5.4用一次函数解决问题（1）课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“建立一次函数模型解决实际问题”，以纸杯叠放的生活情境导入，引导学生观察数量关系、抽象函数表达式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接实际问题与数学模型的转化。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过“观察—抽象—建模—应用”流程，以纸杯、工厂利润等实例培养抽象能力和模型意识，分层练习助学生发展推理与应用能力，教师可借助丰富案例提升教学效率。

5.4用一次函数解决问题（1） ——建立一次函数模型解决实际问题 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装.当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少? 一摞纸杯的高度和哪些量有关系？ 每增加一个纸杯，总高度的增加值 . 当纸杯的个数确定时，纸杯的总高度随之 ， 纸杯的 是纸杯 的函数， 函数表达式为 ，其中自变量 x 取 . 相同 一个纸杯的高度是9.5cm，每叠放1个纸杯，纸杯的总高度增加0.5cm， 确定 总高度 y cm 个数 x y=9.5+0.5(x-1) 正整数 为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装.当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少? x的取值分别用5，10，15，20，25代入函数表达式， 得各摞纸杯的总高度，分别是 . 建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题 . 纸杯的 是纸杯 的函数， 函数表达式为 ，其中自变量 x 取 . 总高度 y cm 个数 x y=9.5+0.5(x-1) 正整数 11.5cm，14cm，16.5cm，19cm，21.5cm 例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900 元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出 . (1)说明每天的利润 y 元是生产数量 x 件的函数，并写出函数表达式; (2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元? 解：(1)由题意得，利润 y 元随生产产品的数量 x 件的变化而变化， 当产品数量确定时，利润随之确定， y 是 x 的函数， 其函数表达式为 即 y =300x-12000 y =1200x-(900x+12000) 例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900 元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出 . (1)说明每天的利润 y 元是生产数量 x 件的函数，并写出函数表达式; (2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元? 解：(1) y =300x-12000 (2)当 x =50时，y =300×50-12000=3000(元) 答：这天的利润是3000元. (3)要使得该工厂某天的利润超过9000元，这天至少需要生产多少件产品? 􀪋􀪋 例1 某工厂生产一种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900 元/件，每天生产的产品以1200元/件全部售出 . (1)说明每天的利润 y 元是生产数量 x 件的函数，并写出函数表达式; (2)如果某天生产了50件产品，那么这天的利润是多少元? (3)要使得该工厂某天的利润超过9000元，这天至少需要生产多少件产品? 􀪋􀪋 解： 要使 y > 9000， 则 300x-12000 > 9000， ∴ x > 70 答：这天至少需要生产71件产品. 【变式】在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第 1 年的月工资为 8 000元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加 300元． （1）某人在该公司连续工作n年，写出他第n年的月工资 y与n的函数表达式. 解：他第 n 年的月工资 y与n的函数表达式是： y＝300(n－1)＋8000 （2） 他第5 年的年收入能否超过110 000元？ 解：第 5 年的月工资为： 300×(5－1)＋8000 ＝9200(元) ∴年收入为：9200×12＝110400(元) ∵110400＜110000， ∴他第5年的年收入能超过110000元. 【变式】在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第 1 年的月工资为 8 000元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加 300元． 【练习】1. 通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3. (1)说明蓄水池的水量Qm3是注水时间th的函数，并写出函数表达式 . (2)注水前，蓄水池里有水吗? 如果有，有多少立方米? (3)当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000m3? Q＝300t＋100 2. 书店管理员将一批每本厚度为2.4cm的书整理堆放在高度为50cm的柜子上 .考虑安全因素，最上面一本书的上表面距地面的高度不能高于1.4m. (1)说明最上面那本书上表面距地面的高度 y cm是书的数量 x 本的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围; (2)每摞最多可以摆放多少本书? ，且为整数 3. 随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： A超市 B超市 优惠方案 所有商品按8折出售 购物金额每满100元返30元 （1） 当购物金额为80元时，选择 超市更省钱；当购物金额为130元时，选择 超市更省钱（填“A”或“B”）. A B　 （2） 当购物金额为x（0＜x＜200）元时，请分别写出两家超市的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱. 解：A超市：y＝0.8x； B超市：y＝ 当0＜x＜100时，A超市8折优惠，B超市不优惠， ∴ 选择A超市更省钱. 当100≤x＜200时，A超市：y＝0.8x，B超市：y＝x－30. ① 当0.8x＜x－30，即150＜x＜200时，选择A超市更省钱； ② 当0.8x＝x－30，即x＝150时，选择A超市或B超市花费一样多； ③ 当0.8x＞x－30，即100≤x＜150时，选择B超市更省钱 4. 为迎接“十一”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.已知甲、乙两种运动鞋的进价分别为100元/双、80元/双，售价分别为240元/双、160元/双. (1)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润＝售价－进价)不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ 解：设购进甲种运动鞋x双，则购进乙种运动鞋（200－x）双 由题意得， ∴ 不等式组的解集是 95≤x≤105 ∵ x是正整数， ∴ 105－95＋1＝11（种）， ∴ 该专卖店有11种进货方案 （2） 在（1）的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应选择哪种进货方案？ 解：设总利润为W元. 由题意得，W＝（240－100－a）x＋（160－80）（200－x） ＝（60－a）x＋16000（95≤x≤105） ① 当50＜a＜60时，60－a＞0，此时W随x的增大而增大， ∴ 当x＝105时，W有最大值，200－x＝95， ∴ 此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双. ② 当a＝60时，60－a＝0，W＝16000 ∴ （1）中所有方案获得的最大利润都为16000元， 分别为购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双；甲种96双，乙种104双； 甲种97双，乙种103双；甲种98双，乙种102双；甲种99双，乙种101双； 甲种100双，乙种100双；甲种101双，乙种99双；甲种102双，乙种98双； 甲种103双，乙种97双；甲种104双，乙种96双；甲种105双，乙种95双. ③ 当60＜a＜70时，60－a＜0， 此时W随x的增大而减小， ∴ 当x＝95时，W取得最大值，200－x＝105， ∴ 此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双 （2） 在（1）的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应选择哪种进货方案？ 转化 (一次函数) 解决 实际问题 数学模型 【小结】 　　通过这节课的学习，你学习到什么新知识？获得了什么经验？还有什么疑问？ $