2026年中考数学一轮复习考点探究基础练 （河北） 第六章　圆

第三讲　弧长、扇形面积的相关计算 1.(2025·绥化)在☉O中,如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm,那么☉O的半径是(　　) A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 2.已知某建筑物的顶端为圆锥形(如图),为了美观,要在圆锥形建筑上装饰一条灯带,灯带自点B处开始绕侧面一周又回到点B,若这个圆锥形建筑物的底面圆周长为40π cm,母线AB的长为60 cm,则这条灯带的最短长度是(　　) A.40 cm B.60 cm C.30 cm D.60 cm 3.(2025·山西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别以点B,C为圆心,BC的长为半径画弧,与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为(　　) A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.4π-8 4.如图,在扇形纸片OAB中,OA=10,∠AOB=90°,OA在桌面内的直线l上,将扇形OAB沿l按顺时针方向旋转(旋转过程中无滑动),当OB第一次落在l上时,停止旋转,则旋转过程中点O所经过的路线长为(　　) A.10π B.12π C.15π D.20π 5.(2025·河北模拟)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,CD平分∠ACB,已知∠A=30°,AB=4,则图中阴影部分的面积是(　　) A.+π B.+π-1 C. D.+1 6.(2025·承德兴隆县一模)如图,在扇形AOB中,∠AOB=80°,半径OA=3,C是上一点,连接OC,D是OC上一点,且OD=DC,连接BD,若BD⊥OC,则的长为(　　) A. B. C. D.π 7.(2025·长春)扇形的面积是它所在圆的面积的,这个扇形的圆心角的大小是　　　　°.  8.(2025·石家庄二模)一无盖纸杯如图1所示,经测量:杯口直径AB=6 cm,杯底直径CD=4 cm,杯壁AC=BD=6 cm.纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分(如图2实线部分所示,忽略拼接部分),则它所对的圆心角的度数为　　　　.  9.如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,FB的长为半径作,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆半径为　　　　.  10.(2025·沧州盐山县模拟)如图,在扇形AOB中,OA=2,∠AOB=90°,点C为的三等分点,D为OA上一动点,连接DC,DB.当DC+DB的值最小时,图中阴影部分的面积为　　　　.(结果保留π)  11.(2025·辽宁)如图,在△ABC中,AC=BC,以AB为直径作☉O,与AC相交于点D.连接OC,与☉O相交于点E. (1)如图1,连接DE,求∠ADE的度数. (2)如图2,若点D为AC的中点,且AC=6,求的长. 1.数学文化(2025·沧州盐山县模拟)斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”.如图给出了它的画法:以斐波那契数1,1,2,3,5,…为边的正方形依序拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧,这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线,则图中的长为(　　) A.π B.π C.π D.π 2.跨地理学科(2025·湖南)如图,北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°),东经116°,三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°),东经116°.设地球的半径约为R千米,则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为(　　) A.πR千米 B.πR千米 C.πR千米 D.πR千米 3.如图,在5×3的网格图中,每个小正方形的边长均为1,A,B,C,D是四个格点,经过A,B,C三点的圆弧与BD交于点E. 结论Ⅰ:E是线段BD的中点,同时也是的中点; 结论Ⅱ:阴影部分的面积为π-. 对于结论Ⅰ和Ⅱ,下列判断正确的是(　　) A.Ⅰ和Ⅱ都对 B.Ⅰ和Ⅱ都不对 C.Ⅰ不对Ⅱ对 D.Ⅰ对Ⅱ不对 4.(2025·青岛)如图,在扇形AOB中,∠AOB=30°,OA=2,点C在OB上,且OC=AC.延长CB到D,使CD=CA.以CA,CD为邻边作平行四边形ACDE,则图中阴影部分的面积为　　　　.(结果保留π)  【详解答案】 基础夯实 1.A　解析:设☉O的半径是r cm,∴=2.5π,∴r=6,∴☉O的半径是6 cm.故选A. 2.D　解析:如图,扇形BAB1为圆锥的侧面展开图,连接BB1, 设∠BAB1=n°,∵圆锥形建筑物的底面圆周长为40π cm,母线AB的长为60 cm, ∴40π=,解得n=120,即∠BAB1=120°,∵AB=AB1, ∴∠ABB1=∠AB1B=30°,过点A作AD⊥BB1于点D,∴∠ADB=90°,∵AB=60 cm,∴AD=30 cm,BD=30 cm, ∵AB=AB1,AD⊥BB1,∴B1D=BD=BB1,∴BB1=60 cm.故这条灯带的最短长度为60 cm.故选D. 3.D　解析:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°,∵BC=4,∴AB=AC=BC=2, ∴S阴影=2(S扇形BCD-S△ABC)=2×2×2=4π-8.故选D. 4.C　解析:旋转过程分为三个阶段,第一阶段扇形OAB绕点A顺时针旋转90°,点O经过的路线是以OA为半径的圆;第二阶段点O向右平移,平移长度为的长;第三阶段扇形OAB绕点B顺时针旋转90°,点O经过的路线是以OB为半径的圆.∵以OA为半径的圆的弧长=以OB为半径的圆的弧长=的长=×10=5π,∴旋转过程中点O所经过的路线长为3×5π=15π.故选C. 5.B　解析:连接OD,BD,过点B作BE⊥DC于点E,如图所示, ∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=45°,△BCE为等腰直角三角形,∵∠A=30°,AB=4, ∴BC=2,∴CE=BE=,∵∠CDB=∠A=30°,∴BD=2BE=2,∴DE=, ∴S△BCD=×CD×BE=×()×=1+.∵OB2+OD2=22+22=8=BD2,∴∠BOD=90°, ∴S弓形BD=S扇形OBD-S△OBD=×2×2=π-2,故S阴影=S△BCD+S弓形BD=+π-1.故选B. 6.B　解析:如图,连接BC, ∵OD=DC, BD⊥OC,∴BC=OB,∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,∴∠BOC=60°,∵∠AOB=80°,∴∠AOC=20°,∴的长为.故选B. 7.240 8.60°　解析:设圆心角的度数为n°,根据EM=6 cm,可得=6,解得n=60. 9.　解析:∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠BAF=∠AFE=∠E==120°,AB=AF=EF=DE=6,∴∠AFB=∠ABF=×(180°-120°)=30°,∠EFD=∠EDF=×(180°-120°)=30°,∴∠BFD=120°-2×30°=60°.过点A作AG⊥BF于点G,如图,则BF=2FG=2AF·cos 30°=2×6×=6.设圆锥的底面圆半径为r,则2πr=×6,∴r=. 10.π-　解析:如图,作点B关于OA的对称点E,则点E在☉O上, OB=OE=OA=2,连接EC交OA于点D,则DE=DB,此时DC+DB的值最小.∵∠AOB=90°,点C为的三等分点,∴∠BOC=60°,∴∠BED=30°,∴OD=OE=,过点C作CF⊥OB于点F,∴CF=OC=, ∴S△OEC=OE·CF=×2×.∵S扇形OBC=π,S△BED=BE·OD=×4×, ∴S阴影=S△OEC+S扇形OBC-S△BED=π-π-. 11.解:(1)连接OD,如图. 在△OAC和△OBC中, ∴△OAC≌△OBC(SSS), ∴∠AOC=∠BOC, ∵∠AOC+∠BOC=180°, ∴∠AOC=∠BOC=90°. ∵OA=OD=OE, ∴∠OAD=∠ODA,∠ODE=∠OED, 设∠OAD=∠ODA=x,∠ODE=∠OED=y, 在四边形OADE中,∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC=360°, ∴x+x+y+y+90°=360°, ∴∠ADE=∠ADO+∠ODE=x+y=135°. (2)连接OD,如图. ∵∠AOC=90°,D为AC的中点, ∴OD=AD=AC=×6=3, ∴OD=OA=AD=3, ∴△ADO为等边三角形, ∴∠AOD=60°, ∴∠DOE=90°-60°=30°, ∴的长为π. 能力提升 1.C　解析:的长=π.故选C. 2.C　解析:∵∠AOC=40°,∠BOC=15°,∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=40°-15°=25°,∴×πR=πR(千米). ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米.故选C. 3.A　解析:连接EA,AD,AB,如图. 由勾股定理得AD=,AB=,DB=,∴AD2+AB2=DB2,AD=AB, ∴△DAB是等腰直角三角形.∵∠ACB=90°,∴AB是所在圆的直径.∴∠AEB=90°,∴BE⊥AE,∴AE=DE=BE,∴.∴E是线段BD的中点,同时也是的中点,∴∠ABE=∠BAE=45°.∴所对的圆心角为90°, ∴S阴影=,∴Ⅰ和Ⅱ都对.故选A. 4.3-π　解析:如图,过点A作AH⊥OD于点H, ∵∠AOB=30°,OA=2,∴AH= OA=,∵OC=AC,∴∠OAC=∠AOB=30°,∴∠ACB=30°+30°=60°,∴∠CAH=30°,∴AC=2CH,设CH=x,则AC=2x,在Rt△ACH中,由勾股定理得,x2+()2=(2x)2,解得x=1(负值舍去),即CH=1,AC=2,∴CD=CA=OC=2, ∴S阴影=S△AOC+S▱ACDE-S扇形AOB=×2×+2×+2-π=3-π. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲　圆的基本性质 1.(2025·重庆)如图,点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,∠C的度数是(　　) A.40° B.50° C.80° D.100° 2.(2025·长沙)如图,AC,BC为☉O的弦,连接OA,OB,OC.若∠AOB=40°,∠OCA=30°,则∠BCO的度数为(　　) A.40° B.45° C.50° D.55° 3.如图,☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,OM∶OC=3∶5,则AB的长为(　　) A.8 B.12 C.16 D.2 4.如图,四边形ABCD内接于☉O,BD为☉O的直径.若AB=AC,∠ACB=70°,则∠CBD=(　　) A.40° B.50° C.60° D.70° 5.如图,△ACB内接于☉O,AB是☉O的直径,点E是圆上一点,连接CE,BE,=2,∠CBA=42°,则∠BCE的度数为(　　) A.24° B.29° C.48° D.58° 6.如图,已知AD是☉O的直径,B,C,E是☉O上的三个点,连接BC,CD,BE,AE,∠BCD=125°,则∠AEB的度数为(　　) A.55° B.50° C.45° D.35° 7.如图,AB为☉O的直径,C为圆上一点,M为劣弧AC上一点,将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折,翻折后点M恰好与圆心O重合,则∠B的度数为(　　) A.50° B.55° C.60° D.65° 8.如图,在☉O中,AB是直径,AC是弦,D是的中点,DG⊥AB于点G,交AC于点E,BD交AC于点F,下列结论一定正确的有(　　) ①∠DAE=∠GAE;②DE=EF;③AC=2DG;④若tan∠BAC=,则. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.(2025·长沙)如图,AB为☉O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,OB,若AB=OA,AC=3,则OA的长为　　　　.  10.(2025·常州)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦.若∠DCB=45°,AD=1,则AB=　　　　.  11.(2025·资阳)如图,在正六边形ABCDEF中,AB=2,连接AC,AE,以点D为圆心,CD的长为半径作,则图中阴影部分的面积是　　　　.  12.(2025·保定二模)如图,已知AB为☉O的直径,AB=5,弦CD⊥AB于点F,E是☉O上一点,C是的中点,连接DE交AB于点G,连接AC,CG,AD. (1)求证:AF=FG. (2)判断四边形ACGD的形状,并求出当BG=3时,四边形ACGD的面积. 1.(2025·广元)如图,CD是☉O的弦,过圆心O作OA⊥CD于点H,交☉O于点A,OH∶HA=3∶2,点M是上异于C,D的一点,连接CM,DM,则sin∠CMD的值是(　　) A. B. C. D. 2.(2025·南充)如图,AB是☉O的直径,AD⊥AB于点A,OD交☉O于点C,AE⊥OD于点E,交☉O于点F,F为的中点,P为线段AB上一动点,若CD=4,则PE+PF的最小值是(　　) A.4 B.2 C.6 D.4 3.(2025·南通)在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心,为半径作☉A,直线y=kx-3k+2与☉A交于B,C两点,则BC的最小值为　　　　.  4.(2025·邯郸二模)如图是放于水平桌面上的带底座的鱼缸,其主体部分的纵截面是弓形AMB,开口部分AB与桌面平行,将一玻璃棒斜放进鱼缸(鱼缸内无水),使玻璃棒底端恰在的中点M处,发现AM=AB,将玻璃棒竖立起来(MN⊥AB)时,测得MN=37.5 cm. (1)求∠BAM的度数,并求AB的长. (2)求的长. (3)若向鱼缸内加水,使水面的宽度为48 cm,求鱼缸内水的深度. 【详解答案】 基础夯实 1.B　解析:∵∠AOB和∠C所对的弧都为,∴∠C=∠AOB=×100°=50°.故选B. 2.C　解析:∵∠AOB=40°,∴∠ACB=∠AOB=20°,∵∠OCA=30°,∴∠BCO=∠OCA+∠ACB=50°.故选C. 3.C　解析:连接OB,如图. ∵☉O的直径CD=20,AB是☉O的弦,AB⊥CD,∴OB=OC=CD=10,AB=2BM,∵OM∶OC=3∶5,∴OM=OC=6, ∴BM==8, ∴AB=2BM=16.故选C. 4.B　解析:∵AB=AC,∠ACB=70°, ∴∠ABC=∠ACB=70°,∴∠BAC=180°-70°×2=40°,∴∠BDC=∠BAC=40°,∵BD为☉O的直径, ∴∠BCD=90°,∴∠CBD=90°-40°=50°.故选B. 5.A　解析:如图,连接OC,OE, ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠CBA=42°,∴∠CAB=90°-∠CBA=48°,∴∠BOC=2∠CAB=96°,∵=2,∴∠BOE=∠BOC=48°,∴∠BCE=∠BOE=×48°=24°.故选A. 6.D　解析:连接DE,如图. ∵四边形BCDE内接于☉O,且∠BCD=125°,∴∠BED=180°-∠BCD=55°, ∵AD是☉O的直径,∴∠AED=90°, ∴∠AEB=90°-∠BED=90°-55°=35°.故选D. 7.C　解析:连接OC,OM,AM,CM,如图. ∵OC=OA,∴,由翻折得,∴AM=AO=MO,∴△AMO为等边三角形,∴∠AOM=60°, ∴∠MOC=∠AOM=60°,∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=120°, ∴∠B=∠AOC=60°.故选C. 8.C　解析:∵点D是的中点,点C不一定是的中点,∴∠DAE=∠GAE不一定成立,故①不一定正确;连接BC,如图1: ∵AB为☉O的直径,DG⊥AB, ∴∠BGD=∠ACB=90°,又∵,∴∠ABD=∠CBD,∴∠BFC=∠BDG, 又∵∠BFC=∠AFD,∴∠BDG=∠AFD,∴DE=EF,故②正确;延长DG交☉O于H,连接AH,如图2: ∵,∴,∴DH=AC,∵AB为☉O的直径,DH⊥AB,∴DH=2DG,∴AC=2DG,故③正确; ∵,∴∠ADH=∠DAC,∴AE=DE,在Rt△AEG中,tan∠BAC=,∴可设EG=3a,AG=4a,由勾股定理得AE==5a,∴AE=DE=5a,∴DG=DE+EG=5a+3a=8a,在Rt△ADG中,由勾股定理得AD==4a,∵,∴∠ADG=∠CBD,∵DG⊥AB,AB是☉O的直径,∴∠AGD=∠FCB= 90°,∴△AGD∽△FCB,∴,∴,故④正确.综上所述,一定正确的结论是②③④,共3个.故选C. 9.6　解析:∵OC⊥AB于点C,∴AB=2AC=2×3=6,∴OA=AB=6. 10.　解析:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵∠DCB=45°,∴∠DAB=∠DCB=45°, ∴∠ABD=90°-∠DAB=45°,∴BD=AD=1,∴AB=. 11.4　解析:连接AD,如图. ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BCD=∠CDE=∠B=120°,AB=BC=CD=2,∴∠BCA=30°,∠CDA=∠EDA=60°,∴∠ACD=90°,∴∠CAD=30°,∴AD=2CD=4,∴AC==2,∴S阴影=2S△ACD-S扇形DCE=2××2×2=4. 12.解:(1)证明:由条件可知CF=DF,, ∵C是的中点, ∴,∴, ∴∠ACD=∠CDE, 又∵CF=DF,∠AFC=∠GFD, ∴△ACF≌△GDF(ASA), ∴AF=FG. (2)∵CF=DF,AF=FG, ∴四边形ACGD是平行四边形, ∵CD⊥AB, ∴▱ACGD是菱形. 连接OC,如图, 由条件可知AG=AB-BG=5-3=2,OA=OC=AB=, ∴OF=OA-AF=OA-AG=×2=, ∴CF== =2, ∴CD=2CF=2×2=4, ∴S菱形ACGD=×AG×CD=×2×4=4. 能力提升 1.B　解析:连接OD,如图, 由条件可知,∴∠COA=∠DOA,∴∠COA=∠COD.∵∠CMD=∠COD,∴∠CMD=∠COA,设OH=3x,则OC=5x,CH==4x,∴sin∠COA=,∴sin∠CMD=sin∠COA=.故选B. 2.C　解析:如图,延长DO交☉O于点M,连接PE,PM,PF,OF, ∵AE⊥OD于点E,交☉O于点F,F为的中点,∴,∴∠AOC= ∠COF=∠BOF.∵∠AOC+∠COF+ ∠BOF=180°,∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°,∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF,∴点F关于AB的对称点为点M,∴PM=PF,∴PE+PF=PE+PM≥EM,当E,P,M三点共线时,PE+PF最小,最小值为EM的长.∵∠AOC=60°,AD⊥AB,∴∠D=30°,∴OD=2OA,∵CD=4,∴OD=OC+4=2OA=2OC,即OC=4,∴OC=OA=OB=OM=OF=4, ∵AF⊥OC,∠AOC=60°,∴∠OAE=30°, ∴OE=OA=2,∴PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6.故选C. 3.6　解析:∵y=kx-3k+2=k(x-3)+2,当x=3时,y=2,∴直线y=kx-3k+2过定点P(3,2),∵点A(3,0), ∴AP==2,又∵☉A的半径为,AP<, ∴点P在☉A内部,根据垂径定理得:当直线y=kx-3k+2与AP垂直时,BC最小,如图所示: 则BP=CP,∴BC=2BP,在Rt△ABP中,AB=,AP=2,由勾股定理得BP==3, ∴BC=2BP=6,即BC的最小值为6. 4.解:(1)如图,设圆心为O,连接OA,OB,BM. ∵点M是的中点, ∴, ∴AM=BM, ∵AM=AB, ∴AM=BM=AB, ∴△ABM是等边三角形, ∴∠BAM=∠AMB=60°, AO平分∠MAB, ∴∠OAM=∠OAN=30°, ∴OA=OM=2ON, ∴OA=OM=MN=25 cm, ∵ON⊥AB, ∴AN=BN=OA·cos 30°=25×(cm), ∴AB=25 cm. (2)∵∠AOB=2∠AMB=120°, ∴的长=(cm). (3)由题意点O到水面的距离为=7(cm), ∴水的深度为25+7=32(cm), 或25-7=18(cm), ∴水面的宽度为48 cm时,鱼缸内水的深度为32 cm或18 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲　与圆有关的位置关系 1.(2025·邯郸模拟)已知直线l与☉O相交,点P在直线l上,若点P到点O的距离等于☉O的半径,则点P的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.3个以上 2.(2025·河北模拟)如图,点P1~P8是☉O的八等分点,直线MN与☉O相切于点P5,连接P5P6,则 ∠P6P5M的度数为(　　) A.20° B.22.5° C.25° D.30° 3.(2025·自贡)PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,点C在☉O上,不与点A,B重合.若∠P=80°,则 ∠ACB的度数为(　　) A.50° B.100° C.130° D.50°或130° 4.(2025·沧州盐山县模拟)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,且AD=BC,过点D作☉O的切线交BA的延长线于点E,连接OB,OC,若∠BOC=64°,则∠ADE的度数为(　　) A.32° B.36° C.26° D.32.5° 5.(2025·石家庄三模)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠BAC=40°,点I是△ABC的内心,BI的延长线交☉O于点D,连接AD,则∠CAD的度数为(　　) A.35° B.30° C.25° D.20° 6.(2025·石家庄新华区一模)如图,点O为△ABC的外心,连接OC,作正方形OCDE.下列结论不一定正确的是(　　) A.点O在边AB的垂直平分线上 B.点O为△ABE的外心 C.CO平分∠ACB D.直线DE与△ABC的外接圆相切 7.如图,☉M的半径为4,圆心M的坐标为(6,8),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A、点B关于原点O对称,则AB的最大值为(　　) A.13 B.14 C.12 D.28 8.(2025·宁夏)如图,☉O是△ABC的内切圆,∠A=54°,则∠BOC=　　　　°.  9.跨地理学科(2025·北京)如图,☉O是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别表示北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时,太阳光线GD所在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为　　　　°.  10.(2025·邯郸峰峰矿区模拟)如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,已知AF=6,CF=5,AD=3BD,则△ABC的周长为　　　　.  11.(2025·唐山二模)如图,☉O为△ABC的外接圆,其中∠B=50°,点I为△ABC的内心,连接AI并延长交☉O于点D,连接IC,CD,则∠ICD=　　　　°.  12.(2025·保定模拟)如图,半圆O与直线AB相切于点B,BC为半圆O的直径,OB=2.P为直线AB上的一动点,过点P作射线PQ,∠QPB=60°,射线PQ随点P的移动而平移. (1)如图1,移动点P,使得射线PQ与半圆O交于点D,E,连接OD,OE.当OD∥AB时,求的长. (2)如图2,移动点P,使得射线PQ经过点C,射线PQ与半圆O交于另一点F,求CF的长. 1.(2025·河北模拟)如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=40°,点D在BC边上(不与点B,C重合),点O为△ADC的内心,当△ABD为钝角三角形时,α<∠AOC<β,则α和β的值分别为(　　) A.α=110°,β=130° B.α=100°,β=135° C.α=110°,β=135° D.α=100°,β=130° 2.如图,直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC相切,圆心O在边AB上,若∠C=90°,AC=6,BC=8,P,Q分别为BC与半圆弧上的动点,则PQ的最大值和最小值之积为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·南充)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,以CD为直径的☉O交BC于点E,交AC于点F,M为线段DB上一点,ME=MD. (1)求证:ME是☉O的切线. (2)若CF=3,sin B=,求OM的长. 【详解答案】 基础夯实 1.B　解析:∵直线l与☉O相交,∴直线l与☉O有两个公共点,且这两个公共点到点O的距离等于☉O的半径,即点P的个数为2.故选B. 2.B　解析:如图,连接OP5,OP6, ∵点P1~P8是☉O的八等分点,∴∠P5OP6=×360°=45°,OP5=OP6,∴∠OP6P5=∠OP5P6=×(180°-45°)=67.5°. ∵直线MN与☉O相切于点P5,∴∠OP5M=90°, ∴∠P6P5M=∠OP5M-∠OP5P6=90°-67.5°=22.5°.故选B. 3.D　解析:连接OA,OB,如图. ∵PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,∴OA⊥PA,OB⊥PB, ∴∠OAP=∠OBP=90°,∴∠AOB=180°-∠P=180°-80°=100°, 当点C在优弧AB上时,∠ACB=∠AOB=×100°=50°, 当点C'在劣弧AB上时,∠AC'B=180°-50°=130°.综上所述,∠ACB的度数是50°或130°.故选D. 4.A　解析:连接OA,OD,如图. ∵AD=BC,∴,∴∠AOD=∠BOC=64°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=×(180°-∠AOD)=×(180°-64°)=58°.∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADE=∠ODE-∠ODA=90°-58°=32°.故选A. 5.C　解析:∵点I是△ABC的内心,∴∠ABD=∠CBD,∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°, ∵∠BAC=40°,∴∠ABC=180°-90°-40°=50°,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°,∴∠CAD=∠CBD=25°.故选C. 6.C　解析:连接OA,OB(图略),∵点O为△ABC的外心,∴OA=OB=OC,∴点O在边AB的垂直平分线上,故A不符合题意;∵四边形OCDE是正方形,∴OC=OE,∴OA=OB=OE,∴点O为△ABE的外心,故B不符合题意; ∵OA=OB=OE=OC,∴点E在△ABC的外接圆上,又∵OE⊥DE,∴直线DE与△ABC的外接圆相切,故D不符合题意;∵点O为△ABC的外心,∴CO不一定平分∠ACB,故C符合题意.故选C. 7.D　解析:连接PO,如图. ∵PA⊥PB,∴∠APB=90°,∵点A、点B关于原点O对称,∴AO=BO,∴AB=2PO,若要使AB取得最大值,则PO需取得最大值,连接OM并延长,交☉M于点P',当点P位于P'位置时,OP'取得最大值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=6,MQ=8,∴OM=10,又∵MP'=r=4,∴OP'=OM+MP'=10+4=14,∴AB=2OP'=2×14=28.故选D. 8.117　解析:∵☉O是△ABC的内切圆, ∴∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∵∠A=54°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°, ∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-×126°=117°. 9.43　解析:∵∠DOB=∠FOB=23.5°, ∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°, ∵GD∥HF,∴∠OFH=180°-∠DOF=180°-47°=133°,∵FI是☉O的切线,∴OF⊥FI,∴∠OFI=90°, ∴∠IFH=133°-90°=43°. 10.26　解析:∵☉O是△ABC的内切圆,且AF=6,CF=5,∴AD=AF=6,CE=CF=5,BE=BD,∵AD=3BD, ∴BE=BD=AD=2,∴△ABC的周长为AB+BC+AC=AF+CF+CE+BE+BD+AD=26. 11.65　解析:∵☉O为△ABC的外接圆,其中∠B=50°,点I为△ABC的内心,∴AI,CI分别平分∠BAC,∠BCA, ∴∠BCD=∠BAD=∠CAD=∠BAC,∠ACI=∠BCI=∠ACB, ∴∠IAC+∠ICA=(180°-∠B)=65°,∴∠AIC=180°-(∠IAC+∠ICA)=115°.∵∠ADC=∠B=50°, ∴∠ICD=∠AIC-∠ADC=65°. 12.解:(1)∵OD∥AB,∴∠QDO=∠QPB=60°.∵OE=OD,∴△EOD为等边三角形,∵OB=2,∴的长=. (2)连接FB,如图, ∵∠QPB=60°,半圆O与直线AB相切于点B,∴∠CBP=90°,∴∠PCB=180°-∠CPB-∠CBP=180°-60°-90°=30°, ∵BC为半圆O的直径,∴∠CFB=90°,BC=2OB=4,∴CF=BCcos 30°=4×=2. 能力提升 1.C　解析:∵BA=BC,∠B=40°,∴∠BAC=∠ACB=×(180°-40°)=70°.∵O为△ADC的内心, ∴∠OAC=∠DAC,∠OCA=∠ACB=35°,∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=145°-∠DAC. ∵点D在线段BC上(不与点B,C重合),∴0°<∠DAC<70°,∴0°<∠DAC<35°,∴110°<∠AOC<145°, ∵∠ADC=∠B+∠BAD=40°+∠BAD,∠ADB>90°,∴40°<∠ADC<90°,∴90°<∠DAC+∠DCA<140°, ∴45°<(∠DAC+∠DCA)<70°,∴110°<∠AOC<135°.综上,110°<∠AOC<135°,∴α=110°,β=135°.故选C. 2.B　解析:设半圆O与Rt△ABC的边AC相切的切点为D,连接OD,过点O作OF⊥BC于点F,交半圆O于点E,如图所示: ∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10,∵直径为2的半圆O与Rt△ABC的边AC相切于点D, ∴OD⊥AC,OD=1,∴△ADO∽△ACB,∴,∴AO=,∴BO=. ∵OF⊥BC,∴△BOF∽△BAC,∴,∴OF=. 当点P与点F重合,点Q与点E重合时,PQ取得最小值,最小值为-1=, 当点P与点B重合,且Q也在线段AB上时,PQ取得最大值,最大值为+1=, ∴PQ的最大值和最小值之积为.故选B. 3.解:(1)证明:连接OE,如图. ∵CD为☉O的直径,点E在☉O上, ∴OD=OE=OC, 在△OME和△OMD中, ∴△OME≌△OMD(SSS), ∴∠OEM=∠ODM. ∵CD⊥AB,∴∠ODM=90°, ∴∠OEM=90°,即OE⊥ME. 又∵OE是☉O的半径, ∴ME是☉O的切线. (2)连接DF,如图. ∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠A+∠B=90°,∠A+∠DCF=90°, ∴∠B=∠DCF, ∵sin B=,∴sin∠DCF=, ∵CD为☉O的直径, ∴∠DFC=90°, 在Rt△DCF中,sin∠DCF=, 设DF=4x,则CD=5x, 由勾股定理得CF==3x, ∵CF=3,∴3x=3, 解得x=1, ∴CD=5x=5, ∴OD=CD=. 由(1)可知△OME≌△OMD, ∴∠EOM=∠DOM, ∴∠DOE=∠EOM+∠DOM=2∠DOM, ∵OE=OC,∴∠OEC=∠OCE, ∵∠DOE是△OCE的外角, ∴∠DOE=∠OEC+∠OCE=2∠OCE, ∴2∠DOM=2∠OCE, ∴∠DOM=∠OCE, ∴OM∥BC,∴∠OMD=∠B, ∴sin∠OMD=sin B=, 在Rt△ODM中,sin∠OMD=, ∴,∴OM=. 学科网（北京）股份有限公司 $