选项B符合题意.故选B. 6.(-1,5)　解析:点A(1,-5)关于原点的对称点坐标为(-1,5). 7.四　解析:∵点P(m,1)在第二象限, ∴m<0.∴-m+1>0,故点B(-m+1,-1)必在第四象限. 8.(1,7)或(-9,7)　解析:设点N的坐标为(x,y),∵MN∥x轴,MN=5,点M(-4,7),∴y=7,|x+4|=5,解得x=1或-9,∴点N的坐标为(1,7)或(-9,7). 9.(6,0)　解析:跳蚤跳动的速度是每秒跳动一个单位,(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)用的秒数分别是1秒,2秒,3秒,到(2,0)用4秒,到(2,2)用6秒,到(0,2)用8秒,到(0,3)用9秒,到(3,3)用12秒,到(4,0)用16秒,…,可知当n为正整数时,到(2n,0)用(2n)2秒,到(0,2n-1)用(2n-1)2秒,以此类推,到(6,0)用36秒.则第36秒时跳蚤所在位置的坐标是(6,0). 10.解:(1)5 (2)∵点B(4-2a,-2)是“完美点”, ∴|4-2a|=|-2|, ∴4-2a=2或4-2a=-2, 解得a=1或a=3. (3)∵点C(-2,3b-2)的“长距”为4,且点C在第二象限内, ∴3b-2=4,解得b=2, ∴9-2b=5,∴点D的坐标为(5,-5), ∵点D到x轴、y轴的距离都是5, ∴点D是“完美点”. 能力提升 1.C　解析:到l1的距离为2的直线有2条,到l2的距离为1的直线有2条,这4条直线有4个交点,这4个交点就是“距离坐标”是(2,1)的点.故选C. 2.A　解析:设初始点P(a,b),根据题意可知 …, 由此可知,P4以后的点和前面的点开始重复.由条件可知a<0,-2b+1<0,-a-1<0,2b-2<0,∴-1<a<0,<b<1,则满足条件的为点.故选A. 3.A　解析:设点P运动的速度是1,AB=BC=CD=a,当点P在BC上时,过点P作PG⊥AB交AB的延长线于点G,如图1. 根据题意可知∠CBG==60°,则∠ABC=∠BCD=120°.在Rt△BPG中,∠PBG=60°,BP=x,∴PG=x, ∴y=AB·PG=a×x=ax.当点P在CD上时,过点P作PG⊥AB交AB的延长线于点G, 过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H,过点C作CI⊥PG于点I,如图2.根据题意可知CP=x-a,在Rt△BCH中,∠CBH=60°,BC=a, ∴CH=a,由条件可知四边形CIGH是矩形,∴IG=CH=a,根据正六边形的对称性知∠PCI=60°, 在Rt△PCI中,∠PCI=60°,PC=x-a, ∴sin∠PCI=,即PI=(x-a), ∴PG=PI+IG=(x-a)+a=x,∴y=AB·PG=a×x=ax.∴点P在BC和CD上运动时,变化趋势相同,都是正比例函数(经过原点的直线),随着时间x的增加,y也随之增大.当P在DE上运动时,△ABP的底不变,高不变,其面积也不变,∴随着时间x的增加,y不变.根据对称性可知点P在EF和FA上运动时,变化趋势相同,都是一次函数,随着时间x的增加,y也随之减小.综上所述,图象A符合题意.故选A. 4.解:(1)当5≤t≤7时,△ABP的面积不变,此时点P在CD上运动,速度为每秒2个单位, ∴AB=CD=2×2=4, 当5≤t≤7时,△ABP的面积为12, ∴×4×BC=12,∴BC=6. (2)1　4　9 解析:当t=a时,S=×4×BP=8,∴BP=4,∴CP=2,∴a=5-(2÷2)=4,∴m=1.当t=b时,S=×4×AP=4,∴AP=2,∴DP=4,∴b=7+(4÷2)=9. (3)由题意及(1)知BC=6,CD=4. 当0≤x≤1时,如图,BP=3+x,CQ=x, ∴y=BP·CQ=×(3+x)·x=x2+x; 当1<x≤2时,如图,BP=4+2(x-1)=2x+2,CQ=x, ∴y=BP·CQ=×(2x+2)·x=x2+x; 当2<x≤4时,如图,CP=2(x-2),CQ=x, ∴PQ=x-(2x-4)=4-x, ∴y=PQ·BC=×(4-x)·6=12-3x. ∴y= 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲　二次函数的实际应用 1.跨物理学科一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒,经过t秒时球的高度为h米,h和t满足公式:h=v0t-gt2(v0表示球弹起时的速度,g表示重力系数,取g=10米/秒2),则球不低于3米的持续时间是(　　) A.0.4秒 B.0.6秒 C.0.8秒 D.1秒 2.(2025·甘肃)如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+(x>0),则水流喷出的最大高度是(　　) A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m 3.跨生物学科(2025·山东七市)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象,下列结论正确的是(　　) A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小 B.当x=2 000时,y有最大值 C.当y≥0.6时,x≥1 000 D.当y=0.4时,x=600 4.如图是一款抛物线形落地灯筒示意图,防滑螺母C为抛物线支架的最高点,灯罩D距离地面 1.5 m,最高点C距灯柱的水平距离为1.6 m,灯柱AB=1.5 m,若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE为(　　) A.3.2 m B.0.32 m C.2.5 m D.1.6 m 5.(2025·河北模拟)如图,某公司的大门是一抛物线形建筑物,大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8 m,公司想在大门两侧距地面6 m处各安装一盏壁灯,两盏壁灯之间的距离为　　　　.  6.如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图2是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车　　　　完全停到车棚内.(填“能”或“不能”)  7.(2025·南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并完成相关问题. 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同 A型客车租车费用为3 200元/辆;B型客车租车费用为3 000元/辆. 优惠方案:租用A型客车m辆,租车费用为(3 200-50m)元/辆; 租用B型客车,租车费用打八折 租车公司最多提供8辆A型客车; 学校参加研学活动师生共有530人,租用A,B两种型号客车共10辆 (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 1.新情境(2025·石家庄裕华区模拟)一种高脚杯如图1所示,其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分,图2为其杯肚的截面图,已知杯口AB=8 cm,杯深CD=12 cm.如图3,若将盛有部分液体的高脚杯倾斜45°(即AB与液面FG所在直线相交,所夹较小角为45°),液面FG与CD交于点E,且点E距杯口AB的距离ED=7 cm,则此时液面宽FG为(　　) A.2 cm B. cm C. cm D. cm 2.(2025·邯郸模拟)如图是某船停在水上的示意图.此船轮廓线可以看作是抛物线的一部分,船的吃水宽度OA=20米,最大吃水深度为 米,船头B高出水面2米.建立如图所示的平面直角坐标系xOy.在船的前方距离O点40米处,有直立的固定标志杆,标志杆高CD=10米. (1)求船轮廓线所在抛物线的解析式及点B的坐标. (2)在点B处发射一个小球,此时小球所走路线是抛物线y=m(x-32)2+10的一部分,问:小球能否砸到标志杆?请通过计算加以说明. (3)若水面上涨2米,小船也随之上涨,标志杆固定不变.把小船向右移动n米(没有到达标志杆位置),然后再按(2)中的方式发射小球,若小球在落水前未砸中标志杆,直接写出n的取值范围. 【详解答案】 基础夯实 1.A　解析:∵v0=8,g=10,∴h=8t-5t2,将h=3代入h=8t-5t2得3=8t-5t2,解得t1=0.6,t2=1,∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4(秒).故选A. 2.B　解析:y=-x2+2x+=-(x-1)2+1+=-(x-1)2+,∵-1<0,∴当x=1时,y取最大值,最大值为,即水流喷出的最大高度为2.75 m.故选B. 3.B　解析:A.当x≥1 000时,y随x的增大先增大,后减小,故A选项错误,不符合题意;B.∵抛物线过点(1 000,0.6), (3 000,0.6),∴抛物线的对称轴为直线x==2 000,∵抛物线的开口向下,∴当x=2 000时,y有最大值,故B选项正确,符合题意;C.由题图可得当y=0.6时,x1=1 000,x2=3 000,∴当y≥0.6时,1 000≤x≤3 000,故C选项错误,不符合题意;D.由题图可得当y=0.4时,x对应的值有2个,故D选项错误,不符合题意.故选B. 4.A　解析:解法一:∵AB=DE=1.5 m,∴点B与点D关于对称轴对称,∴AE=2×1.6=3.2(m).故选A. 解法二:如图所示,以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系, 根据题意知,抛物线的顶点C的坐标为(1.6,2.5),设抛物线的解析式为y=a(x-1.6)2+2.5,将点B(0,1.5)代入得2.56a+2.5=1.5,解得a=-,∴抛物线的解析式为y=-(x-1.6)2+2.5,当y=1.5时,-(x-1.6)2+2.5=1.5,解得x=0(舍去)或x=3.2,所以茶几到灯柱的距离AE为3.2 m.故选A. 5.4 m　解析:建立平面直角坐标系如图, ∵大门的地面宽度和大门最高点离地面的高度都是8 m,∴抛物线的顶点坐标为(0,8),设抛物线解析式为y=ax2+8,∵抛物线过点(4,0),∴0=16a+8,解得a=-,∴y=-x2+8,把y=6代入y=-x2+8,解得x=±2,两盏壁灯之间的距离为2-(-2)=4(m). 6.能　解析:∵CD=4 m,B(6,2.68),∴6-4=2,在y=-0.02x2+0.3x+1.6中,当x=2时,y=-0.02×22+0.3×2+1.6=2.12, ∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内. 7.解:(1)设A型客车每辆载客量为x人,则B型客车每辆载客量为(x-15)人, 根据题意得, 解得x=60, 经检验,x=60是所列方程的解,且符合题意, ∴x-15=60-15=45(人). 答:A型客车每辆载客量为60人,B型客车每辆载客量为45人. (2)设租用A型客车m辆,则租用B型客车(10-m)辆, 根据题意得60m+45(10-m)≥530, 解得m≥, 设本次研学活动学校的租车总费用为w元,则w=(3 200-50m)m+3 000×0.8(10-m)=-50m2+800m+24 000, ∵抛物线的对称轴为直线m= -=8, ∴m≤8时,w随着m的增大而增大, ∵m取正整数,且m≥, ∴当m=6时,w取得最小值,最小值为-50×62+800×6+24 000=27 000(元). 答:本次研学活动学校的最少租车费用是27 000元. 能力提升 1.C　解析:由题意,建立如图所示平面直角坐标系,作FH⊥AB于点H,作GQ⊥FH于点Q,∴∠QGF=45°. ∴A(-4,12),B(4,12),C(0,0),D(0,12),E(0,5).设抛物线的解析式为y=ax2,把点A的坐标代入解析式,得12=a×(-4)2, ∴a=,∴y=x2.∵∠QGF=45°,点E的坐标为(0,5),易知直线FG与x轴的交点为(-5,0), ∴设FG所在直线解析式为y=kx+b. 又∵图象过点(0,5),(-5,0),∴y=x+5,令x2=x+5,∴3x2-4x-20=0,∴x1=,x2=-2. ∴FG=|x1-x2|= (cm).故选C. 2.解:(1)由题意,设船轮廓线所在抛物线的解析式为y=a(x-10)2-, 将O(0,0)的坐标代入,得0=a×(0-10)2-,∴a=. ∴船轮廓线所在抛物线的解析式为y=(x-10)2-,即y=x2-x,把y=2代入抛物线解析式,得2=x2-x, ∴x1=24,x2=-4(舍去). ∴B(24,2). (2)由题意,将点B(24,2)的坐标代入y=m(x-32)2+10,得2=m×(24-32)2+10, ∴m=-. ∴y=-(x-32)2+10. ∴当x=40时,y=-×(40-32)2+10=2. ∴小球能砸到标志杆. (3)4<n<12. 解析:∵水面上涨2米,小船再向右移动n米, ∴小球所走路线所在抛物线的解析式为y=-(x-32-n)2+12. ∵抛物线经过点(40,10), ∴10=-(40-32-n)2+12. ∴n1=4,n2=12, ∴4<n<12. 学科网（北京）股份有限公司 $