2026年中考数学一轮复习考点探究基础练 （河北） 第八章　统计与概率

第二讲　概率 1.(2025·徐州)一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球,下列事件为必然事件的是(　　) A.至多有1个球是红球 B.至多有1个球是黑球 C.至少有1个球是红球 D.至少有1个球是黑球 2.(2025·深圳)某校进行《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《算法统宗》四本书的长文本阅读活动,小聪从中任取一本,恰好抽到《九章算术》的概率为(　　) A. B. C. D. 3.(2025·贵州)某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子,为了估计“正面朝上”的概率,将同学们获得的试验数据整理如下表: 抛掷次数n 20 60 100 120 140 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 “正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 抛掷次数n 160 500 1 000 2 000 5 000 “正面朝上”的次数m 88 275 550 1 100 2 750 “正面朝上”的频率 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为(　　) A.0.52 B.0.55 C.0.58 D.0.63 4.(2025·兰州)现有甲、乙两个不透明盒子,其中甲盒装有分别写着d,t,l的三张声母卡片,乙盒装有分别写着a,e,i的三张韵母卡片(卡片除汉语拼音字母外,其余完全相同).若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片,则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是(　　) A. B. C. D. 5.(2025·保定莲池区一模)校运动会中,三级跳比赛以抽签方式决定每个人的比赛出场顺序,裁判将表示出场顺序的数字1,2,3,4,5分别写在5张相同的纸条上,并将这些纸条放在一个不透明的盒子中,摇匀后每人从中任意抽出一张,嘉淇第一个抽.下列事件中,可能性最大的是(　　) A.嘉淇抽到数字5 B.嘉淇抽到数字大于3 C.嘉淇抽到数字为奇数 D.嘉淇抽到数字为2的倍数 6.一个不透明的口袋中,装有5个黄球、4个蓝球和若干个红球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出一个球是黄球的概率是,则从中任意摸出一个球是红球的概率是(　　) A. B. C. D. 7.(2025·衡水枣强县模拟)“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具,由“七巧板”组成的正方形如图所示,若在正方形区域内随意取一点,则该点取在阴影部分的概率为(　　) A. B. C. D. 8.跨物理学科在如图所示的电路中,随机闭合开关S1,S2,S3中的两个,能让红灯发光的概率是(　　) A. B. C. D. 9.(2025·石家庄裕华区二模)如图,一张圆桌配有4个凳子,甲、乙两人随机选择一个凳子坐下,恰好甲、乙两人坐在相邻的位置的概率是　　　　.  10.嘉嘉和淇淇一起玩五子棋游戏,棋盘旁有甲、乙两个棋盒.甲盒中有3个白子和7个黑子,乙盒中有1个白子和1个黑子. (1)从甲盒中拿出m个黑子放入乙盒后,从两个棋盒中随机摸出1个棋子是白子的概率均相同,求m的值. (2)经过(1)的棋子调整后,用乙盒中的棋子做如下游戏,规则:先随机摸出1个棋子,记下颜色后放回,再摸出1个棋子.若摸出两个棋子的颜色相同,则嘉嘉胜;若摸出两个棋子的颜色不同,则淇淇胜.请问该游戏规则公平吗?说明理由. 1.(2025·武汉)掷两个质地均匀的小正方体,小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是(　　) A.向上两面的数字和为5 B.向上两面的数字和大于1 C.向上两面的数字和大于12 D.向上两面的数字和为偶数 2.(2025·广东)如图,在直径BC为2的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米,该粒米落在扇形内的概率为(　　) A. B. C. D. 3.如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体,随机移走标号为①~⑤的小正方体中的一个,左视图不发生改变的概率是(　　) A.1 B. C. D. 4.(2025·衡水模拟)如图所示,转盘被等分成三个扇形区域,并分别标有数字-1,2,-3.随机转动转盘两次,转盘停止后指针所指区域的数字分别记为k,b(若指针指在分界线,则重转),则一次函数y=kx+b的图象经过第二、三象限的概率是　　　　.  5.(2025·武安二模)某超市计划在春讲期间举办购物抽奖活动,凡消费满100元的顾客可获得一次抽奖机会.盒子中有红、黄、蓝三种颜色的球,这些球除颜色不同外,其他均相同,其中红球的数量为x2个,黄球的数量为2x个,蓝球的数量为10个(x为正整数).顾客随机摸出一个球,根据颜色获得不同面值的代金券.设盒子中球的总数为y个. (1)直接写出y关于x的函数表达式. (2)若超市希望红球的数量不少于黄球的数量,请利用函数的性质,求出y的最小值. (3)在(2)中y取得最小值的情况下,某顾客获得一次抽奖机会,求该顾客摸到黄球的概率. 【详解答案】 基础夯实 1.C　解析:摸出3个球,可能为3个红球,或2个红球1个黑球,或1个红球2个黑球,∴至少有1个球是红球.故选C. 2.C　解析:∵某校进行《九章算术》《周髀算经》《孙子算经》《算法统宗》四本书的长文本阅读活动,∴小聪从中任取一本,恰好抽到《九章算术》的概率为.故选C. 3.B　解析:抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55.故选B. 4.A　解析:如图, 由图可知,共有9种等可能的情况,符合条件的只有1种,∴两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是.故选A. 5.C　解析:∵数字1,2,3,4,5分别写在5张相同的纸条上,∴嘉淇抽到数字5的可能性为,嘉淇抽到数字大于3的可能性为,嘉淇抽到数字为奇数的可能性为,嘉淇抽到数字为2的倍数的可能性为,∵,∴嘉淇抽到数字为奇数的可能性最大.故选C. 6.A　解析:设口袋中红球的个数为x,∵从中任意摸出一个球是黄球的概率是,∴,解得x=1,∴P(从中任意摸出一个球是红球)=.故选A. 7.A　解析:由题意可知,阴影区域是一个正方形,设大正方形的边长为a cm,∴大正方形的对角线长为a cm,面积为a2 cm2,∴阴影部分的边长为a cm, ∴S阴影=a2(cm2),∴P(该点取在阴影部分)=.故选A. 8.A　解析:画树状图得 ∵共有6种等可能的结果,能让红灯发光的有2种情况,∴能让红灯发光的概率为.故选A. 9.　解析:将4个凳子顺次记为A,B,C,D,列表如下: A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 共有12种等可能的结果,其中恰好甲、乙两人坐在相邻的位置的结果有(A,B),(A,D),(B,A),(B,C),(C,B),(C,D),(D,A), (D,C),共8种,∴恰好甲、乙两人坐在相邻的位置的概率为. 10.解:(1)由题意,得,解得m=1,经检验,m=1是这个分式方程的解,∴m的值为1. (2)该游戏规则不公平.理由:列表如下: 黑 黑 白 黑 (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) 黑 (黑,黑) (黑,黑) (黑,白) 白 (白,黑) (白,黑) (白,白) 共有9种等可能的结果,其中两次摸到不同颜色的棋子的结果数为4,∴嘉嘉胜的概率是,淇淇胜的概率是, ∵≠,∴该游戏规则不公平. 能力提升 1.B　解析:掷两个质地均匀的小正方体,小正方体的六个面上分别标有1到6的数字,向上两面的数字和为5是随机事件,故A不符合题意;向上两面的数字和大于1是必然事件,故B符合题意;向上两面的数字和大于12是不可能事件,故C不符合题意;向上两面的数字和为偶数是随机事件,故D不符合题意.故选B. 2.D　解析:如图,过点A作AD⊥BC于点D, ∵BC是直径,∴∠BAC=90°,∵AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形, ∵AD⊥BC,∴AD=BD=CD=BC=,∴AB==2,∴S扇形ABC==π,S圆=π×()2=2π, ∴该粒米落在扇形内的概率为.故选D. 3.C　解析:去掉标号为①的小正方体,左视图改变;去掉标号为②~⑤的小正方体中的一个,左视图不变,所以左视图不发生改变的概率是.故选C. 4.　解析:列表如下: -1 2 -3 -1 (-1,-1) (-1,2) (-1,-3) 2 (2,-1) (2,2) (2,-3) -3 (-3,-1) (-3,2) (-3,-3) 所有等可能的结果情况共有9种,而一次函数y=kx+b的图象经过第二、三象限的有5种,所以一次函数y=kx+b的图象经过第二、三象限的概率为. 5.解:(1)y=x2+2x+10. (2)由题意得,x2≥2x, ∴x≥2或x≤0(舍去), 可知当x=2时,y=x2+2x+10取得最小值, ∴y的最小值为4+4+10=18. (3)当y取得最小值时,黄球的数量为4个,盒子中球的总数为18个, ∴该顾客摸到黄球的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一讲　统计 1.(2025·重庆)下列调查中最适合采用全面调查(普查)的是(　　) A.调查某种柑橘的甜度情况 B.调查某品牌新能源汽车的抗撞能力 C.调查某市垃圾分类的情况 D.调查全班观看电影《哪吒2》的情况 2.(2025·宜宾)一组数据:4,5,5,6,a的平均数为6,则a的值是(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 3.(2025·乐山)某学校食堂有7元、8元和9元三种价格的午餐供师生选择(每人限定一份),5月份销售情况如图所示,则师生购买午餐的平均价格为(　　) A.7.8元 B.7.9元 C.8元 D.8.1元 4.(2025·内江)某体育用品专卖店在一段时间内销售了20双运动鞋,其中几种尺码运动鞋的销售量如下表所示: 尺码/cm 24 24.5 25 25.5 26 销售量/双 1 3 10 4 2 这20双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数和中位数分别是(　　) A.24.5,25 B.25,25 C.25,25.5 D.25.5,26 5.(2025·河北模拟)对于题目:小明在处理一组数据“11,15,24,30,”时,不小心将其中一个数据污染了,只记得该数据在25~35.两位同学给出下列结论: 小红:“”在范围内无论为何值都不影响这组数据的中位数. 小丽:这组数据的平均数一定小于中位数. 下列判断正确的是(　　) A.两人都对 B.两人都错 C.小红对,小丽错 D.小红错,小丽对 6.某校举办了“爱鸟、护鸟”为主题的知识竞赛,为了解本次竞赛的成绩分布情况,从500名参赛学生中随机抽取了50名学生,对他们的成绩进行了统计,并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图,根据图中的信息,下列说法正确的是(　　) A.本次调查的样本容量是500 B.本次调查的学生成绩在70~80分的人数是10 C.本次调查的学生成绩的中位数落在80~90分 D.估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是70 7.五育文化(2025·青岛)为弘扬传统文化、培养学生的劳动意识,某校在端午讲期间举行了包粽子活动,每个粽子的标准质量为100 g.甲、乙两名同学各包了5个粽子,每个粽子的质量(单位:g)如下: 甲:103,99,100,101,97; 乙:99,103,105,95,98. 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是　　　　.(填“甲”或“乙”)  8.(2025·长沙)为了解某校学生利用全国中小学智慧教育平台辅助学习的情况,从该校全体3 600名学生中,随机调查了100名学生,统计结果显示仅有3名学生从未使用该平台辅助学习.由此,估计该校全体学生中,从未使用该平台辅助学习的学生有　　　　名.  9.(2025·福建)甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息. 信息一:甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位:分)如表所示. 日期 2月10日 2月21日 3月5日 3月14日 3月25日 甲 75 80 73 81 90 乙 82 83 86 82 92 日期 4月7日 4月17日 4月27日 5月8日 5月20日 甲 83 85 92 95 96 乙 83 87 86 84 85 其中,甲、乙成绩的平均数分别是=85,=85;方差分别是=58.4,=a. 信息二:当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位:分)如表所示. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识,解决以下问题: (1)计算a的值,并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价. (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数,并说明:若要从中选择一人参加高中数学联赛,选谁更合适. (3)若要从中选择一人参加进一步的培养,从发展潜能的角度考虑,你认为选谁更合适?为什么? 1.(2025·成都)在第25个全国科技活动周中,某班每位学生结合自己的兴趣从元宇宙、脑机接口和人形机器人中选择一项进行深入了解,现将选择结果绘制成如下统计图表: 兴趣 人数 元宇宙 16 脑机接口 a 人形机器人 14 　 根据图表信息,表中a的值为(　　) A.8 B.10 C.12 D.15 2.(2025·浙江)某书店某一天图书的销售情况如图所示. 根据以上信息,下列选项错误的是(　　) A.科技类图书销售了60册 B.文艺类图书销售了120册 C.文艺类图书销售占比30% D.其他类图书销售占比18% 3.(2025·福建)某公司为选拔英语翻译员,举行听、说、读、写综合测试,其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按4∶3∶2∶1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表: 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 由以上信息,可以判断A,B的大小关系是A　　　　B.(填“>”“=”或“<”)  4.(2025·保定阜平县一模)已知一组数据x1,x2,x3,x4的平均数是2 025,则另一组数据x1+1,x2+1,x3+1,x4+1的平均数是　　　　.  【详解答案】 基础夯实 1.D 2.D　解析:由题意知=6,解得a=10.故选D. 3.A　解析:师生购买午餐的平均价格为7×30%+8×60%+9×10%=7.8(元).故选A. 4.B　解析:由题表知,这组数据中25出现次数最多,有10次,所以这组数据的众数为25;中位数是数据从小到大排列后,第10个和第11个数据的平均数,所以这组数据的中位数为=25.故选B. 5.A　解析:∵被污染的数据在25~35,∴将这组数据按从小到大的顺序排列后为11,15,24,,30或11,15,24,30,,中位数均为24,∴小红对.经计算可得平均数在21~23,∴这组数据的平均数一定小于中位数,∴小丽对.故选A. 6.C　解析:A.本次调查的样本容量是50,故本选项不符合题意;B.本次调查的学生成绩在70~80分的人数是50-7-20-15=8,故本选项不符合题意;C.把本次调查的学生成绩按从小到大的顺序排列,排在中间的两个数都在80~90分,所以本次调査的学生成绩的中位数落在80~90分,故本选项符合题意;D.估计500名参赛学生中成绩在80分以下的人数是500×=150,故本选项不符合题意.故选C. 7.甲　解析:甲的平均数为(103+99+100+101+97)÷5=100(g),甲的方差为×[(103-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(101-100)2+(97-100)2]=4;乙的平均数为(99+103+105+95+98)÷5=100(g),乙的方差为×[(99-100)2+(103-100)2+(105-100)2+(95-100)2+(98-100)2]=12.8.∵4<12.8,∴甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲. 8.108　解析:估计该校全体学生中,从未使用该平台辅助学习的学生有3 600×=108(名). 9.解:(1)由题意得a=×[2×(82-85)2+2×(83-85)2+(84-85)2+(85-85)2+2×(86-85)2+(87-85)2+(92-85)2]=8.2. 两人的平均数相同,但乙的方差比甲小,所以乙的成绩更稳定. (2)因为当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数为=89.6(分),在两个人的10次成绩中,甲有4次超过89.6,乙只有1次超过89.6,所以甲获奖的概率更高,所以选甲更合适. (3)选甲更合适.理由:在集训期间的10次测试成绩中,甲呈上升趋势,而乙基本稳定在原有的水平,故从发展潜能的角度考虑,选甲更合适. 能力提升 1.B　解析:由题意知,被调查的总人数为16÷40%=40,则选择“脑机接口”的人数a=40-(16+14)=10.故选B. 2.D　解析:A.书店一天总销售量为150÷37.5%=400(册),则科技类图书销售了400×15%=60(册),此选项正确,不符合题意;B.文艺类图书销售了400-(150+60+70)=120(册),此选项正确,不符合题意;C.文艺类图书销售占比为×100%=30%,此选项正确,不符合题意;D.其他类图书销售占比为×100%=17.5%,此选项错误,符合题意.故选D. 3.>　解析:由题意得=82,解得A=90,=82,解得B=80,∵90>80,∴A>B. 4.2 026　解析:x1+1,x2+1,x3+1,x4+1的平均数为(x1+1+x2+1+x3+1+x4+1)÷4=(x1+x2+x3+x4+4)÷4=(2 025×4+4)÷4= 2 026. 学科网（北京）股份有限公司 $