3.10 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2026河北中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

一战成名新中考 命题点10二次函数的图象与性质（必考） 通教材要点归纳 要点1二次函数的图象与性质（图象一开口向上或向下的抛物线）☆重点 一般式 顶点式 交点式 三种解析式 y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+h y=a(x-x1)(x-x2) a>0 大 0 致 开口向上 图 a<0 象 ① 开口向下 对称轴 直线x=① 直线x=② 直线x=③ 顶点坐标 ④ ⑤ a>0 在对称轴处取 在对称轴处取 ① 最小值⑥ 最小值⑦ 最 y有最小值 值 a<0 在对称轴处取 在对称轴处取 ① 最大值⑧ 最大值⑨ y有最大值 在对称轴左侧时，y随x增大而四 增 a>0 减 在对称轴右侧时，y随x增大而① 在对称轴左侧时，y随x增大而② 性 a<0 在对称轴右侧时，y随x增大而围 注：特别地，若已知二次函数的表达式为y=a2+bx,则二次函数图象必过原点；反之，若已知二次 函数y=ax2+bx+c的图象过原点，则必有c=0. 对点练习 1.[人教九上P41第5题改编]在如图网格中建立平面直角坐标系xOy,已知每个小正方形的边长 均为1，点A,B,C,D均在网格交点上，二次函数y=ax2+bx+c的图象恰好经过点A,B,C,D. (1)该二次函数的图象还能经过网格中的哪个格点？在图中描出这个点，并用描点画图法画 出这个二次函数的图象； y D (2)观察这个二次函数图象，回答下列问题， ①图象的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 10 B对 ②当x= 时，y有最 (填“大”或“小”)值，为 第1题图 (填数字)； ③比较大小：若点(-2，m),（-1.5,n)在该函数图象上，则m n; 若点(2，d),(4,t)在该函数图象上，则d t; 若点(-2，m),(4,t)在该函数图象上，则m t. 知识，点精讲·河北数学 39 要点2二次函数的图象与a,b,c的关系 决定抛物线的开口方向，|a|决定开 a>0,抛物线开口向上； a 口大小 a<0,抛物线开口向下 b=0,对称轴为④ 决定抛物线对称轴的位置（对称轴为 >0,对称轴在y轴⑤ 侧； ab 直线x= b e 左同右异 2a <0,对称轴在y轴⑥ 侧 c=0,抛物线过原点； 与y轴必 决定抛物线与y轴交，点的位置 c>0,抛物线与y轴交于正半轴： 有交点 c<0,抛物线与y轴交于负半轴 b2-4ac=0时，与x轴有唯一的交点（顶，点）； b2- 决定抛物线与x轴的交，点个数 b2-4ac>0时，与x轴有① 交点； Aac b-4ac<0时，与x轴没有交点 看到2a+b,比较-b和1的大小 看到2ab,比较-b与-1的大小 特殊 2a 2a 关系 看到a+b+c,令x=1,看y的值； 看到a-b+c,令x=-1,看y的值； 看到4a+2b+c,令x=2,看y的值；看到4a-2b+c,令x=-2,看y的值 对点练习 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.请结合图象，回答下列问题 (1)基本信息 ①开口向上→a 0;与y轴交于负半轴c 0; ②对称轴是直线=1一→ 2a ； ③与x轴的一个交点横坐标是-1→a-b+ 0: ④与x轴有两个交点→b2-4ac 0. (2)推导信息 第2题图 ①与x轴的另一个交点横坐标是 ②abc 0:9a+3b+c 0:4a-2b+c 0; ③a+b am2+bm;2a和b的关系是 要点3对称轴的理解与应用[2023.16考查对称轴距离] 膏方法指导如图 1.求对称轴 1,若抛物线上两点A, (x2,Y) 例1抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过(0,4)和(-6,4)两点， 的纵坐标相等，横坐 则此抛物线的对称轴为 (⑧ 标不相等(x,≠x), A.直线x=4 B.直线x=0 则对称轴为直线 图1 C.直线x=-3 D.直线x=-6 x1+2 X=- 2 40 知识点精讲·河北数学 一战成名新中考 2.判断函数类型：给出几组自变量x与函数值y的对应值，若有下表的特征，则该函数为二次函数； 【获取信息】由表可得，该二次函数的图象 性质： (1)开口⑨ 对称轴为直线 0 顶点坐标为 (2)当x≤1时，y随x的增大而②② 当x≥1时，y随x的增大而3 :函数有最 4 值，为5 ； (3)该二次函数的图象与x轴的交点有西个，坐标为⑦ 与y轴的交点坐标 为四 3.利用对称轴求点坐标 方法指导(1)已知对称轴为直线x=a, 与x轴的一个交点为(b,0),则与x轴的另 例2抛物线y=-+号与x轴的一个交点的坐标为 个交点坐标为3 ;(2)若已知 (1,0),则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标为 抛物线上任意一点的坐标为M(m,n),对 称轴为直线x=a,则点M关于对称轴对称 四 的点的坐标为④ 变式如图，抛物线y=ax2+bx+c(a 拿方法指导方法一：增减性比较法.基本 ≠0)的对称轴为直线1，抛物线与 步骤：由a定开口方向→确定对称轴→把 直线y=t交于点A(3,t),根据图 所有点转化到对称轴的同一侧→由增减 象可知抛物线的对称轴为 0 性得大小，如图2 30 ,点A关于对称轴 变式题图 对称的点B的坐标为① 减小 0p---1A ys>Yc>y Yc>Y8>YA 4利用对称轴比较函数值大小 图2 图3 例3多解法[冀教九下38A组第2题(3)改编]若二次函方法二：距离法.先定开口方向，再算“距 数y=a(x-3)2+c(a>0)的图象过A(-1,y1),B(2,y2), 离”，开口向上，距离对称轴越远的值越 C(5,y3),则y1,y2,y3的大小关系是 (2 太，开口向下更离对称轴越远的值越小 如图3. A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3D.y3>y1>y2 5.利用对称轴求自变量取值范围内函数最值（涉及分类讨论） 例4已知二次函数)=(+1)+3，当1≤≤4时，该二次函数的最大值为国 变式已知二次函数y=-(x-h)(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值 y的最大值为-1，则h的值为 (6 A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6 方法指导如图4，通过对称轴在所给区间左侧、内部、右侧三种情况分类讨论，求出符合条件的的值. (1)当h<2时，有⑦ ,解得8 (2)当2≤h≤5时，y=-(.x-h)2的最大值为 ,不符合题意； (2)当h>5时，有4⑩ ,解得① 温馨提示：请完成《分层作业本》P39-40 图4 知识，点精讲·河北数学 414000⑦35x+3500≤6300⑧0≤x≤80⑨0035002(1)①>，<：②1：③=：④>；(2)①3；②>，=，>：③≤，2a+b=0 ①0②4000⑧购进这批服装的最低费用为3500元，这 命题点11二次函数解析式的确定及图象变换 批服装全部售出的最大利润为4000元④0.2x+12 教材要点归纳①不变②不变③相反④不变⑤相反 50.25x 随堂对点练习 (2)解：当y=55时，A类：55=0.2x+12,解得x=215: 1解：抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. B类：55=0.25x,解得x=220,215<220..选择B类划算 2解：抛物线的表达式为y=-2(x-2)2+4. (3)解：由0.2x+12>0.25x,解得x<240;由0.2x+12<0.25x, 3.解：该二次函数的表达式为y=-x2-2x+3. 解得x>240:由0.2x+12=0.25x,解得x=240. 4解：解法1：抛物线的对称轴为直线x=2, .当通话时间小于240min时，应选择B类：当通话时间大于 240min时，应选择A类；当通话时间为240min时，选择A,B 六名2部得6=8 类都可以 又.抛物线经过点(1,0)， ⑥。⑦1时刻到达乙地⑧t,时刻开始从乙地返回甲地 .2-8+c=0,解得c=6, ⑩在乙地停留的时间为，-四①，”②<54， .抛物线的表达式为y=2x2-8x+6 t3-t2 解法2：抛物线y=2a2+bx+c的对称轴为直线x=2,且与x 24t,5<②0t时刻a,b两车在距离甲地s,处相遇⑦4 轴交于点(1,0)， ②1208404或13号 抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)， .抛物线的表达式为y=2(x-1)(x-3)=2x2-8x+6. 命题点7反比例函数的图象与性质 5.y=x2-16y=2x2-4x+1y=-2x2-4-1; 命题点12二次函数图象与性质的应用 教材要点归纳①> ②减小 (④二、四 教材要点归纳①两个不相等②两个相等③没有 ④x<,或x>x2⑤x1<< ⑤增大⑥D⑦-1<y<0⑧x<-2或x>0 随堂对点练习1(1)(3,0)：(2)x1=-1,x2=3;(3)-1<x<3; 随堂对点练习1(1)4，一、三，减小，>，<；(2)B,D,E,H,K (4)x<-1或x>3 (3)解图略；(4)第三象限；(5)在；(6)>；(7)>；(8)D 2(1)(1,2),(5,18);(2)-2±25 命题点8反比例函数解析式的 命题点13二次函数的实际应用 确定及k的几何意义 例1解：解法1：根据题意，设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+k 教材要点归纳①ab②③1H1④2⑤1⑥k1 (a≠0). a=- @子1⑧1 将点C(0,8),B(80)代入，得 4a+k=8,解得 （36a+k=0. k=9, 随堂对点练习(1)-16，-8；(2)1；(3)-4或-8 .抛物线的表达式为y= 4(x-2)2+9, 命题点9反比例函数的应用 随堂对点练习1D2D 4<0当x=2时，有最大值，最大值为9，即AD=9m 6 3.(1)y=3x+3,y=;(2)解图略；①x>1或-2<x<0;②0<x≤1 解法2：设抛物线的表达式为y=ax2+hx+8(a≠0)，将点B(8, 1 或x≤-2：(3)2 0)代人，结合 =2, a=- -=2.得2a 解得 41 2a 64a+8b+8=0. b=1, 6 4(1=:(2)01:;23cn≤4或1≤n2 1 1 六抛物线的表达式为y=-4++8=-4(x-2)+9, 命题点10二次函数的图象与性质 其余同理。 教树要点归的D名4的梦云 答：该水流距水平面的最大高度AD的长度为9m 2a 2 例2解：(1)(48-2x):(2)15: ⑤h,）6ac-b⑦k8ac- (3)设菜地面积为y, 4a ·⑨k⑩减小①增大 2增大B减小④y轴5左6右⑦两个⑧C9向 则y=x(48-2x)=-2x2+48x=-2(x-12)2+288, 48-2x≤20，.x≥14， 上②④x=1①(1，-9)2减小3增大④小5-9 .当x>12时，y随x的增大而减小， ②62②⑦(-2,0)，(4,0)8(0，-8)29(3,0)0直线x=1 .当x=14时，y有最大值为y=-2×(14-12)2+288=280. ①(-1，t)2B8(2a-b,0)③④(2a-m,n）516B 团-(2-h)2=-18h=19040-(5-h)2=-1①h=6 例3解：(1)答：销售单价应定为30元或40元： 对点练习1.(1)解图略；(2)①下，x=1,(1,4);②1，大，4； (2)答：当单价为35元时，该文具每天的销售利润最大， 最大利润为2250元. ③<，>，= 参考答案与重难题解析·河北数学