第一单元 第5课时 公因数 （教学设计）数学西南大学版五年级下册

该小学数学教学设计聚焦公因数与最大公因数，通过分奖品情境（12本故事书、18支铅笔分小组）导入，联系因数概念，以“同时整除”需求为支架，衔接求法探究与实际应用。 以生活情境（剪正方形、分篮子）抽象数学模型，培养模型意识，通过操作（摆小正方形）和列举归纳概念发展推理意识，练习覆盖分组、分数等场景提升应用意识，助力学生发展有序思考，为教师提供清晰探究路径与分层练习。

第一单元 第5课时 公因数 教学设计 一、教材内容分析 1.知识内涵 （1）地位作用：本课时是因数概念的延伸，属于数论初步知识，是后续学习约分、分数运算的基础，也为解决分配、裁剪等实际问题提供数学工具，在数与代数领域中起承上启下作用。 （2）内容呈现：以两个生活情境例题引入——长方形纸剪正方形无剩余求最大边长、橘子苹果分篮子求最多篮子数；通过列举因数发现公因数和最大公因数，介绍短除法求最大公因数；试一试覆盖倍数关系（6和12）、互质（7和9）的特殊情况；练一练包含直接求最大公因数、分数（如、）分子分母找公因数、班级分组问题，多场景巩固知识。 （3）编排特点：遵循“问题情境—抽象数学问题—方法探究—应用拓展”逻辑线索，从实际问题抽象出求最大公因数的模型，通过操作归纳概念，再应用到不同情境，注重知识生成与生活联系，培养解决问题能力。 2.素养内涵 承载推理意识、模型意识、应用意识、运算能力等核心素养 （1）推理意识：通过列举因数归纳公因数概念，从特殊情况（倍数关系、互质）总结最大公因数规律，体现归纳推理； （2）模型意识：将裁剪、分配等实际问题转化为求最大公因数的数学模型，用模型解决问题； （3）应用意识：主动用公因数知识解决剪正方形、分篮子、分组等生活问题，感受数学实用性； 运算能力：通过短除法分解质因数或列举因数求最大公因数，提升运算技能与准确性。 二、教学目标 1.经历探究公因数和最大公因数的过程，理解其意义并掌握求法，能解决相关实际问题。 2.通过解决分组、裁剪等实际问题，发展分析推理能力，提升数学应用意识。 3.在合作探究中体会数学与生活的联系，养成有序思考的数学素养。 三、教学重难点 1.教学重点 理解公因数、最大公因数的概念，掌握求两个数最大公因数的方法。 2.教学难点 运用最大公因数知识解决实际问题，将实际情境转化为求最大公因数的数学问题。 四、课堂导入 提问对话/设置思维冲突导入法： 教师活动：“同学们，新年联欢会要准备奖品啦！老师买了12本故事书和18支铅笔，想分给几个小组，要求每个小组拿到的故事书一样多、铅笔也一样多，而且奖品要正好分完。你们觉得可以平均分给几个小组？怎么分最公平？” 学生活动：尝试分组方案（如分2组、3组），讨论可行性，发现分组数量需同时整除12和18。 教师追问：“如果想让小组数量尽可能多，又保证每组分到整本书和整支铅笔，最多能分几组？这个神秘的‘组数’会和12、18的什么数有关呢？” 教师过渡语：“其实啊，这个数就是解决问题的关键钥匙——它叫‘公因数’。今天我们就来揭开它的秘密！” 【设计意图：通过分奖品的生活化问题制造认知冲突，激发探究欲望，引导学生思考“同时整除”的共性需求，自然渗透公因数的概念本质，为学习最大公因数做铺垫。】 五、探究新知 学习任务一 认识公因数与最大公因数 活动1：操作体验，感知公因数意义 教师活动：出示教材核心问题：“一张长30cm、宽12cm的长方形纸，剪成大小相等的正方形且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？” 引导学生思考：“要使正方形大小相等且无剩余，边长需满足什么条件？” 学生活动：小组合作，用边长1cm、2cm、3cm、6cm等的小正方形模型（或画图）尝试摆放，记录能正好摆满的边长数据。 教师活动：收集各组结果，提问核心问题：“这些能摆满的边长与12、30有什么关系？” 引导学生列出12和30的因数，对比找出共同因数。 学生活动：独立写出12的因数（1、2、3、4、6、12）和30的因数（1、2、3、5、6、10、15、30），发现公有因数1、2、3、6。 教师归纳：总结概念：“12和30公有的因数叫公因数，其中最大的6叫最大公因数。” 板书概念。 【设计意图：通过操作与列举，让学生经历公因数概念的形成过程，理解“无剩余”的本质是边长为长和宽的公因数，突破概念理解难点，培养抽象概括能力，指向数学抽象与逻辑推理核心素养。】 学习任务二 探究求最大公因数的方法 活动2：改变条件，探究减法 教师活动：出示教材求法示例：“12=2×2×3，30=2×3×5，最大公因数是2×3=6”，提问核心问题：“分解质因数时，最大公因数与公有质因数有什么关系？ 学生活动：小组讨论，尝试用分解质因数法求6和12、7和9的最大公因数。汇报结果：6和12的公有质因数是2×3=6；7和9无公有质因数，最大公因数是1。 教师活动：引导学生对比列举法与分解质因数法的异同，总结求最大公因数的两种基本方法：列举法（找公有因数中最大的）、分解质因数法（取公有质因数乘积）。 【设计意图：通过方法探究与对比，让学生掌握求最大公因数的策略，培养思维多样性，突破方法应用重点，指向运算能力与数学建模核心素养。】 六、课堂练习 1. 议一议：把16个橘子、20个苹果按下面要求放到篮子里。最多需要多少个篮子? 2. 说出下面每组数的最大公因数。 3. 下面哪些分数的分子、分母有公因数2？哪些有公因数3？哪些有公因数5？ 4. 五(1)班有42人、五(2)班有48人参加植树活动。要求按班分组，如果两个班每组的人数必须相同，可以怎样分？每组最多有多少人？ 七、课堂小结 本节课我们学习了公因数和最大公因数的核心知识。首先，我们明确了两个数公有的因数叫做它们的公因数，其中最大的那个就是最大公因数。找最大公因数的方法有两种：一是先分别找出两个数的所有因数，再从中找出公有的因数，进而确定最大公因数；二是通过分解质因数，取两个数相同质因数的乘积得到最大公因数。此外，当两个数只有公因数1时，它们的最大公因数就是1。这些知识能帮助我们解决生活中公平分配且无剩余的实际问题，大家要记得灵活运用哦。 八、课后作业设计 基础性作业 1.说出下面每组数的最大公因数： （1）4和6 （2）9和18 （3）7和14 （4）10和11 2. 学校舞蹈队有36人，合唱队有45人，若要分别组队且每组人数相同，每组最多有多少人？ 3.下面哪些分数的分子、分母有公因数2？哪些有公因数3？哪些有公因数5？ 、、、、、 拓展性作业 1. 一张长24cm、宽18cm的长方形彩纸，要剪成大小相等的正方形且没有剩余，这个正方形的边长最大是多少厘米？一共能剪成多少个这样的正方形？ 2. 请写出三组互质数（每组满足不同类型）： （1）两个数都是质数：和 （2）一个质数和一个合数：和 （3）两个数都是合数：和 参考答案 1.（1）2；（2）9；（3）7；（4）1 设计意图：覆盖一般关系、倍数关系、互质关系的数对，巩固最大公因数的求法，加深对概念的多角度理解。 2. 36和45的最大公因数是9，每组最多9人。 设计意图：直接应用最大公因数解决分组问题，强化知识与生活场景的联系，提升应用意识。 3. 有公因数2的：8/16；有公因数3的：3/9、18/24；有公因数5的：10/25、15/20 设计意图：结合分数形式，将公因数识别与2、3、5的倍数特征结合，为后续约分学习奠定基础。 4. 24和18的最大公因数是6，边长最大6cm；（24÷6）×（18÷6）=12个。 设计意图：变式教材例题，增加“剪的数量”计算，提升综合应用能力与空间想象能力。 5.示例：（1）2和3；（2）3和4；（3）8和9（答案不唯一） 设计意图：延伸互质概念，引导学生分类理解互质数的不同类型，深化对公因数1的本质认识。 九、板书设计 1. 找因数 12的因数：1、2、3、4、6、12 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30 2. 找公因数 方法总结：求最大公因数 短除法： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $