2.2 一元二次方程及其应用-【一战成名新中考】2026河北中考数学·一轮复习·知识点精讲（讲册）

知识点精讲 第一章数与式 命题点1实数的相关概念 命题点6代数式与规律探索（含代数推理） 教材要点归纳①不循环②-a③0④0⑤-a 随堂对点练习1.y与5的差的5倍2.(2m-2)元 ⑥大⑦±1 随堂对点练习1.①⑤⑧，①④6，⑧，①④⑤⑥⑧，②③ 3-8变式14变式2-64C52 n2 ⑦⑨02.(1)-3：(2)盈利50元，亏损80元 6.证明：.a-2b+c=0,∴.2b=a+c, 1 3.(1)F,B:(2)-3,3,3(3)A,C,1:(4)2或44D =空6a 4, 5.2 ..6*-ac=(ate)2 4 =(a-e)3 命题点2科学记数法与近似数 4≥0 随堂对点练习1(1)7.05×10：(2)5.07×108：(3)3.3× 命题点7整式与因式分解 101°；(4)5×10：(5)1.25×10-7；(6)0.000072 教材要点归纳①a②a”③a6”④a⑤ 2.246,245.6,245.64.245.64 命题点3二次根式及其运算 ⑥1⑦am+an+bm+bn⑧a2-b2⑨a2±2ab+b 教材要点归纳①a②相反数③0④0和1 随堂对点练习1 ,2.-1,53.(1)m;(2)x°； ⑤-1、0、1⑥≥⑦a (3)-a3;(4)x3(5)6a3;(6)x2-2y;(7)a2+4ab+46; 随堂对点练习1.A2.(1)x≤0：(2)x取任意实数： (3)x>03.A4.②5.(1)4；(2)4；(3)4；(4)4； (侧-mi,(9头4D (5)-35;(6)23:(7)3;(8)35;(9)1:(10)9-62 5.解：原式=2026. 6弩750 6.(1)y(x-2y):(2)(4a-1)2;(3)(3+x)(3-x):(4)m(m+ n)(m-n);(5)x(x-y)2;(6)(x-3)(x+2) 命题点4实数的大小比较与无理数的估值 命题点8分式及其运算 教材要点归纳①大②>③=④>⑤7⑥2⑦3 教材要点归纳①B≠0②4=0且B≠0③④ ⑧2⑨302.5①3 随堂对点练习1.(1)<，<，<，>，<；(2)d,a:(3)a,b;(4) 6 c bd 1>-b>b>-12.B变式13,4变式26-423.B 随堂对点练习1.x≠0：x≠5：x为任意实数：x=5;无解： 命题点5实数的运算 做n2D现 a a 2 5⑧5o⑩ξ15片5 a*2:(5) a-2(6)-x4B 2 2 2 2 5.解：(1)一； 随堂对点练习1.(1)1(2)1-√2；(3)-2；(4)1；(5)2； (6)② 1语1兴兴可 2 +1=+11年1 2解：(1)②④4， x2-2xx2-2xx2-2xx2-2xx-21 当x=2+√2时，原式 11.12 (2)-22-11-√31+(2-T)°+2cos30°=-4-(5-1)+1+2× x-22+W2-222 2=-45+1+1+3=-2. 第二章方程（组）与不等式（组） 命题点1一次方程（组）及其应用 4解：)原方程组的解为{：3 教材要点归纳①2(x+2)=20-5(x-1)②2x+4=20- 5x+5③2x+5x=20+5-4④7x=21⑤x=3⑥1⑦① -②，得-3x=3,解得x=-1.⑧(100-x)⑨10x+1×(100- (2)原方程组的解为红=1 (y=1. x)=2350x=15,则100-x=85①这个月该公司分别销5.D6.D7.1710 售甲，乙两种特产15吨，85吨20+6=10， BAB 8.答：A种水果购进1000kg,B种水果购进500kg (10a+b=235 命题点2一元二次方程及其应用 ④AC⑤a+tz 教材要点归纳①整式②1③2④a≠0⑤a≠0 随堂对点练习1.C2.C3.2变式12变式21 2 参考答案与重难题解析·河北数学 一战成名新中考 ⑥两个不相等⑦两个相等⑧-名⑨没有0-b 随堂对点练习 2a a 1.(1)x=1是分式方程的解 062a(1+x)2Ba(1-x)24(a-2x)(6-2x)5(a (2)x=1是分式方程的增根，分式方程无解 2.(1)4:(2)3或4；(3)0<m<2:(4)0:(5)2或03.D (-=)r·2·”8(a-2x)(6-2x)04解：（嘉球所用时间： 2 (2)答：嘉琪的速度为15km/h (200+5x)②0(30-x-20)(200+5x)@[200+5(30-x)] 2(x-20)·[200+5(30-x)]3ax②4ax25(1+x）0 命题点4一元一次不等式（组）及其应用 (1+x)2 教材要点归纳①>②>③<④x<a⑤x>a⑥x≤ 随堂对点练习1.C2.16,36,6 a⑦x≥a⑧x>b⑨x<a0a<x<b①无解 3.解：(1)x1=1+5,x2=1-5; 随堂对点练习1.(1)V;(2)√；(3)×；(4)V 2.解：(1)x的3倍大于或等于1用不等式表示为3x≥1，解 1 (2)x1=2,为=2 得≥了解集表示略。 (3)x1=7,x2=-8. 4.C5.D6.25% (2)y的4小于-2用不等式表示为子<-2.解得y<-8。 7.答：道路宽为2米 .解集为-10≤y<-8,解集表示略. 命题点3分式方程及其应用 3.(1)-1;(2)a<2 教材要点归纳①(x-2)②3=-(x+1)-(x-2)③3=-x-1-4.解：(1)答：这六天一共行驶282千米： x+2④x=-1⑤当x=-1时，x-2≠0⑥x=-1 (2)答：第七天最多还能行驶18千米. 第三章 函 数 命题点1平面直角坐标系与函数 >,正(-2,0)，(0,1)；二、三4,1，-2，-5y=-3x-2 教材要点归纳①>②<③>④<⑤y⑥x⑦x= 0且y=0⑧相等⑨互为相反数0纵①横②(x, <减小<负：（号0），(0，-2)：二三四 y)B(-x,y）④(-x,-y）⑤(x+a,y）G(x,y+a) 2.(1)m≠-1：变式1：(2)-3：变式m>1:(3)-1<m≤1： @(x,y-a)⑧1al9Va+②①1y,-yl@图象法 (4)p<q;变式1m<-1:变式2D 2≠3≥刚>5> 命题点4一次函数解析式的确定 随堂对点练习1.(1)(-2,3)，第二象限：(2)(-2，-3)，3： 及图象的平移 (3)-6:(4)(2,3),(-2,1):(5)(0,3)或(-4,3)：(6)m>0 随堂对点练习1.(1)3；(2)2；(3)4； 2.A3.(1)8,6,10:(2)10,(-2,-5):(3)(-6,-4)或(-6， 15 -12)4.(1)图③：(2)3 (4)解：该一次函数的表达式为y=2+2 命题点2函数图象的分析与判断 拓展设问1y= 例1C 2-1:拓展设问2y=-2x 例2(1)②④，①③⑤6，⑤⑥；(2)横轴，纵轴；(3)45； 2.- 1或2或号 (4)10:30,30,30:(5)20km/h和10km/h:(6)18,14:30 命题点3一次函数的图象与性质 3.(1)y=4x-4;(2)向左平移1个单位长度或向上平移4个 单位长度：(3)y=4x+1; 变式1y=-4x-1;变式2y=4x-1;变式3y=4x-2 教材要点归纳 ① 命题点5一次函数图象与性质的应用 教材要点归纳①0②<1③-1<0④p} ④一二、三⑤一、三四 005@-1分®-100号≤≤1 1 ⑦一、二、四⑧二、三、四⑨二、四0增大①减小 B(-冬0)B(0,6)0正半轴5一-，二g负半轴 随堂对点练习1.(1)x=6,x=5:变式(7,0)(2)x> ⑦三、四⑧<9< 1x=4. 6,x<0:(3) 412,8:(4)x≥-3 Y- 3, 随堂对点练习 y=2x+1;>,增大； 命题点6一次函数的实际应用 ①x②(100-x)③70x+35(100-x) ④35x+3500⑤(100-70)x+(75-35)(100-x)⑥-10x+ 参考答案与重难题解析·河北数学 3命题点2一元二次方程及其应用(10年4考) 考情时间轴 19.一元二次方程的解 9.一元二次方程的应用 法：结合新定义 2025 2019 2024 2017 6.根与系数的关系 15.根的判别式 教材要点归纳 。随堂对点练习 要点1一元二次方程及其解法 1.[冀教九上P35练习1改编]下列方 1.一元二次方程(a2+bm+c=0,a≠0)必须同时满足以下 程中，一定是一元二次方程的是 三个条件： ( 二次项系数(a≠0) A.x2+y=1 B.x1=1 一一次项系数 ax2+五x+c=0 C.x2-2=0 D.x2+x=x2+1 2.[北师九上P36做一做政编] 二次项一次项常数项 x2+8x+ =(x+4)2; (1)是① 方程； x2-12x+=(x-)2 (2)只含有② 个未知数； 3.请用你认为的最佳方法解下列 (3)未知数的最高次数是③ 方程 食易错警示对于方程ax2+bx+c=0,只有当④ (1)x2-2x-4=0: 时才是一元二次方程；若ax2+bx+c=0是一元二次方 程，则必然隐含着⑤ 2.一元二次方程的解法（基本思路：降次）☆重点 解法 适用形式 方程的根 直接开 x2=p(p≥0) 龙=±√p 平方法 (x+n)2=p(p≥0) x=±√p-n (2)2x2-5x+2=0: 因式 (x-a)(x-b)=0 x=a,x,=b b 分解法 x(+b)=0(a≠0) x1=0,x2= a ax +bx+c=0 公式法 -b±0-4ac (a≠0，b2-4ac≥0) 2a x2+2mx-n=0(m2+n≥0) 配方法 (二次项系数为1，一次 x=±√/n+m2-m (3)x(x-7)=8(7-x): 项系数为偶数) 食易错警示(1)用公式法代a,b,c的值时要注意它们的 符号； (2)对于方程两边含有相同因式（如2x(x-1)=3(x 1))的一元二次方程，切勿直接约去公因式求解导 致丢根，正确做法是将方程化为两个因式之积为0的 形式，利用因式分解法求解 16 知识，点精讲·河北数学 一战成名新中考 要点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关4.易错已知一元二次方程ax2+bx+c= 系☆重点 0(a≠0)和它的两个实数根为x1, 1.一元二次方程根的判别式 x2,下列说法： b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式 ①若a,c异号，则方程ax2+bx+c=0 (1)b2-4ac>0曰方程有⑥ 的实数根： 一定有实数根； (2)b-4ac=0→方程有⑦ 的实数根(x ②若b2>5ac,则方程ax2+bx+c=0一 定有两个不相等的实数根； =x2=⑧ ); ③若b=a+c,则方程ax2+bx+c=0一 (3)b2-4ac<0=方程⑨ 实数根 定有两个实数根； 由(1)、(2)知b2-4ac≥0曰→方程有两个实数根. ④若a=1,b=2,c=3,由根与系数的 注：由一元二次方程根的情况确定方程中待定系数的取 关系可得x,+x2=-2,x1·x2=3. 值范围时，若一元二次方程的二次项系数含有字母， 其中正确的结论的个数为() 应注意二次项系数不为0这个隐含条件， A.1B.2C.3D.4个 2.一元二次方程根与系数的关系 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有 x,+x2=0 ,x1出2=① 拿易错警示根据根与系数的关系求方程系数值时， 定要保证方程有根。 要点3一元二次方程的实际应用 5.[北师九上P58第19题改编]一次会 1.变化率问题 议上，每两个参加会议的人互相握了 设原来的量为a,变化后的量为b, 一次手，有人统计一共握了45次手， (1)连续两次增长，平均增长率为x,则b=② 如果这次会议到会的人数为x人，根 (2)连续两次下降，平均下降率为x,则b=③ 据题意可列方程为 2.面积问题 A.x(x+1)=45 (1)如图1，设空白部分宽为x,则S阴影=④ B.x(x-1)=45 C.2x(x+1)=45 D.x(x-1)=45×2 6.[2025唐山路北区月考]一种药品原 图1 图2 价每盒48元，经过两次降价后每盒 (2)如图2，设阴影部分宽为x,则S室白=固 27元，两次降价的百分率相同，则每 (3)用总长为m米的篱笆围成一个矩形，一边靠墙，若平 次降价的百分率为 行于墙的一边长为x米（墙面长度大于x米）， ①如图3，所围成矩形的面积为S=⑥ m; ②如图4，在边上留1米的门时，S=⑦ m; LLLLA1LLU11AX1LL1117LA LLLLLLCCC1K1111111 图3 图4 知识，点精讲·河北数学 17 (4)如图5，长为a,宽为b的矩形ABCD的四个角都剪去7.转化思想[北师九上P57第15题改 一个边长为x的正方形后做成一个无盖的盒子，则该 编]如图，在长为32米，宽为20米的 盒子的底面积S=⑧ 矩形地面上修筑同样宽度的道路 (图中阴影面积)，余下的部分种植 草坪，要使草坪的面积为540平方 米，求道路的宽度 图5 3.销售利润问题中的“每每模型” ◆基本等量关系：总利润=单件利润×总销量； 第7题图 ◆基本模型：已知进价为20元，当售价为30元时，每 天销量为200件，当售价每下降1元时，销量增加5 件.用含x的代数式填空： (1)当售价下降了x元时，每天销量为四 件， 利润为四 元； (2)当售价下降到x元时，每天销量为@ 件，利润为2 元 ?思考：请同学们自行创造“当售价增加了x元 时”和“当售价增加到x元时”的情境，并列 式吧！ 4.“传播”问题（拓展） (1)细胞分裂：现有a个细胞，若每轮分裂中每一个细胞 可分裂成x个细胞，则第一轮分裂后的细胞总数为 3 ,第二轮分裂后的细胞总数为四 (2)病毒传染：有一个人患流感，若每轮传染中平均一个 人传染了x个人，则第一轮后共有5 个人 患流感，第二轮后共有6 个人患流感 5.握手、单循环与送礼问题（拓展） (1)握手问题：n个人互相只握手一次，总握手次数 为(n-1) 2； (2)单循环赛问题：每两队之间比赛一场，则队总共 比赛(n-1场； 2 (3)互赠礼物问题：全班人，每人向其他同学互赠一 个礼物，则共送出礼物n(n-1)个 温馨提示：请完成《分层作业本》P17-18 18 知识，点精讲·河北数学