2026年中考数学一轮复习考点探究基础练 （河北） 第二章　方程(组)与不等式(组)

第四讲　一元一次不等式(组)及其应用 1.语句“x的2倍与-1的和是正数”可以表示为(　　) A.2x+1>0 B.2x-1>0 C.2x+1≥0 D.2x-1≥0 2.(2025·吉林)不等式x-3>2的解集为(　　) A.x>5 B.x<5 C.x>-1 D.x<-1 3.(2025·福建)不等式x+1≤2的解集在数轴上表示正确的是(　　) A B C D 4.(2025·沧州盐山县模拟)不等式组的解集在数轴上表示为(　　) A B C D 5.(2025·秦皇岛青龙县一模)下列各数满足不等式1<2x-3≤3的是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.(2025·邯郸丛台区四模)关于x的不等式2x-m≤-1的解集如图所示,则m的值是(　　) A.3 B.-3 C.2 D.-2 7.(2025·宜宾)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛,共有20道题,对每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,则他至少要答对的题数是(　　) A.14道 B.13道 C.12道 D.11道 8.新情境(2025·保定二模)电影《刘三姐》中有这样一个场景,罗秀才唱道:把300条狗分成4群,每个群里狗的数量都是奇数.其中一个群狗的数量少,另外三个群狗的数量多且数量相同.问:“应该如何分?”刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出一种答案:“99条打猎去,99条看羊来,99条守门口,剩下3条给财主.”设数量少的狗群中有狗x条,则正确的是(　　) A.数量多的狗群每个群有狗(300-x)条 B.依题意得≥x C.x有最小值,但没有最大值 D.x=3是正确解,但不是唯一解 9.(2025·常州)若,则x-y　　　　0.(填“>”“<”或“=”)  10.(2025·宿迁)点P(1,a+2)在第一象限,则实数a的取值范围是　　　　.  11.(2025·宁夏)不等式组的解集是　　　　.  12.(2025·河北模拟)若关于x的不等式组有2个整数解,则实数m的取值范围是　　　　.  13.(2025·石家庄一模)定义一种新运算“aΔb”:当a≥b时,aΔb=a+2b;当a<b时,aΔb=a-2b.例如:3Δ(-4)=3+2×(-4)=-5,1Δ2=1-2×2=-3. (1)填空:(-4)Δ3=　　　　.  (2)已知(2x-4)Δ2>1,求x的取值范围. 1.(2025·武安三模)不等式组的解集在数轴上表示如图所示,则a+b=(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 2.P,Q,R,S四个物体的质量分别为p,q,r,s,将四个物体放在天平上,如下面示意图所示,则四个物体的质量的大小关系为(　　) A.q<p<s<r B.r<s<q<p C.p<q<s<r D.r<s<p<q 3.(2025·泸州)对于任意实数a,b,定义新运算:a※b=给出下列结论: ①8※2=8; ②若x※3=6,则x=6; ③a※b=(-a)※(-b); ④若(2x-4)※2<5x,则x的取值范围为x>. 其中正确结论的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.已知实数a,b满足a+b-1=0,0<a-b-1<1,则下列判断正确的是(　　) A.-1<a< B.0<b< C.1<2a+4b<2 D.5<4a-2b<7 5.(2025·河北模拟)对于x,符号[x]表示不大于x的最大整数.如:[3.14]=3,[-7.59]=-8,则满足关系式=4的x的整数值有　　　　个.  6.(2025·遂宁)为了建设美好家园,提高垃圾分类意识,某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料: 材料一:已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元;购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元. 材料二:据统计该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个,但总费用不超过15 300元,且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的. 请根据以上材料,完成下列任务: 任务一:求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价? 任务二:有哪几种购买方案? 任务三:哪种方案更省钱,最低购买费用是多少元? 【详解答案】 基础夯实 1.B　2.A 3.C　解析:∵x+1≤2,∴x≤2-1,即x≤1,则x≤2.故选C. 4.D　解析:由解得 不等式组的解集是-1<x≤1.故选D. 5.C　解析:解不等式可得2<x≤3,∴满足不等式1<2x-3≤3的是3.故选C. 6.A　解析:∵2x-m≤-1,∴x≤,由数轴可知,该不等式的解集为x≤1,∴=1,解得m=3.故选A. 7.C　解析:设小明要答对x道题,则答错或不答(20-x)道题,根据题意得10x-5(20-x)≥80,解得x≥12,∴x的最小值为12,∴他至少要答对的题数是12道.故选C. 8.D　解析:A.数量少的狗群中有狗x条,则狗群数量多的每个群为(300-x)条,此选项错误,不符合题意;B.依题意得>x,此选项错误,不符合题意;C.依题意得1≤x<(x为奇数),解得1≤x<75(x为奇数),要使x和都为奇数,则x的最小值为3,x的最大值为69,此选项错误,不符合题意;D.由C可知1≤x<75(x为奇数),故x=3是正确解,但不是唯一解,此选项正确,符合题意.故选D. 9.>　10.a>-2 11.x<2　解析:由①得x<2,由②得x≤5,∴x<2. 12.-4<m≤-3　解析:解不等式组得3<x≤2-m,由题意可得5≤2-m<6,∴-4<m≤-3. 13.解:(1)-10 (2)由题意,知①或② 由①得x≥3,由②得无解,∴x的取值范围为x≥3. 能力提升 1.C　解析:解不等式①得x≤,解不等式②得x>-b,∴不等式组的解集为-b<x≤,由题图知不等式组的解集为-1<x≤1,∴-b=-1,=1,∴b=1,a=2,∴a+b=3.故选C. 2.A　解析:由题意得 由③得r=p+s-q④,把④代入②中得q+s<p+p+s-q,∴2q<2p, ∴q<p,∴q-p<0,由③得q-p=s-r,∴s-r<0,∴s<r,∴q<p<s<r.故选A. 3.B　解析:①∵8>2,∴8※2=8,此结论正确.②若x≥3,则x=6;若x<3,则-x=6,此时x=-6.此结论错误.③若a>b,则-a<-b,∴a※b=a,(-a)※(-b)=a,则a※b=(-a)※(-b);若a<b,则-a>-b,∴a※b=-a,(-a)※(-b)=-a,则a※b=(-a)※(-b);若a=b,则a※b=a,(-a)※(-b)=-a,此时a※b≠(-a)※(-b).此结论错误.④若2x-4≥2,即x≥3时,由(2x-4)※2<5x得2x-4<5x,解得x>-,此时x≥3;若2x-4<2,即x<3时,由(2x-4)※2<5x得-2x+4<5x,解得x>,此时<x<3.综上,若(2x-4)※2<5x,则x的取值范围为x>.此结论正确.故选B. 4.C　解析:∵a+b-1=0,∴a=1-b,∵0<a-b-1<1,∴0<1-b-b-1<1,∴-<b<0,选项B错误,不符合题意; ∵a+b-1=0,∴b=1-a,∵0<a-b-1<1,∴0<a-1+a-1<1,∴1<a<,选项A错误,不符合题意; ∵b=1-a,∴2a+4b=2a+4(1-a)=4-2a,∵1<a<,∴1<4-2a<2,∴1<2a+4b<2,选项C正确,符合题意; ∵1<a<,-<b<0,∴4<4a<6,0<-2b<1,∴4<4a-2b<7,选项D错误,不符合题意.故选C. 5.3　解析:由题意得4≤<5,解得7≤x<,其整数解为7,8,9,共3个. 6.解:任务一:设A型号的新型垃圾桶的单价是x元,B型号的新型垃圾桶的单价是y元. 根据题意得 解得 答:A型号的新型垃圾桶的单价是60元,B型号的新型垃圾桶的单价是100元. 任务二:设购买m个A型号的新型垃圾桶,则购买(200-m)个B型号的新型垃圾桶, 根据题意得 解得≤m≤120, 又∵m为正整数, ∴m可以为118,119,120, ∴共3种购买方案, 方案1:购买118个A型号的新型垃圾桶,82个B型号的新型垃圾桶; 方案2:购买119个A型号的新型垃圾桶,81个B型号的新型垃圾桶; 方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶. 任务三:选择方案1所需费用为60×118+100×82=15 280(元); 选择方案2所需费用为60×119+100×81=15 240(元). 选择方案3所需费用为60×120+100×80=15 200(元), ∵15 280>15 240>15 200, ∴方案3更省钱,最低购买费用是15 200元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲　一元二次方程及其应用 1.(2025·邢台内丘县模拟)若一元二次方程3x-5=2x2化成一般形式后二次项的系数是2,则一次项的系数是(　　) A.3 B.-3 C.5 D.-5 2.若关于x的一元二次方程(a-3)x2-x+a2-9=0的一个根是x=0,则a的值为(　　) A.3 B.-3 C.3或-3 D. 3.用配方法解一元二次方程x2-2x-2 025=0,将它转化为(x+a)2=b的形式,则ab的值为(　　) A.-2 026 B.2 026 C.-1 D.1 4.若x=是某个一元二次方程的一个根,则这个一元二次方程可以是(　　) A.x2-2x-1=0 B.x2+2x-1=0 C.x2+2x+1=0 D.x2-2x+1=0 5.(2025·广州)关于x的方程x2-x+k2+2=0根的情况为(　　) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 6.(2025·内江)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,则实数a的取值范围是(　　) A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 7.(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为(　　) A.10% B.20% C.22% D.44% 8.某地有1人感染了某病毒,因为没有及时隔离治疗,经过两轮传染后,一共有144人感染了该病毒,设每轮传染中平均1人传染了x人,下面所列方程正确的是(　　) A.1+x+x2=144 B.x(x+1)=144 C.1+x+x(x+1)=144 D.1+(1+x)+x(x+1)=144 9.关于y的方程y(y-2)=4(y-2),下面解法完全正确的是(　　) 甲 整理得y2-6y-8=0,a=1,b=-6,c=-8, Δ=b2-4ac=68, x==3±, x1=3+,x2=3- 乙 两边同时除以(y-2)得到y=4 丙 移项得y(y-2)+4(y-2)=0, ∴(y-2)(y+4)=0, ∴y-2=0或y+4=0, ∴y1=2或y2=-4 丁 整理得y2-6y+8=0, 配方得(y-3)2=1, ∴y-3=±1, ∴y1=4,y2=2 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.(2025·青海)若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值为　　　　.  11.(2025·贵州)一元二次方程x2-1=0的根是　　　　.  12.(2025·广安)已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和b,则代数式a2-4a+b的值为　　　　.  13.(2025·邯郸模拟)淇淇在计算两个正数和时,误计算成这两个数的积,结果由正确答案8变成了15,则这两个正数中,较大的正数是　　　　.  14.(2025·威海)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块,请你求出小路的宽度. 1.(2025·沧州盐山县二模)已知a是方程x2-2x-2=0的根,则的值是(　　) A. B. C. D.2 2.(2025·河北模拟)关于x的一元二次方程x2+(2-b)x-1=0的根的情况,下列说法正确的是(　　) A.实数根的个数由b的值确定 B.没有实数根 C.两根互为倒数 D.若b=2,则两根互为相反数 3.(2025·任丘模拟)已知m,n是关于x的一元二次方程x2+6x+k=0的两个根,且m(n+1)+n(m+1)=8,则k的值为(　　) A.-7 B.-1 C.1 D.7 4.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1,则下列关于2ax1+b的值判断正确的是(　　) A.2ax1+b=2 B.2ax1+b=-1 C.2ax1+b=0 D.2ax1+b=1 5.我们规定:对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac-bd,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13. (1)求[-4,3]*[2,-6]的值. (2)已知关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根,求m的取值范围. 6.某市新区某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元,每桶水的进价是5元,规定每桶水的售价不得高于12元,也不得低于7元,调查发现日均销售量p(桶)与每桶水的售价x(元)的函数图象如图所示. (1)求日均销售量p(桶)与每桶水的售价x(元)的函数关系式. (2)如果该经营部希望日均获利1 350元,那么每桶水的售价是多少? 【详解答案】 基础夯实 1.B　 2.B　解析:把x=0代入方程(a-3)x2-x+a2-9=0得a2-9=0,解得a1=3,a2=-3,∵a-3≠0,∴a的值为-3.故选B. 3.D　解析:由题知,x2-2x-2 025=0,x2-2x=2 025,x2-2x+1=2 025+1,(x-1)2=2 026,所以a=-1,b=2 026,所以ab=(-1)2 026=1.故选D. 4.A　解析:∵一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x=,x=是用公式法解一元二次方程得到的一个根,∴a,b,c可以为a=1,b=-2,c=-1,∴满足要求的方程为x2-2x-1=0.故选A. 5.C　解析:由题知,Δ=(-1)2-4(k2+2)=-4k2-7<0,所以方程无实数根.故选C. 6.C　解析:∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,∴ 解得a≤2且a≠1,∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1.故选C. 7.B　解析:设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,根据题意得25(1+x)2=36,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去),∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.故选B. 8.C　解析:每轮传染中平均1人传染了x人,则第一轮传染中有x人被传染,第二轮传染中有x(x+1)人被传染,根据题意得1+x+x(x+1)=144.故选C. 9.D　解析:甲:原方程整理得y2-6y+8=0,甲的解法不正确;乙:∵无法确定y-2≠0,∴无法在方程的两边同时除以(y-2),乙的解法不正确;丙:移项得y(y-2)-4(y-2)=0,丙的解法不正确;丁:原方程整理得y2-6y+8=0,配方得(y-3)2=1,∴y-3 =±1,∴y1=4,y2=2,丁的解法完全正确.故选D. 10.3　11.x=1或x=-1 12.29　解析:∵方程x2-5x-24=0的两根分别为a,b,∴a+b=5,a2-5a-24=0,∴a2-5a=24,∴a2-4a+b=a2-5a+a+b=24+5=29. 13.5　解析:设其中一个正数为x,则另一个正数为8-x,由题意得x(8-x)=15,解得x1=3,x2=5,∴较大的正数是5. 14.解:设小路的宽度为x m,则9块矩形地块可合成长为(20-4x) m,宽为(14-4x) m的矩形, 根据题意得(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理得2x2-17x+8=0, 解得x1=,x2=8(不符合题意,舍去). 答:小路的宽度为 m. 能力提升 1.B　解析:原式=··,∵a是方程x2-2x-2=0的根,∴a2-2a-2=0,即a2=2a+2=2(a+1),∴原式=.故选B. 2.D　解析:∵Δ=(2-b)2+4>0,∴此方程有两个不相等的实数根,当b=2时,方程变形为x2-1=0,解得x=1或x=-1,即两根互为相反数.故选D. 3.D　解析:∵m,n是关于x的一元二次方程x2+6x+k=0的两个根,∴m+n=-6,mn=k,∵m(n+1)+n(m+1)=8, ∴mn+m+mn+n=8,即2mn+m+n=8,∴2k-6=8,解得k=7.故选D. 4.C　解析:∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1,∴b2-4ac=0,且x1=-, ∴2ax1+b=2a·+b=-b+b=0.故选C. 5.解:(1)[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10. (2)根据题意得x(mx+1)-m(2x-1)=0, 整理得mx2+(1-2m)x+m=0, ∵关于x的方程[x,2x-1]*[mx+1,m]=0有两个实数根, ∴Δ=(1-2m)2-4m·m≥0且m≠0, 解得m≤且m≠0. 6.解:(1)设日均销售量p(桶)与每桶水的售价x(元)的函数关系式为p=kx+b, 根据题意得 解得 所以日均销售量p(桶)与每桶水的售价x(元)的函数关系式为p=-50x+850. (2)根据题意得(x-5)(-50x+850)-250=1 350, 解得x1=9,x2=13, ∵每桶水的售价不得高于12元,也不得低于7元, ∴x=9. 答:每桶水的售价是9元. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲　一次方程(组)及其应用 1.(2025·贵州)已知x=2是关于x的方程x+m=7的解,则m的值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2025·石家庄裕华区模拟)如图,小明将等式5a-2b=3a-2b进行变形,最后得到一个错误的结论,则下列说法正确的是(　　) A.第一步错误 B.第二步错误 C.第三步错误 D.三步都正确,原等式错误 3.数学文化(2025·泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x+2y=3恰有一个正整数解x=1,y=1.类似地,方程2x+3y=21的正整数解的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 4.数学文化(2025·连云港)《九章算术》中有一个问题:“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”(凫:野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过多少天能够相遇?”)如果设经过x天能够相遇,根据题意,得(　　) A.x+x=1 B.x-x=1 C.7x+9x=1 D.9x-7x=1 5.(2025·龙东地区)为促进学生德智体美劳全面发展,某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活动,其中足球80元/个,篮球120元/个,共有多少种购买方案(　　) A.6 B.7 C.4 D.5 6.已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4,则m的值为(　　) A.-1 B.7 C.1 D.2 7.在方程3x-y=5中,用含x的代数式表示y得　　　　.  8.若2x5y2m+3n与-3x3m+2ny6是同类项,则|m-n|=　　　　.  9.对于任意非零实数x,y定义的新运算“⊗”:x⊗y=ax-by,等号右边是乘法和减法的运算,已知2⊗3=2,3⊗5=2,则3⊗4=　　　　.  10.综合与实践(2025·衡水模拟)综合实践课上,同学们玩“接力游戏”,由每组学生合作解一元一次方程.如图,老师将题目交给甲同学,他完成一步解答后交给乙同学,依次进行,最后由戊同学完成求解.规则是每人只能看到前一人传过来的式子. (1)写出这个“接力游戏”中过程出错的同学. (2)请你写出正确的求解过程. 1.数学文化(2025·河北模拟)《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著,其中有这样一个问题:“今有客不知其数.两人共盘,少两盘;三人共盘,长三盘.问客及盘各几何?”意思为:“现有若干名客人.若2名客人共用1个盘子,则少2个盘子;若3名客人共用1个盘子,则多出来3个盘子.问客人和盘子各有多少?”则下列说法正确的是(　　) A.设有x名客人,y个盘子,根据题意可得 B.设有x名客人,根据题意可得-2=+3 C.有20名客人 D.有12个盘子 2.已知关于x的方程5x-2=3x+16的解与方程4a+1=4(x+a)-5a的解相同,则a=　　　　;若[m]表示不大于m的最大整数,则=　　　　.  3.数学文化(2025·广元)幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方(如图1),将9个数填在3×3(三行三列)的方格中,如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数之和都相等,就得到一个广义的三阶幻方.图2的方格中填写了一些数和字母,若能构成一个广义的三阶幻方,则xy=　　　　.  6 1 8 7 5 3 2 9 4 　 y -4 -2 2 x 4.(2025·长沙)为落实科技兴农政策,某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求,该食品企业将收购的农产品加工成A,B两种等级的农产品对外销售,已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元,销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗) (1)每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的售价分别为多少元? (2)若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品,全部加工后对外销售,要求总利润不低于16 000元,则至少需加工A等级农产品多少千克? 5.过程性学习阅读下列解方程组的方法,然后回答并解决有关问题: 解方程组时,如果我们直接考虑消元,那么会很麻烦,而采用下面的解法求解会更方便. 解:②-①,得3x+3y=3,所以x+y=1③,将③×21,得21x+21y=21④,①-④,得y=2,从而可得x=-1,所以原方程组的解为 (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜想关于x,y的方程组 (a,d是常数,d≠0)的解,并说明理由. 【详解答案】 基础夯实 1.C　2.C 3.C　解析:∵2x+3y=21,∴y=7-x,正整数解为x=3,y=5;x=6,y=3;x=9,y=1.共3个.故选C. 4.A　解析:根据野鸭和大雁到达目的地所需时间,可得出野鸭每天飞行全程的,大雁每天飞行全程的,利用总路程=野鸭的飞行速度×时间+大雁的飞行速度×时间,即可列出关于x的一元一次方程:x+x=1.故选A. 5.C　解析:设购买x个足球,y个篮球,根据题意得80x+120y=1 200,∴y=10-x,又∵x,y均为正整数, ∴或或或 ∴共有4种购买方案.故选C. 6.C　解析:①-②得2x-2y=2m+6,∴x-y=m+3,代入x-y=4,可得m+3=4,解得m=1.故选C. 7.y=12x-20　解析:移项得-y=5-3x,系数化为1得y=12x-20. 8.1　解析:∵2x5y2m+3n与-3x3m+2ny6是同类项,∴①-②得到m-n=-1,则|m-n|=1. 9.4　解析:根据题意得 ①×3-②×2得b=2,将b=2代入①得2a-6=2,即a=4,则3􀱋4=12-8=4. 10.解:(1)甲同学在去分母时,等号右侧没有乘6;乙同学在去括号时,括号内的符号没有变号;戊同学将未知数系数化为1时出现错误,方程两边应该同时除以-3. ∴这个“接力游戏”中过程出错的同学有甲、乙、戊. (2) =1, 去分母得3(x+1)-2(2-3x)=6, 去括号得3x+3-4+6x=6, 移项得3x+6x=6-3+4, 合并同类项得9x=7, 系数化为1得x=. 能力提升 1.B　解析:A.设有x名客人,y个盘子,根据题意可得故不符合题意;B.设有x名客人,根据题意可得-2=+3,故符合题意;C.由B得-2=+3,解得x=30,所以有30名客人,故不符合题意;D.因为有30名客人,所以盘子有-2=13(个),故不符合题意.故选B. 2.7　2　解析:解方程5x-2=3x+16,得x=9,将x=9代入4a+1=4(x+a)-5a,得a=7,所以=2. 3.1　解析:根据题意得 解得∴xy=60=1. 4.解:(1)设每千克A等级农产品的售价为x元,每千克B等级农产品的售价为y元, 由题意得 解得 答:每千克A等级农产品的售价为12元,每千克B等级农产品的售价为10元. (2)设需加工A等级农产品m千克,则需加工B等级农产品(6 000-m)千克, 由题意得(12-8)m+(10-8)(6 000-m)≥16 000, 解得m≥2 000. 答:至少需加工A等级农产品2 000千克. 5.解:(1) ①-②,得6x+6y=6, ∴x+y=1③, ③×2 019,得2 019x+2 019y=2 019④, ④-②,得2y=4, 解得y=2, 把y=2代入③,得x+2=1, 解得x=-1, ∴原方程组的解是 (2)猜想关于x,y的方程组 的解为 理由如下: ②-①,得3dx+3dy=3d, ∴x+y=1③, ③×a,得ax+ay=a④, ①-④,得dy=2d, 解得y=2, 把y=2代入③,得x+2=1, 解得x=-1, ∴原方程组的解是 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二讲　分式方程及其应用 1.(2025·湖南)将分式方程去分母后得到的整式方程为(　　) A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 2.分式方程+1的解是(　　) A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 3.若分式与的值相等,则m的值不可能是(　　) A.-3 B.0 C.-1 D.-2 4.对于实数a,b,定义一种新运算“☆”为:a☆b=.例如:1☆3==-2,则方程(-2)☆x=1的解是(　　) A.x=1 B.x=3 C.x=-3 D.x=-1 5.(2025·绥化)用A,B两种货车运输化工原料,A货车比B货车每小时多运输15吨,A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x吨,则可列方程为(　　) A. B. C. D. 6.已知关于x的分式方程=3的解为负数,则k的取值范围为(　　) A.k<-4 B.k>-4 C.k≥-4且k≠- D.k>-4且k≠- 7.新考法在如图所示的正方形数阵中规定运算:16-4=2×6.若a=-2,则b=　　　,此时关于x的分式方程的解为　　　　.  8.关于x的分式方程=3有增根,则m=　　　　.  9.(2025·广东)在解分式方程-2时,小李的解法如下: 第一步:·(x-2)=-·(x-2)-2, 第二步:1-x=-1-2, 第三步:-x=-1-2-1, 第四步:x=4. 第五步:检验:当x=4时,x-2≠0. 第六步:∴原分式方程的解为x=4. 小李的解法中哪一步是去分母?去分母的依据是什么?判断小李的解答过程是否正确,若不正确,请写出你的解答过程. 10.(2025·山西)我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍,它更换116千米钢轨比一个工作队人工更换80千米钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米. 1.(2025·河北模拟)在求3x的倒数的值时,嘉淇同学误将3x看成了8x,她求得的值比正确答案小5.下列说法正确的是(　　) A.依题意得=8x+5 B.依题意得=8x-5 C.x的值为1 D.3x的倒数的值为8 2.对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号max{a,b}表示a,b中较大的数,如:max{2,4}=4.按照这个规定,方程max{x,-x}=的解为(　　) A.x=1- B.x=2- C.x=1-或x=1+ D.x=1+或x=-1 3.数学文化(2025·邯郸丛台区模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目,其大意为:把一封信送到900里外的地方,若用慢马送,则晚1天送达;若用快马送则早3天送达,已知快马的速度是慢马速度的2倍,问规定的时间为多少天?马的速度为多少?下列说法错误的是(　　) A.设规定的时间为x天,所列方程为×2= B.设慢马的速度为y里/天,所列方程为=2 C.快马用了4天送达 D.慢马用了8天送达 4.若关于x的不等式组有解,且关于y的方程=4-的解为非负数,则所有满足条件的整数a的值之和是(　　) A.-8 B.-7 C.-5 D.-4 5.(2025·齐齐哈尔)如果关于x的分式方程=2无解,那么实数m的值是(　　) A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-1 6.新情境(2025·成都)2025年8月7日至17日,第12届世界运动会将在成都举行,与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A,B两种吉祥物挂件,已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的,用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个. (1)求每个A种挂件的价格. (2)某游客计划用不超过600元购买A,B两种挂件,且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个,求该游客最多购买多少个A种挂件. 【详解答案】 基础夯实 1.A　2.D　 3.C　解析:由题得,解得x=-m.又∵x≠1,∴-m≠1,则m≠-1.故选C. 4.C　解析:由题意可得=1,去分母得-2+x=1+2x,解得x=-3.经检验,x=-3是分式方程的解.故选C. 5.C　解析:B货车每小时运输化工原料x吨,则A货车每小时运输化工原料(15+x)吨,由题意得.故选C. 6.A　解析:=3,得=3,得x+3k=3x-12,解得x=,根据题意,x=<0,即3k+12<0,解得k<-4,∵分母x-4≠0,即x≠4,即≠4,解得k≠-,∴k<-4.故选A. 7.-1　x=　解析:由题意可得a-3=5b,即-2-3=5b,解得b=-1,则分式方程为,去分母得1=2x,解得x=,检验:当x=时,1-x≠0,故分式方程的解为x=. 8.-1　解析:方程两边同乘(x-2)得x+m-1=3(x-2),由题意得x=2是该整式方程的解,∴2+m-1=0,解得m=-1. 9.解:小李的解法中,第一步是去分母. 去分母的依据是:等式的基本性质. 小李的解答过程不正确. 正确的解答过程: -2, 去分母,得·(x-2)=-·(x-2)-2(x-2),整理,得1-x=-1-2x+4, 移项、合并同类项,得x=2. 检验:当x=2时,x-2=0. ∴原分式方程无解. 10.解:设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x千米,根据题意得=22,解得x=2, 经检验,x=2是原方程的解,且符合题意. 答:一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米. 能力提升 1.D　解析:+5,解得x=, ∴3x的倒数为=8,∴A,B,C选项错误,D选项正确.故选D. 2.D　解析:当x<-x,即x<0时,所求方程变形为-x=,去分母得x2+2x+1=0,即(x+1)2=0,解得x1=x2=-1,经检验x=-1是分式方程的解;当x>-x,即x>0时,所求方程变形为x=,去分母得x2-2x-1=0,代入公式得x==1±,解得x3=1+,x4=1-(舍去),经检验x=1+是分式方程的解.综上,所求方程的解为x=1+或x=-1.故选D. 3.B　解析:设规定的时间为x天,则×2=,解得x=7,经检验,x=7是原方程的解,则快马用了7-3=4(天)送达,慢马用了7+1=8(天)送达,选项A,C,D正确,故不符合题意;设慢马的速度为y里/天,则快马的速度为2y里/天,依题意得=4,选项B错误,故符合题意.故选B. 4.A　解析:将不等式组整理得∵关于x的不等式组有解,∴a<3,解分式方程=4-得y=,∵关于y的分式方程=4-的解为非负数,∴≥0,且≠3,解得a≥-4,且a≠1,∴-4≤a<3,且a≠1,∵a为整数,∴a=-4或-3或-2或-1或0或2,∴满足条件的所有整数a的值之和为(-4)+(-3)+(-2)+(-1)+0+2=-8.故选A. 5.C　解析:方程去分母,得mx-x=2(1-x),整理,得(m+1)x=2.∵原方程无解,∴①整式方程无解,则m+1=0,解得m=-1,②分式方程有增根,则x-1=0,解得x=1,把x=1代入(m+1)x=2,得m+1=2,解得m=1.综上,m=1或m=-1.故选C. 6.解:(1)设每个A种挂件的价格为x元, 则每个B种挂件的价格为x元, ∴+7.∴x=25. 经检验x=25是原方程的解. 答:每个A种挂件的价格为25元. (2)设该游客购买m个A种挂件, 则购买(m+5)个B种挂件, 又结合(1)知每个A种挂件的价格为25元,每个B种挂件的价格为×25=20(元), ∴25m+20(m+5)≤600. ∴m≤=11. 又∵m为整数,∴m的最大值为11. 答:该游客最多购买11个A种挂件. 学科网（北京）股份有限公司 $